Антипризма
Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют достаточные соответствующие встроенные цитаты . ( январь 2013 г. ) |
Набор однородных n -угольных антипризм | |
---|---|
Тип | однородный в смысле полуправильный многогранник |
Лица | 2 правильных n- угольника 2 n равносторонних треугольников |
Края | 4 н |
Вершины | 2 н |
Конфигурация вершин | 3.3.3. н |
Символ Шлефли | { }⊗{ п } [1] с{ 2,2n } ср{2, п } |
Обозначение Конвея | н |
Диаграмма Кокстера | |
Группа симметрии | Д н д , [2 + ,2 n ], (2* n ) , порядок 4 n |
Группа вращения | Д н , [2, н ] + , (22 n ) , порядок 2 n |
Двойной многогранник | выпуклый дуально-однородный n -угольный трапецоэдр |
Характеристики | выпуклые , вершинно-транзитивные , правильные многоугольные грани, конгруэнтные и коаксиальные основания |
Сеть | |
Сеть одноугольных эннеагональных антипризм ( n = 9 ) |
В геометрии n - угольная антипризма или n -антипризма — это многогранник, составленный из двух параллельных прямых копий (не зеркальных изображений) n -стороннего многоугольника , соединенных чередующейся полосой из 2 n треугольников . Они представлены Конвея An . обозначением
Антипризмы — подкласс призматоидов и представляют собой (вырожденный) тип курносого многогранника .
Антипризмы подобны призмам , за исключением того, что основания закручены относительно друг друга, а боковые грани (соединяющие основания) представляют собой треугольников 2n , а не n четырёхугольников .
Двойственный многогранник -угольной антипризмы n является n -угольным трапецоэдром .
История
[ редактировать ]В своей книге «Harmonices Mundi» 1619 года Иоганн Кеплер наблюдал существование бесконечного семейства антипризм. [2] Обычно это считается первым открытием этих форм, но они, возможно, были известны раньше: неподписанный печатный блок для сетки шестиугольной антипризмы был приписан Иерониму Андрее , который умер в 1556 году. [3]
Немецкая форма слова «антипризма» использовалась для обозначения этих форм в 19 веке; Карл Хайнце приписывает свое введение Теодору Витштейну . [4] Хотя английское слово «антипризма» ранее использовалось для обозначения оптической призмы, используемой для подавления эффектов первичного оптимального элемента, [5] Первое использование слова «антипризма» в английском языке в его геометрическом смысле, по-видимому, относится к началу 20 века в работах HSM Coxeter . [6]
Особые случаи
[ редактировать ]Правая антипризма
[ редактировать ]Для антипризмы с правильными основаниями n -угольников обычно рассматривают случай, когда эти две копии закручены на угол 180 / n градусов.
Ось перпендикулярная правильного многоугольника — это линия, плоскости многоугольника и лежащая в центре многоугольника.
Для антипризмы с равными правильными основаниями n -угольников, закрученной на угол 180 / n градусов, большая регулярность получается, если основания имеют одну и ту же ось: соосны ; т.е. (для некомпланарных оснований ): если линия, соединяющая центры оснований, перпендикулярна плоскостям основания. Тогда антипризма называется прямой антипризмой , а ее 2 n боковых граней — равнобедренными треугольниками .
Равномерная антипризма
[ редактировать ]Однородная n n -антипризма имеет два конгруэнтных правильных n -угольника в качестве основных граней и 2 треугольников в качестве боковых граней равносторонних .
Однородные антипризмы, как и однородные призмы, образуют бесконечный класс вершинно-транзитивных многогранников. При n = 2 имеем двуугольную антипризму (вырожденную антипризму), визуально идентичную правильному тетраэдру ; для n = 3 правильный октаэдр как треугольная антипризма (невырожденная антипризма).
