Jump to content

Односторонний лимит

(Перенаправлено с Правостороннего предела )
Функция где обозначает знаковую функцию , имеет левый предел правильный предел и значение функции в точку

В исчислении односторонний предел относится к одному из двух пределов функции . переменной действительной как приближается к указанной точке либо слева, либо справа. [1] [2]

Предел как снижение стоимости приближается к ( подходы "справа" [3] или «сверху») может обозначаться: [1] [2]

Предел как увеличение стоимости приближается ( подходы "слева" [4] [5] или «снизу») может обозначаться: [1] [2]

Если предел как подходы существует, то пределы слева и справа существуют и равны. В некоторых случаях, когда предел не существует, тем не менее, существуют два односторонних предела. Следовательно, предел как подходы иногда называют «двусторонним пределом». [ нужна ссылка ]

Из двух односторонних пределов возможно существование ровно одного (а другого не существует). Также возможно, что ни один из двух односторонних пределов не существует.

Формальное определение

[ редактировать ]

Определение

[ редактировать ]

Если представляет собой некоторый интервал содержащийся в области , и если это точка в тогда правый предел как подходы может быть строго определен как значение что удовлетворяет: [6] [ нужна проверка ] и левосторонний предел как подходы может быть строго определен как значение что удовлетворяет:

Мы можем представить то же самое более символически следующим образом.

Позволять представляют собой интервал, где , и .

Интуиция

[ редактировать ]

По сравнению с формальным определением предела функции в точке, односторонний предел (как следует из названия) имеет дело только с входными значениями, расположенными по одну сторону от приближающегося входного значения.

Для справки, формальное определение предела функции в точке выглядит следующим образом:

Чтобы определить односторонний предел, мы должны изменить это неравенство. Обратите внимание, что абсолютное расстояние между и является

Для предела справа мы хотим быть справа от , а это значит, что , так является положительным. Сверху, это расстояние между и . Мы хотим ограничить это расстояние нашим значением , давая неравенство . Сложим неравенства и и используя свойство транзитивности неравенств, мы имеем сложное неравенство .

Аналогично, для предела слева мы хотим быть слева от , а это значит, что . В данном случае это который положителен и представляет собой расстояние между и . Опять же, мы хотим ограничить это расстояние нашим значением , что приводит к сложному неравенству .

Теперь, когда наша ценность находится в желаемом интервале, мы ожидаем, что значение также находится в желаемом интервале. Расстояние между и , предельное значение левого предела, равно . Аналогично, расстояние между и , предельное значение правого предела, равно . В обоих случаях мы хотим ограничить это расстояние величиной , поэтому мы получаем следующее: для левого предела, и для правого предела.

Пример 1 : Границы слева и справа от как подходы являются Причина, почему это потому что всегда отрицательно (поскольку означает, что со всеми значениями удовлетворяющий ), что означает, что всегда положителен, так что расходится [примечание 1] к (и не для ) как подходы слева. Сходным образом, поскольку все значения удовлетворить (говорят по-другому, всегда положительно), так как подходы справа, что означает, что всегда отрицательно, так что расходится к

График функции

Пример 2 : Одним из примеров функции с разными односторонними пределами является (см. рисунок), где предел слева равен и предел справа равен Чтобы вычислить эти пределы, сначала покажите, что (что верно, потому что )так что, следовательно, тогда как потому что знаменатель уходит в бесконечность; то есть, потому что С предел не существует.

Связь с топологическим определением предела

[ редактировать ]

Односторонний предел точки соответствует общему определению предела с областью определения функции, ограниченной с одной стороны, либо допуская, что область определения функции является подмножеством топологического пространства, либо рассматривая одностороннее подпространство, включая [1] [ нужна проверка ] В качестве альтернативы можно рассмотреть область с топологией полуоткрытого интервала . [ нужна ссылка ]

Теорема Абеля

[ редактировать ]

Примечательной теоремой, рассматривающей односторонние пределы некоторых степенных рядов на границах их интервалов сходимости, является теорема Абеля . [ нужна ссылка ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Предел, равный говорят, что он расходится к вместо того, чтобы слиться с То же самое верно, когда предел равен
  1. ^ Перейти обратно: а б с д «Односторонний предел — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . Проверено 7 августа 2021 г.
  2. ^ Перейти обратно: а б с Фриди, JA (24 января 2020 г.). Вводный анализ: теория исчисления . Профессиональное издательство Персидского залива. п. 48. ИСБН  978-0-12-267655-0 . Проверено 7 августа 2021 г.
  3. ^ Хасан, Осман; Хайям, Сайед (02 января 2014 г.). «На пути к формальному линейному криптоанализу с использованием HOL4» (PDF) . Журнал универсальной информатики . 20 (2): 209. doi : 10.3217/jucs-020-02-0193 . ISSN   0948-6968 .
  4. ^ Гасич, Андрей Георгиевич (12 декабря 2020 г.). Фазовые явления белков в живом веществе (дипломная работа).
  5. ^ Брокейт, Мартин; Манчанда, Пэмми; Сиддики, Абул Хасан (2019), «Предел и непрерывность» , Исчисление для ученых и инженеров , Промышленная и прикладная математика, Сингапур: Springer Singapore, стр. 39–53, doi : 10.1007/978-981-13-8464-6_2 , ISBN  978-981-13-8463-9 , S2CID   201484118 , получено 11 января 2022 г.
  6. ^ Гив, Хоссейн Хоссейни (28 сентября 2016 г.). Математический анализ и его внутренняя природа . Американское математическое соц. п. 130. ИСБН  978-1-4704-2807-5 . Проверено 7 августа 2021 г.

См. также

[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 07878991e7f063e86896e40f5953ef68__1711051860
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/07/68/07878991e7f063e86896e40f5953ef68.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
One-sided limit - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)