Односторонний лимит
Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( август 2021 г. ) |
В исчислении односторонний предел относится к одному из двух пределов функции . переменной действительной как приближается к указанной точке либо слева, либо справа. [1] [2]
Предел как снижение стоимости приближается к ( подходы "справа" [3] или «сверху») может обозначаться: [1] [2]
Предел как увеличение стоимости приближается ( подходы "слева" [4] [5] или «снизу») может обозначаться: [1] [2]
Если предел как подходы существует, то пределы слева и справа существуют и равны. В некоторых случаях, когда предел не существует, тем не менее, существуют два односторонних предела. Следовательно, предел как подходы иногда называют «двусторонним пределом». [ нужна ссылка ]
Из двух односторонних пределов возможно существование ровно одного (а другого не существует). Также возможно, что ни один из двух односторонних пределов не существует.
Формальное определение
[ редактировать ]Определение
[ редактировать ]Если представляет собой некоторый интервал содержащийся в области , и если это точка в тогда правый предел как подходы может быть строго определен как значение что удовлетворяет: [6] [ нужна проверка ] и левосторонний предел как подходы может быть строго определен как значение что удовлетворяет:
Мы можем представить то же самое более символически следующим образом.
Позволять представляют собой интервал, где , и .
Интуиция
[ редактировать ]По сравнению с формальным определением предела функции в точке, односторонний предел (как следует из названия) имеет дело только с входными значениями, расположенными по одну сторону от приближающегося входного значения.
Для справки, формальное определение предела функции в точке выглядит следующим образом:
Чтобы определить односторонний предел, мы должны изменить это неравенство. Обратите внимание, что абсолютное расстояние между и является
Для предела справа мы хотим быть справа от , а это значит, что , так является положительным. Сверху, это расстояние между и . Мы хотим ограничить это расстояние нашим значением , давая неравенство . Сложим неравенства и и используя свойство транзитивности неравенств, мы имеем сложное неравенство .
Аналогично, для предела слева мы хотим быть слева от , а это значит, что . В данном случае это который положителен и представляет собой расстояние между и . Опять же, мы хотим ограничить это расстояние нашим значением , что приводит к сложному неравенству .
Теперь, когда наша ценность находится в желаемом интервале, мы ожидаем, что значение также находится в желаемом интервале. Расстояние между и , предельное значение левого предела, равно . Аналогично, расстояние между и , предельное значение правого предела, равно . В обоих случаях мы хотим ограничить это расстояние величиной , поэтому мы получаем следующее: для левого предела, и для правого предела.
Примеры
[ редактировать ]Пример 1 : Границы слева и справа от как подходы являются Причина, почему это потому что всегда отрицательно (поскольку означает, что со всеми значениями удовлетворяющий ), что означает, что всегда положителен, так что расходится [примечание 1] к (и не для ) как подходы слева. Сходным образом, поскольку все значения удовлетворить (говорят по-другому, всегда положительно), так как подходы справа, что означает, что всегда отрицательно, так что расходится к
Пример 2 : Одним из примеров функции с разными односторонними пределами является (см. рисунок), где предел слева равен и предел справа равен Чтобы вычислить эти пределы, сначала покажите, что (что верно, потому что )так что, следовательно, тогда как потому что знаменатель уходит в бесконечность; то есть, потому что С предел не существует.
Связь с топологическим определением предела
[ редактировать ]Односторонний предел точки соответствует общему определению предела с областью определения функции, ограниченной с одной стороны, либо допуская, что область определения функции является подмножеством топологического пространства, либо рассматривая одностороннее подпространство, включая [1] [ нужна проверка ] В качестве альтернативы можно рассмотреть область с топологией полуоткрытого интервала . [ нужна ссылка ]
Теорема Абеля
[ редактировать ]Примечательной теоремой, рассматривающей односторонние пределы некоторых степенных рядов на границах их интервалов сходимости, является теорема Абеля . [ нужна ссылка ]
Примечания
[ редактировать ]- ^ Предел, равный говорят, что он расходится к вместо того, чтобы слиться с То же самое верно, когда предел равен
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б с д «Односторонний предел — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . Проверено 7 августа 2021 г.
- ^ Перейти обратно: а б с Фриди, JA (24 января 2020 г.). Вводный анализ: теория исчисления . Профессиональное издательство Персидского залива. п. 48. ИСБН 978-0-12-267655-0 . Проверено 7 августа 2021 г.
- ^ Хасан, Осман; Хайям, Сайед (02 января 2014 г.). «На пути к формальному линейному криптоанализу с использованием HOL4» (PDF) . Журнал универсальной информатики . 20 (2): 209. doi : 10.3217/jucs-020-02-0193 . ISSN 0948-6968 .
- ^ Гасич, Андрей Георгиевич (12 декабря 2020 г.). Фазовые явления белков в живом веществе (дипломная работа).
- ^ Брокейт, Мартин; Манчанда, Пэмми; Сиддики, Абул Хасан (2019), «Предел и непрерывность» , Исчисление для ученых и инженеров , Промышленная и прикладная математика, Сингапур: Springer Singapore, стр. 39–53, doi : 10.1007/978-981-13-8464-6_2 , ISBN 978-981-13-8463-9 , S2CID 201484118 , получено 11 января 2022 г.
- ^ Гив, Хоссейн Хоссейни (28 сентября 2016 г.). Математический анализ и его внутренняя природа . Американское математическое соц. п. 130. ИСБН 978-1-4704-2807-5 . Проверено 7 августа 2021 г.