Название антипризмы | Дигональная антипризма | (Треугольный) Треугольная антипризма | (Тетрагональный) Квадратная антипризма | Пятиугольная антипризма | Шестиугольная антипризма | Семиугольная антипризма | ... | Апейрогональная антипризма |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Изображение многогранника | ... | |||||||
Сферическое мозаичное изображение | Плоское мозаичное изображение | |||||||
Конфигурация вершины. | 2.3.3.3 | 3.3.3.3 | 4.3.3.3 | 5.3.3.3 | 6.3.3.3 | 7.3.3.3 | ... | ∞.3.3.3 |
Диаграммы Шлегеля этих полуправильных антипризм имеют следующий вид:
А3 | A4 | А5 | А6 | A7 | А8 |
Декартовы координаты
[ редактировать ]Декартовы координаты вершин прямой n- антипризмы (т.е. с правильными основаниями n -угольников и 2n боковыми гранями равнобедренных треугольников , радиусом описанных оснований, равным 1):
где 0 ≤ k ≤ 2 n – 1 ;
если n -антипризма однородна (т.е. если треугольники равносторонние), то:
Объем и площадь поверхности
[ редактировать ]Пусть a — длина ребра однородной n- угольной антипризмы; тогда объем:
а площадь поверхности равна:
Кроме того, объем правильной прямоугольной n -угольной антипризмы с длиной стороны ее оснований l и высотой h определяется выражением:
Вывод
[ редактировать ]Радиус описанной горизонтальной окружности обычной -гон в основании
Вершины основания находятся в
вершины наверху находятся на
С помощью линейной интерполяции точки на внешних треугольных краях антипризмы соединяют вершины внизу с вершинами вверху.находятся в
и в
Построив суммы квадратов и координаты в одном из двух предыдущих векторов,квадрат радиуса описанной окружности этого сечения на высоте является
Горизонтальный разрез на высоте над основанием находится -gon (усеченный -гон)с стороны длины чередуясь с стороны длины .(Они получены из длины разницы двух предыдущих векторов.)Его можно разделить на равнобедренные треугольники ребер и (полупериметр )плюс равнобедренные треугольники ребер и (полупериметр ).По формуле Герона площади этих треугольников равны
и
Площадь участка составляет , а объем
Заметим, что объем прямой n -угольной призмы с одинаковыми l и h равен: что меньше, чем у антипризмы.
Симметрия
[ редактировать ]Группа симметрии правой -антипризмы n (т.е. с правильными основаниями и равнобедренными боковыми гранями) равна D n d = D n v порядка 4 n , за исключением случаев:
- n = 2 : правильный тетраэдр , который имеет большую группу симметрии T d порядка 24 = 3 × (4 × 2) , которая имеет три версии D 2d в качестве подгрупп;
- n = 3 : правильный октаэдр , который имеет большую группу симметрии Oh порядка 48 = 4 × (4 × 3) и имеет четыре версии D 3d в качестве подгрупп.
Группа симметрии содержит инверсию тогда и только тогда, когда n нечетно.
Группа вращения представляет собой D n порядка 2 n , за исключением случаев:
- n = 2 : правильный тетраэдр, который имеет большую группу вращения T порядка 12 = 3 × (2 × 2) , которая имеет три версии D 2 в качестве подгрупп;
- n = 3 : правильный октаэдр, который имеет большую группу вращения O порядка 24 = 4 × (2 × 3) , которая имеет четыре версии D 3 в качестве подгрупп.
Примечание. Правые n -антипризмы имеют конгруэнтные основания правильных n -угольников и конгруэнтные боковые грани равнобедренного треугольника, поэтому имеют ту же (двугранную) группу симметрии, что и равномерная n -антипризма, для n ≥ 4 .
Обобщения
[ редактировать ]В высших измерениях
[ редактировать ]Четырехмерные антипризмы можно определить как имеющие два двойственных многогранника как параллельные противоположные грани, так что каждая трехмерная грань между ними происходит из двух двойственных частей многогранников: вершины и двойного многоугольника или двух двойных ребер. Каждый трехмерный выпуклый многогранник комбинаторно эквивалентен одной из двух противоположных граней четырехмерной антипризмы, построенной из его канонического многогранника и его двойственного полярного многогранника. [7] Однако существуют четырехмерные полихоры, которые не могут объединяться со своими двойниками в пятимерные антипризмы. [8]
Самопересекающиеся многогранники
[ редактировать ]3/2-антипризма неоднородный | 5/4-антипризма неоднородный | 5/2-антипризма | 5/3-антипризма |
9/2-антипризма | 9/4-антипризма | 9/5-антипризма |
Однородные звездные антипризмы названы по звездчатых многоугольников основаниям { p / q } и существуют в прямом и ретроградном (перекрещенных) решениях. Скрещенные формы имеют пересекающиеся фигуры вершин и обозначаются «перевернутыми» дробями: p /( p – q ) вместо p / q ; пример: 5/3 вместо 5/2.
