Список однородных многогранников по символу Витгофа

Многогранник
Сорт	Количество и свойства
Платоновые тела	( 5 , выпуклый, правильный)
Архимедовы тела	( 13 , выпуклый, однородный)
Многогранники Кеплера – Пуансо	( 4 , правильный, невыпуклый)
Однородные многогранники	( 75 , униформа)
Призматоид : призмы , антипризмы и т. д.	( 4 бесконечных однородных класса)
Замощения многогранников	( 11 обычных , в самолете)
Квазиправильные многогранники	( 8 )
Твердые вещества Джонсона	( 92 , выпуклая, неоднородная)
Бипирамиды	( бесконечный )
Пирамиды	( бесконечный )
Звездочки	Звездочки
Полиэдрические соединения	( 5 обычных )
Дельтаэдры	( Дельтаэдры , грани равностороннего треугольника)
Курносые многогранники	( 12 униформ , не зеркальное отображение)
Зоноэдр	( Зоноэдры , грани имеют симметрию 180°)
Двойной многогранник
Самодвойственный многогранник	( бесконечный )
Каталонский солид	( 13 , архимедово двойственное)

существует множество отношений Между однородными многогранниками .

Здесь они сгруппированы по символу Витхоффа .

Ключ

Изображение Имя Имя питомца Бауэрса V Количество вершин,E Количество ребер,F Количество граней=Конфигурация грани ? =Эйлерова характеристика, группа=Группа симметрии Символ Витхоффа – фигура вершины W – число Веннингера, U – унифицированное число, К – число Калейдо, С – число Кокстера. альтернативное имя второе альтернативное имя

Обычный

Все грани идентичны, каждое ребро и каждая вершина идентичны.Все они имеют символ Витгофа вида p|q 2.

Выпуклый

Платоновы тела.

Тетраэдр Тет В 4,Е 6,Ф 4=4{3} χ =2, группа= T d , A 3 , [3,3], (*332) 3 | 2 3 | 2 2 2 - 3.3.3 В1, У01, К06, С15

Октаэдр октябрь В 6,Е 12,Ф 8=8{3} χ =2, группа= O h , BC 3 , [4,3], (*432) 4 | 2 3 - 3.3.3.3 W2, U05, K10, C17

Шестигранник Куб В 8,Е 12,Ф 6=6{4} χ =2, группа= O h , B 3 , [4,3], (*432) 3 | 2 4 - 4.4.4 W3, U06, K11, C18

Икосаэдр Сила В 12,Э 30,Ф 20=20{3} χ =2, группа= I h , H 3 , [5,3], (*532) 5 | 2 3 - 3.3.3.3.3 W4, U22, K27, C25

Додекаэдр Доу В 20,Е 30,Ф 12=12{5} χ =2, группа= I h , H 3 , [5,3], (*532) 3 | 2 5 - 5.5.5 W5, U23, K28, C26

Невыпуклый

Твердые тела Кеплера-Пуансо.

Большой икосаэдр Немного В 12,Э 30,Ф 20=20{3} χ =2, группа= I h , H 3 , [5,3], (*532) 5 ⁄ 2 | 2 3 - (3 5 )/2 W41, U53, K58, C69

Большой додекаэдр Гад В 12,Е 30,Ф 12=12{5} χ =-6, группа= I h , H 3 , [5,3], (*532) 5 ⁄ 2 | 2 5 - (5 5 )/2 W21, U35, К40, С44

Малый звездчатый додекаэдр Партизаны В 12,Е 30,Ф 12=12 5 χ =-6, группа= I h , H 3 , [5,3], (*532) 5 | 2 5 ⁄ 2 - ( 5 ⁄ 2 ) 5 W20, U34, K39, C43

Большой звездчатый додекаэдр Гиссид В 20,Е 30,Ф 12=12 { 5 ⁄ 2 } χ =2, группа= I h , H 3 , [5,3], (*532) 3 | 2 5 ⁄ 2 - ( 5 ⁄ 2 ) 3 W22, U52, K57, C68

Квазирегулярный

Каждое ребро идентично, и каждая вершина идентична. Есть два типа лицкоторые появляются поочередно вокруг каждой вершины.Первый ряд полуправильный , с четырьмя гранями вокруг каждой вершины. Они имеют символ Витгофа 2|p q.Второй ряд — двуугольный с 6 гранями вокруг каждой вершины. Они имеют символ Витгофа 3|pq или ³ / ₂ |p q.

