Топология нижнего предела
В математике или топология нижнего предела топология правого полуинтервала — это топология, определенная на , множество действительных чисел ; она отличается от стандартной топологии на (порожденный открытыми интервалами ) и обладает рядом интересных свойств. Это топология, порожденная базисом всех полуинтервалов [ a , b ) , где a и b — действительные числа.
Полученное топологическое пространство называется линией Соргенфрея в честь Роберта Соргенфри или стрелки и иногда пишется . Подобно множеству Кантора и длинной линии , линия Соргенфрея часто служит полезным контрпримером для многих звучащих в остальном правдоподобных гипотез в общей топологии . Продукт сама по себе также является полезным контрпримером, известным как плоскость Соргенфрея .
По полной аналогии можно также определить топологию верхнего предела или топологию левого полуоткрытого интервала .
Характеристики
[ редактировать ]- Топология нижнего предела тоньше (имеет больше открытых множеств), чем стандартная топология действительных чисел (которая генерируется открытыми интервалами). Причина в том, что каждый открытый интервал можно записать как (счетное бесконечное) объединение полуоткрытых интервалов.
- Для любого реального и , интервал закрыто в (т.е. как открытые , так и закрытые ). Кроме того, для всех реальных , наборы и также закрыты. Это показывает, что линия Соргенфрея полностью отключена .
- Любое компактное подмножество должно быть не более чем счетным множеством . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим непустое компактное подмножество . Исправить , рассмотрим следующую открытую крышку :
- С компактно, это покрытие имеет конечное подпокрытие и, следовательно, существует действительное число такой, что интервал не содержит точки Кроме . Это верно для всех . Теперь выберите рациональное число . Поскольку интервалы , параметризованный , попарно не пересекаются, функция является инъективным, и поэтому не более чем счетно. Можно заметить, что подмножество компактен тогда и только тогда, когда он ограничен снизу и вполне упорядочен, если наделен порядком " " (что, в частности, означает, что оно ограничено сверху).
- Название «топология нижнего предела» происходит от следующего факта: последовательность (или сеть ) в сходится к пределу тогда и только тогда, когда оно «приближается справа», то есть для каждого существует индекс такой, что . Таким образом, линию Соргенфрея можно использовать для изучения правосторонних пределов : если является функцией , то обычный правый предел в (когда кодомен несет стандартную топологию) совпадает с обычным пределом в когда домен оснащен топологией нижнего предела, а кодомен несет стандартную топологию.
- С точки зрения аксиом разделения , является совершенно нормальным Хаусдорфовым пространством .
- В терминах аксиом счетности является счетным и отделимым , но не счетным .
- Что касается свойств компактности, линделефова компактна и паракомпактна , но не σ-компактна и не локально .
- не метризуемо , поскольку сепарабельные метрические пространства счетны по секундам. Однако топология линии Соргенфрея порождается квазиметрикой .
- является пространством Бэра . [1]
- не имеет связных компактификаций. [2]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ «общая топология - линия Соргенфрея является пространством Бэра» . Математический обмен стеками .
- ^ Адам Эмерик, Владислав Кульпа. Линия Зоргенфрея не имеет связной компактификации. Комм. Математика. унив. Каролина 18 (1977), 483–487.
- Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( Дуврское переиздание издания 1978 года), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3 , МР 0507446