Правая звездчатая антипризма имеет две конгруэнтные коаксиальные базовые грани правильного выпуклого или звездчатого многоугольника и 2 n равнобедренного треугольника боковых граней .
Любую звездную антипризму с правильным выпуклым или звездчатым многоугольным основанием можно сделать правильной звездной антипризмой (при необходимости переместив и/или повернув одно из ее оснований).
В ретроградных формах, но не в прямоходных, треугольники, соединяющие выпуклые или звездчатые основания, пересекают ось вращательной симметрии. Таким образом:
- Ретроградные звездные антипризмы с основаниями правильных выпуклых многоугольников не могут иметь равные длины ребер и поэтому не могут быть однородными. «Исключение»: антипризма ретроградной звезды с основаниями равностороннего треугольника (конфигурация вершин: 3.3/2.3.3) может быть однородной; но тогда он имеет вид равностороннего треугольника: это вырожденный звездчатый многогранник.
- Точно так же некоторые ретроградные звездные антипризмы с основаниями правильных звездчатых многоугольников не могут иметь равные длины ребер и поэтому не могут быть одинаковыми. Пример: антипризма ретроградной звезды с основаниями правильной звезды 7/5 (конфигурация вершин: 3.3.3.7/5) не может быть однородной.
Также p / q можно построить соединения звездных антипризм с правильными звездчатыми основаниями -угольников, если p и q имеют общие множители. Пример: звезда 10/4-антипризма представляет собой соединение двух звезд 5/2-антипризмы.
См. также
[ редактировать ]- Большая антипризма , четырёхмерный многогранник.
- Косой многоугольник — трехмерный многоугольник, выпуклая оболочка которого представляет собой антипризму.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Н. В. Джонсон : Геометрии и трансформации , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.3 Пирамиды, призмы и антипризмы, рисунок 11.3c
- ^ Кеплер, Иоганн (1619). «Книга II, Определение X» . Harmonices Mundi (на латыни). п. 49. См. также иллюстрацию А семиугольной антипризмы.
- ^ Шрайбер, Питер; Фишер, Гизела ; Стернат, Мария Луиза (июль 2008 г.). «Новый взгляд на повторное открытие архимедовых тел в эпоху Возрождения». Архив истории точных наук . 62 (4): 457–467. JSTOR 41134285 .
- ^ Хайнце, Карл (1886). Лаке, Франц (ред.). Генетическая стереометрия (на немецком языке). Б. Г. Тойбнер. п. 14.
- ^ Смит, Пьяцци (1881). «XVII. О строении линий, образующих низкотемпературный спектр кислорода». Труды Королевского общества Эдинбурга . 30 (1): 419–425. дои : 10.1017/s0080456800029112 .
- ^ Коксетер, HSM (январь 1928 г.). «Чистые архимедовы многогранники в шести и семи измерениях». Математические труды Кембриджского философского общества . 24 (1): 1–9. дои : 10.1017/s0305004100011786 .
- ^ Грюнбаум, Бранко (2005). «Действительно ли скучны призмы и антипризмы? (Часть 3)» (PDF) . Геомбинаторика . 15 (2): 69–78. МР 2298896 .
- ^ Доббинс, Майкл Джин (2017). «Антипризменность, или: сведение комбинаторной эквивалентности к проективной эквивалентности в задачах реализуемости многогранников». Дискретная и вычислительная геометрия . 57 (4): 966–984. дои : 10.1007/s00454-017-9874-y . МР 3639611 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Издательство Калифорнийского университета в Беркли. ISBN 0-520-03056-7 . Глава 2: Архимедовы многогранники, призмы и антипризмы
Внешние ссылки
[ редактировать ]- СМИ, связанные с антипризмами, на Викискладе?
- Вайсштейн, Эрик В. «Антипризма» . Математический мир .
- Невыпуклые призмы и антипризмы
- Бумажные модели призм и антипризм.