Кубооктаэдр Ко В 12,Е 24,Ж 14=8{3}+6{4} χ =2, группа= O h , B 3 , [4,3], (*432), порядок 48 T d , [3,3], (*332), порядок 24 2 | 3 4 3 3 | 2 - 3.4.3.4 W11, U07, K12, C19	Икосододекаэдр Идентификатор В 30,Э 60,Ф 32=20{3}+12{5} χ =2, группа= I h , H 3 , [5,3], (*532), порядок 120 2 | 3 5 - 3.5.3.5 W12, U24, K29, C28	Большой икосододекаэдр Гид В 30,Е 60,Ж 32=20{3}+12{5/2} χ =2, группа=I h , [5,3], *532 2 | 3 5/2 2 | 3 5/3 2 | 3/2 5/2 2 | 3/2 5/3 - 3.5/2.3.5/2 В94, У54, К59, С70	Додекадодекаэдр Делал В 30,Е 60,Ф 24=12{5}+12{5/2} χ =−6, группа=I h , [5,3], *532 2 | 5 5/2 2 | 5 5/3 2 | 5/2 5/4 2 | 5/3 5/4 - 5.5/2.5.5/2 В73, У36, К41, С45
Малый дитригональный икосододекаэдр Ситтид В 20,Э 60,Ф 32=20{3}+12{5/2} χ =−8, группа=I h , [5,3], *532 3 | 5/2 3 - (3.5/2) 3 В70, У30, К35, С39	Дитригональный додекадодекаэдр Дит сделал В 20,Э 60,Ф 24=12{5}+12{5/2} χ =−16, группа=I h , [5,3], *532 3 | 5/3 5 3/2 | 5 5/2 3/2 | 5/3 5/4 3 | 5/2 5/4 - (5.5/3) 3 В80, У41, К46, С53	Большой дитригональный икосододекаэдр Гидтид В 20,Э 60,Ф 32=20{3}+12{5} χ =−8, группа=I h , [5,3], *532 3/2 | 3 5 3 | 3/2 5 3 | 3 5/4 3/2 | 3/2 5/4 - ((3.5) 3 )/2 В87, У47, К52, С61

Витхофф pq|r

Усеченные регулярные формы

Каждую вершину окружают три грани, две из которых идентичны. Все они имеют символы Витхоффа 2 p|q, некоторые из них построены путем усечения обычных тел.

