Гемиполиэдр
 | Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( май 2021 г. ) |
В геометрии полумногогранник часть — это однородный звездчатый многогранник, граней которого проходит через его центр. Эти «полу» грани лежат параллельно граням какого-то другого симметричного многогранника, и их количество составляет половину количества граней этого другого многогранника - отсюда и префикс «полу». [1]
Префикс «полу» также используется для обозначения некоторых проективных многогранников , таких как полукуб , которые представляют собой изображение 2 к 1 карты сферического многогранника с центральной симметрией .
Символ Витхоффа и вершинная фигура
[ редактировать ]Их символы Витгофа имеют вид п / ( п - q ) п / д | р ; их вершинные фигуры представляют собой скрещенные четырехугольники . Таким образом, они связаны с согнутыми многогранниками, имеющими аналогичные символы Витхоффа. Конфигурация вершин п / q .2 r . п / ( п - q ) .2 р . 2 грани r Через центр модели проходят -угольника: если они представлены в виде граней сферических многогранников , они покрывают всю полусферу, а их ребра и вершины лежат вдоль большого круга . п Обозначение / ( p − q) подразумевает a { п / q } грань поворачивается назад вокруг вершины фигуры.
Девять форм, перечисленных с указанием символов Витхоффа и конфигураций вершин:
 Тетрагемишестиэдр 3 / 2 3 | 2 (3.4. 3 / 2 .4) ( п / q = 3, r = 2) |  Октагемиоктаэдр 3 / 2 3 | 3 (3.6. 3 / 2 .6) ( п / q = 3, r = 3) |  Малый икосихемидодекаэдр 3 / 2 3 | 5 (3.10. 3 / 2 .10) ( п / q = 3, r = 5) |  Большой икосихемидодекаэдр 3 / 2 3 | 5 / 3 (3. 10 / 3 . 3 / 2 . 10 / 3 ) ( п / q = 3, r = 5 / 3 ) |  Малый додекагемикосаэдр 5 / 3 5 / 2 | 3 ( 5 / 2 .6. 5 / 3 .6) ( п / д = 5 / 2 , р = 3) |
 Кубогемиоктаэдр 4 / 3 4 | 3 (4.6. 4 / 3 .6) ( п / q = 4, r = 3) |  Малый додекахемидодекаэдр 5 / 4 5 | 5 (5.10. 5 / 4 .10) ( п / q = 5, r = 5) |  Большой додекахемидодекаэдр 5 / 3 5 / 2 | 5 / 3 ( 5 / 2 . 10 / 3 . 5 / 3 . 10 / 3 ) ( п / д = 5 / 2 , р = 5 / 3 ) |  Большой додекагемикосаэдр 5 / 4 5 | 3 (5.6. 5 / 4 .6) ( п / q = 5, r = 3) |
Обратите внимание, что калейдоскопическая конструкция Витгофа порождает неориентируемые полумногогранники (все, кроме октагемиоктаэдра) как двойные покрытия (два совпадающих полумногогранника).
В евклидовой плоскости последовательность полумногогранников продолжается следующими четырьмя звездчатыми мозаиками, где апейрогоны выглядят как вышеупомянутые экваториальные многоугольники: [ нужна ссылка ]
| Оригинал исправленный плитка | Край диаграмма | Твердый | Вертекс Конфигурация | Витхофф | Симметрия |
|---|---|---|---|---|---|
 Квадрат плитка |  |  | 4.∞.4/3.∞ 4.∞.-4.∞ | 4/3 4 | ∞ | п4м |
 Треугольный плитка |  |  | (3.∞.3.∞.3.∞)/2 | 3/2 | 3 ∞ | п6м |
 Трехгексагональный плитка |  |  | 6.∞.6/5.∞ 6.∞.-6.∞ | 6/5 6 | ∞ | |
 | ∞.3.∞.3/2 ∞.3.∞.-3 | 3/2 3 | ∞ |
Из этих четырёх мозаик только 6/5 6 | ∞ генерируется как двойное накрытие по конструкции Витгофа.
Ориентируемость
[ редактировать ]Только октагемиоктаэдр представляет собой ориентируемую поверхность; остальные полумногогранники имеют неориентируемые или односторонние поверхности. Это связано с тем, что, двигаясь вокруг экваториального 2r - угольника, п / q -угольные грани попеременно указывают «вверх» и «вниз», поэтому любые две последовательные грани имеют противоположные смыслы. Это равносильно требованию, чтобы п / q -угольникам в соответствующих квазиправильных многогранниках ниже можно попеременно придавать положительную и отрицательную ориентацию. Но это возможно только для треугольников кубооктаэдра (соответствующих треугольникам октаэдра, единственного правильного многогранника с четным числом граней, сходящихся в вершине), которые в точности являются неполугранями октагемиоктаэдра. [2]
Двойники полумногогранников
[ редактировать ]Поскольку у полумногогранников грани проходят через центр, у двойственных фигур соответствующие вершины находятся в бесконечности; собственно, на реальной проективной плоскости на бесконечности. [3] В » Магнуса Веннингера они «Двойных моделях представлены в виде пересекающихся призм , каждая из которых простирается в обоих направлениях до одной и той же вершины на бесконечности, чтобы сохранить симметрию. На практике призмы модели обрезаются в определенном месте, удобном для производителя. Веннингер предположил, что эти фигуры являются членами нового класса звездчатых фигур, называемых звездчатыми до бесконечности . Однако он также предположил, что, строго говоря, они не являются многогранниками, поскольку их конструкция не соответствует обычным определениям.
