Топология нижнего предела

В математике или топология нижнего предела топология правого полуинтервала — это топология, определенная на $\mathbb {R}$ , множество действительных чисел ; она отличается от стандартной топологии на $\mathbb {R}$ (порожденный открытыми интервалами ) и обладает рядом интересных свойств. Это топология, порожденная базисом всех полуинтервалов [ a , b ) , где a и b — действительные числа.

Полученное топологическое пространство называется линией Соргенфрея в честь Роберта Соргенфри или стрелки и иногда пишется $\mathbb {R} _{l}$ . Подобно множеству Кантора и длинной линии , линия Соргенфрея часто служит полезным контрпримером для многих звучащих в остальном правдоподобных гипотез в общей топологии . Продукт $\mathbb {R} _{l}$ сама по себе также является полезным контрпримером, известным как плоскость Соргенфрея .

По полной аналогии можно также определить топологию верхнего предела или топологию левого полуоткрытого интервала .

Характеристики

Топология нижнего предела тоньше (имеет больше открытых множеств), чем стандартная топология действительных чисел (которая генерируется открытыми интервалами). Причина в том, что каждый открытый интервал можно записать как (счетное бесконечное) объединение полуоткрытых интервалов.
Для любого настоящего $a$ и $b$ , интервал $[a,b)$ закрыто в $\mathbb {R} _{l}$ (т.е. как открытые , так и закрытые ). Кроме того, для всех реальных $a$ , наборы $\{x\in \mathbb {R} :x<a\}$ и $\{x\in \mathbb {R} :x\geq a\}$ также закрыты. Это показывает, что линия Соргенфрея полностью отключена .
Любое компактное подмножество $\mathbb {R} _{l}$ должно быть не более чем счетным множеством . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим непустое компактное подмножество $C\subseteq \mathbb {R} _{l}$ . Исправить $x\in C$ , рассмотрим следующую открытую крышку $C$ :

{\bigl \{}[x,+\infty ){\bigr \}}\cup {\Bigl \{}{\bigl (}-\infty ,x-{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}\,{\Big |}\,n\in \mathbb {N} {\Bigr \}}.

С

C

компактно, это покрытие имеет конечное подпокрытие и, следовательно, существует действительное число

a(x)

такой, что интервал

(a(x),x]

не содержит точки

C

Кроме

x

. Это верно для всех

x\in C

. Теперь выберите рациональное число

q(x)\in (a(x),x]\cap \mathbb {Q}

. Поскольку интервалы

(a(x),x]

, параметризованный

x\in C

, попарно не пересекаются, функция

q:C\to \mathbb {Q}

является инъективным, и поэтому

C

не более чем счетно. Можно заметить, что подмножество

C

компактен тогда и только тогда, когда он ограничен снизу и вполне упорядочен, если наделен порядком "

>

" (что, в частности, означает, что оно ограничено сверху).

Название «топология нижнего предела» происходит от следующего факта: последовательность (или сеть ) $(x_{\alpha })$ в $\mathbb {R} _{l}$ сходится к пределу $L$ тогда и только тогда, когда оно «приближается $L$ справа», то есть для каждого $\epsilon >0$ существует индекс $\alpha _{0}$ такой, что $\forall \alpha \geq \alpha _{0}:L\leq x_{\alpha }<L+\epsilon$ . Таким образом, линию Соргенфрея можно использовать для изучения правосторонних пределов : если $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ является функцией , то обычный правый предел $f$ в $x$ (когда кодомен несет стандартную топологию) совпадает с обычным пределом $f$ в $x$ когда домен оснащен топологией нижнего предела, а кодомен несет стандартную топологию.
С точки зрения аксиом разделения , $\mathbb {R} _{l}$ является совершенно нормальным Хаусдорфовым пространством .
В терминах аксиом счетности $\mathbb {R} _{l}$ является счетным и отделимым , но не счетным .
Что касается свойств компактности, $\mathbb {R} _{l}$ линделефова компактна и паракомпактна , но не σ-компактна и не локально .
$\mathbb {R} _{l}$ не метризуемо , так как сепарабельные метрические пространства счетны по секундам. Однако топология линии Соргенфрея порождается квазиметрикой .
$\mathbb {R} _{l}$ является пространством Бэра . ^[1]
$\mathbb {R} _{l}$ не имеет связных компактификаций. ^[2]

См. также

Список топологий

Ссылки

^ «общая топология - линия Соргенфрея является пространством Бэра» . Математический обмен стеками .
^ Адам Эмерик, Владислав Кульпа. Линия Зоргенфрея не имеет связной компактификации. Комм. Математика. унив. Каролина 18 (1977), 483–487.

Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Дверское переиздание издания 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3 , МР 0507446

[1] «общая топология - линия Соргенфрея является пространством Бэра» . Математический обмен стеками .

[2] Адам Эмерик, Владислав Кульпа. Линия Зоргенфрея не имеет связной компактификации. Комм. Математика. унив. Каролина 18 (1977), 483–487.

[1]

[2]