Усеченный тетраэдр Tut В 12,Е 18,Ж 8=4{3}+4{6} χ =2, группа= T d , A 3 , [3,3], (*332), порядок 24 2 3 | 3 - 3.6.6 В6, У02, К07, С16	Усеченный октаэдр Затем В 24,Е 36,Ж 14=6{4}+8{6} χ =2, группа= O h , B 3 , [4,3], (*432), порядок 48 T h , [3,3] и (*332), порядок 24 2 4 | 3 3 3 2 | - 4.6.6 W7, U08, K13, C20	Усеченный куб Тик В 24,Е 36,Ж 14=8{3}+6{8} χ =2, группа= O h , B 3 , [4,3], (*432), порядок 48 2 3 | 4 - 3.8.8 W8, U09, К14, С21 Усеченный шестигранник	Усеченный икосаэдр Из В 60,Э 90,Ф 32=12{5}+20{6} χ =2, группа= I h , H 3 , [5,3], (*532), порядок 120 2 5 | 3 - 5.6.6 W9, U25, K30, C27	Усеченный додекаэдр Время В 60,Э 90,Ф 32=20{3}+12{10} χ =2, группа= I h , H 3 , [5,3], (*532), порядок 120 2 3 | 5 - 3.10.10 W10, U26, K31, C29
Усеченный большой додекаэдр Они приходят В 60, Е 90, Ж 24=12{5/2}+12{10} χ =−6, группа=I h , [5,3], *532 2 5/2 | 5 2 5/3 | 5 - 10.10.5/2 W75, U37, К42, С47	Усеченный большой икосаэдр Тигги В 60,Е 90,F 32=12{5/2}+20{6} χ =2, группа=I h , [5,3], *532 2 5/2 | 3 2 5/3 | 3 - 6.6.5/2 В95, У55, К60, С71	Звездчатый усеченный шестигранник Выйти В 24,Е 36,Ж 14=8{3}+6{8/3} χ =2, группа=O h , [4,3], *432 2 3 | 4/3 2 3/2 | 4/3 - 3.8/3.8/3 В92, У19, К24, С66 Квазиусеченный шестигранникзвездчато-усеченный куб	Малый звездчатый усеченный додекаэдр Выйти из Сиссида В 60,Е 90,Ж 24=12{5}+12{10/3} χ =−6, группа=I h , [5,3], *532 2 5 | 5/3 2 5/4 | 5/3 - 5.10/3.10/3 В97, У58, К63, С74 Квазиусеченный малый звездчатый додекаэдрМалый звездчато-усеченный додекаэдр	Большой звездчатый усеченный додекаэдр Выйти из Гиссида В 60,Э 90,Ф 32=20{3}+12{10/3} χ =2, группа=I h , [5,3], *532 2 3 | 5/3 - 3.10/3.10/3 В104, У66, К71, С83 Квазиусеченный большой звездчатый додекаэдрБольшой звездчато-усеченный додекаэдр

Полумногогранники

Все полумногогранники имеют грани, проходящие через начало координат. Их символы Витгофа имеют форму pp/m|q или p/mp/n|q. За исключением тетрагемигексаэдра, они встречаются парами и тесно связаны с полуправильными многогранниками, такими как кубоктоэдр.

Тетрагемишестиэдр Тах В 6,Е 12,Ж 7=4{3}+3{4} χ =1, группа=T d , [3,3], *332 3/2 3 | 2 (двойное покрытие) - 3.4.3/2.4 В67, У04, К09, С36	Октагемиоктаэдр Проснуться В 12,Е 24,Ж 12=8{3}+4{6} χ =0, группа=O h , [4,3], *432 3/2 3 | 3 - 3.6.3/2.6 В68, У03, К08, С37	Кубогемиоктаэдр Давать В 12,Е 24,Ж 10=6{4}+4{6} χ =−2, группа=O h , [4,3], *432 4/3 4 | 3 (двойное покрытие) - 4.6.4/3.6 W78, U15, К20, С51	Малый икосихемидодекаэдр Шейхи В 30,Э 60,Ф 26=20{3}+6{10} χ =−4, группа=I h , [5,3], *532 3/2 3 | 5 (двойное покрытие) - 3.10.3/2.10 W89, U49, K54, C63	Малый додекахемидодекаэдр Сидхид В 30,Е 60,Ж 18=12{5}+6{10} χ =−12, группа=I h , [5,3], *532 5/4 5 | 5 (двойное покрытие) - 5.10.5/4.10 В91, У51, К56, С65
Большой икосихемидодекаэдр Прибытие В 30,Е 60,Ж 26=20{3}+6{10/3} χ =−4, группа=I h , [5,3], *532 3/2 3 | 5/3 - 3.10/3.3/2.10/3 В106, У71, К76, С85	Большой додекахемидодекаэдр Гидхид В 30, Е 60, Ж 18=12{5/2}+6{10/3} χ =−12, группа=I h , [5,3], *532 5/3 5/2 | 5/3 (двойное покрытие) - 5/2,10/3,5/3,10/3 В107, У70, К75, С86	Большой додекагемикосаэдр Гидей В 30,Э 60,Ф 22=12{5}+10{6} χ =−8, группа=I h , [5,3], *532 5/4 5 | 3 (двойное покрытие) - 5,6,5/4,6 В102, У65, К70, С81	Малый додекагемикосаэдр Сидхей В 30,Е 60,F 22=12{5/2}+10{6} χ =−8, группа=I h , [5,3], *532 5/3 5/2 | 3 (двойное покрытие) - 6,5/2,6,5/3 В100, У62, К67, С78

Ромбический квазиправильный

Четыре грани вокруг вершины в узоре pqrq. Название «ромбический» происходит от вставкиквадрат в кубооктаэдре и икосододекаэдре. Символ Витгофа имеет форму pq|r.