Таких двойников девять, имеющих только пять различных внешних форм, четыре из них существуют во внешне идентичных парах. Члены данной визуально идентичной пары различаются расположением истинных и ложных вершин (ложная вершина — это место, где два ребра пересекают друг друга, но не соединяются). Внешние формы:
 |  |  |  |  |
| Тетрагемигексакрон | Октагемиоктакрон и гексагемиоктакрон | Маленький икосихемидодекакрон и небольшой додекахемидодекакрон | Большой додекахемидодекакрон и великий икосихемидодекакрон | Большой додекегемикосакрон и небольшой додекегемикосакрон |
| 3 пересекающиеся бесконечные квадратные призмы | 4 пересекающиеся бесконечные шестиугольные призмы | 6 пересекающихся бесконечных десятиугольных призм. | 6 пересекающихся бесконечных декаграммных призм | 10 пересекающихся бесконечных шестиугольных призм |
Связь с квазиправильными многогранниками
[ редактировать ]Полумногогранники встречаются парами как огранки квазиправильных многогранников с четырьмя гранями в вершине. Эти квазиправильные многогранники имеют конфигурацию вершин m . н . м . n и их ребра, кроме того, что образуют m- и n -угольные грани, образуют еще и полуграни полумногогранников. Таким образом, полумногогранники можно получить из квазиправильных многогранников, отбросив либо m -угольники, либо n -угольники (чтобы сохранить две грани на ребре), а затем вставив полуграни. Поскольку либо m -угольники, либо n можно отбросить -угольники, любой из двух полумногогранников может быть получен из каждого квазиправильного многогранника, за исключением октаэдра как тетратетраэдра , где m = n = 3 и две грани конгруэнтны. (Эта конструкция не работает для квазиправильных многогранников с шестью гранями в вершине, также известных как дитригональные многогранники , поскольку их ребра не образуют правильных полуграней.) [1]
Поскольку полумногогранники, как и квазиправильные многогранники, также имеют два типа граней, чередующихся вокруг каждой вершины, их иногда также считают квазиправильными. [1]
| Квазиправильный многогранник м . н . м . н | Полуграни ( h -угольники) | Гемиполиэдр с m -угольниками отброшенными н . ч . н / н - 1 . час | Гемиполиэдр с отброшенными n -угольниками м . ч . м / м - 1 . час |
|---|---|---|---|
 Тетратетраэдр 3.3.3.3 м = 3, п = 3 |  квадраты {4} | Тетрагемишестиэдр 3.4.3/2.4 | Тетрагемишестиэдр 3.4.3/2.4 |
 Кубооктаэдр 3.4.3.4 м = 3, п = 4 |  шестиугольники {6} | Кубогемиоктаэдр 4.6.4/3.6 | Октагемиоктаэдр 3.6.3/2.6 |
 Икосододекаэдр 3.5.3.5 м = 3, п = 5 |  десятиугольники {10} | Малый додекахемидодекаэдр 5.10.5/4.10 | Малый икосихемидодекаэдр 3.10.3/2.10 |
 Додекадодекаэдр 5.5/2.5.5/2 м = 5, п = 5/2 |  шестиугольники {6} | Малый додекагемикосаэдр 5/2.6.5/3.6 | Большой додекагемикосаэдр 5.6.5/4.6 |
 Большой икосододекаэдр 3.5/2.3.5/2 м = 3, п = 5/2 |  декаграммы {10/3} | Большой додекахемидодекаэдр 5/2.10/3.5/3.10/3 | Большой икосихемидодекаэдр 3.10/3.3/2.10/3 |
Здесь m и n соответствуют п / q выше, а h соответствует 2 r выше.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б с Харт, Джордж (1996). «Квазиправильные многогранники» . Виртуальные многогранники: Энциклопедия многогранников . Проверено 6 мая 2012 г.
- ^ Коксетер и др., с. 417
- ^ ( Веннингер 1983 , стр. 101 )
- Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд ; Лонге-Хиггинс, MS; Миллер, JCP (1954), «Равномерные многогранники», Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки , 246 (916), Королевское общество: 401–450, doi : 10.1098/rsta.1954.0003 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 91532 , MR 0062446
- Веннингер, Магнус (1974), Модели многогранников , Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-09859-5 , MR 0467493 (модели Wenninger: 67, 68, 78, 89, 91, 100, 102, 106, 107)
- Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-54325-5 , МР 0730208
- Хар'Эл, З. Единообразное решение для однородных многогранников. , Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Цви Хар'Эл (стр. 10, 5.2. Гемиполиэдры p p'|r.)
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Стелла Многогранный словарь
- Верси-правильные многогранники в визуальных многогранниках