Ромбокубооктаэдр Сирко В 24,Э 48,Ж 26=8{3}+(6+12){4} χ =2, группа= O h , B 3 , [4,3], (*432), порядок 48 3 4 | 2 - 3.4.4.4 W13, U10, K15, C22 Ромбокубооктаэдр	Малый кубический октаэдр Носок В 24,Е 48,Ж 20=8{3}+6{4}+6{8} χ =−4, группа=O h , [4,3], *432 3/2 4 | 4 3 4/3 | 4 - 4.8.3/2.8 W69, U13, К18, С38	Большой кубический октаэдр Гокко В 24, Е 48, Ж 20=8{3}+6{4}+6{8/3} χ =−4, группа=O h , [4,3], *432 3 4 | 4/3 4 3/2 | 4 - 3.8/3.4.8/3 W77, U14, K19, C50	Невыпуклый большой ромбокубооктаэдр Кверко В 24,Э 48,Ж 26=8{3}+(6+12){4} χ =2, группа=O h , [4,3], *432 3/2 4 | 2 3 4/3 | 2 - 4.4.4.3/2 W85, U17, K22, C59 Квазиромбокубооктаэдр
Ромбикосидодекаэдр Шрид В 60,Э 120,Ф 62=20{3}+30{4}+12{5} χ =2, группа= I h , H 3 , [5,3], (*532), порядок 120 3 5 | 2 - 3.4.5.4 W14, U27, K32, C30 Ромбикосидодекаэдр	Малый додецикосододекаэдр Саддид В 60,Э 120,Ф 44=20{3}+12{5}+12{10} χ =−16, группа=I h , [5,3], *532 3/2 5 | 5 3 5/4 | 5 - 5.10.3/2.10 В72, У33, К38, С42	Большой додецикосододекаэдр Гаддид В 60,Е 120,F 44=20{3}+12{5/2}+12{10/3} χ =−16, группа=I h , [5,3], *532 5/2 3 | 5/3 5/3 3/2 | 5/3 - 3.10/3.5/2.10/7 В99, У61, К66, С77	Невыпуклый большой ромбокосододекаэдр Разрушение В 60,Э 120,Ф 62=20{3}+30{4}+12{5/2} χ =2, группа=I h , [5,3], *532 5/3 3 | 2 5/2 3/2 | 2 - 3.4.5/3.4 В105, У67, К72, С84 Квазиромбикосидодекаэдр
Малый икосикосододекаэдр Шелк В 60,Э 120,Ф 52=20{3}+12{5/2}+20{6} χ =−8, группа=I h , [5,3], *532 5/2 3 | 3 - 6.5/2.6.3 В71, У31, К36, С40	Малый дитригональный додецикосододекаэдр Сиддитдид В 60,Е 120,F 44=20{3}+12{5/2}+12{10} χ =−16, группа=I h , [5,3], *532 5/3 3 | 5 5/2 3/2 | 5 - 3.10.5/3.10 В82, У43, К48, С55	Ромбододекадодекаэдр Радед В 60,Э 120,Ф 54=30{4}+12{5}+12{5/2} χ =−6, группа=I h , [5,3], *532 5/2 5 | 2 - 4.5/2.4.5 W76, U38, К43, С48	Икосидодекадодекаэдр Одинаковый В 60,Е 120,F 44=12{5}+12{5/2}+20{6} χ =−16, группа=I h , [5,3], *532 5/3 5 | 3 5/2 5/4 | 3 - 5.6.5/3.6 W83, U44, K49, C56
Большой дитригональный додецикосододекаэдр Гиддитдид В 60,Е 120,F 44=20{3}+12{5}+12{10/3} χ =−16, группа=I h , [5,3], *532 3 5 | 5/3 5/4 3/2 | 5/3 - 3.10/3.5.10/3 В81, У42, К47, С54	Большой икосикосододекаэдр Гид В 60,Э 120,Ф 52=20{3}+12{5}+20{6} χ =−8, группа=I h , [5,3], *532 3/2 5 | 3 3 5/4 | 3 - 5.6.3/2.6 В88, У48, К53, С62

Равносторонние формы

Витхофф pqr|

Они имеют три разные грани вокруг каждой вершины, и вершины не лежат ни на одной плоскости симметрии. Они имеют символ Витгофа pqr| и вершинные фигуры 2p.2q.2r.

Усеченный кубооктаэдр Гирко В 48,Е 72,Ж 26=12{4}+8{6}+6{8} χ =2, группа= O h , B 3 , [4,3], (*432), порядок 48 2 3 4 | - 4.6.8 W15, U11, K16, C23 Ромбоусеченный кубооктаэдрУсеченный кубооктаэдр	Большой усеченный кубооктаэдр Квитко В 48,Е 72,Ж 26=12{4}+8{6}+6{8/3} χ =2, группа=O h , [4,3], *432 2 3 4/3 | - 4.6/5.8/3 В93, У20, К25, С67 Квазиусеченный кубооктаэдр	Кубиусеченный кубооктаэдр Котко В 48,Е 72,F 20=8{6}+6{8}+6{8/3} χ =−4, группа=O h , [4,3], *432 3 4 4/3 | - 6.8.8/3 W79, U16, K21, C52 Кубооктаусеченный кубооктаэдр
Усеченный икосододекаэдр Сетка В 120,Э 180,Ф 62=30{4}+20{6}+12{10} χ =2, группа= I h , H 3 , [5,3], (*532), порядок 120 2 3 5 | - 4.6.10 W16, U28, K33, C31 Ромбоусеченный икосододекаэдрУсеченный икосододекаэдр	Большой усеченный икосододекаэдр Гакуатид В 120,Э 180,Ф 62=30{4}+20{6}+12{10/3} χ =2, группа=I h , [5,3], *532 2 3 5/3 | - 4.6.10/3 В108, У68, К73, С87 Большой квазиусеченный икосододекаэдр	Икосусеченный додекадодекаэдр Идди В 120,Э 180,Ф 44=20{6}+12{10}+12{10/3} χ =−16, группа=I h , [5,3], *532 3 5 5/3 | - 6.10.10/3 В84, У45, К50, С57 Икосидодекаэдр усеченный икосододекаэдр	Усеченный додекадодекаэдр Вышел В 120,Э 180,Ф 54=30{4}+12{10}+12{10/3} χ =−6, группа=I h , [5,3], *532 2 5 5/3 | - 4.10/9.10/3 В98, У59, К64, С75 Квазиусеченный додекадодекаэдр

Витхофф pq (rs)|

Вершинная фигура pq-p.-q. Витхоффа pq (rs)|, смешивая pqr| и pqs|.

Малый ромбошестигранник Сро В 24,Е 48,Ж 18=12{4}+6{8} χ =−6, группа=O h , [4,3], *432 2 4 (3/2 4/2) | - 4.8.4/3.8/7 В86, У18, К23, С60	Большой ромбогексаэдр Гро В 24, Е 48, Ж 18=12{4}+6{8/3} χ =−6, группа=O h , [4,3], *432 2 4/3 (3/2 4/2) | - 4.8/3.4/3.8/5 В103, У21, К26, С82	Ромбикосаэдр Ри В 60,Э 120,Ф 50=30{4}+20{6} χ =−10, группа=I h , [5,3], *532 2 3 (5/4 5/2) | - 4.6.4/3.6/5 В96, У56, К61, С72	Большой ромбидодекаэдр Опоясать В 60,Э 120,Ф 42=30{4}+12{10/3} χ =−18, группа=I h , [5,3], *532 2 5/3 (3/2 5/4) | - 4.10/3.4/3.10/7 В109, У73, К78, С89
Большой додекикосаэдр Головокружительный В 60,Э 120,Ф 32=20{6}+12{10/3} χ =−28, группа=I h , [5,3], *532 3 5/3 (3/2 5/2) | - 6.10/3.6/5.10/7 В101, У63, К68, С79	Малый ромбидодекаэдр Сердце В 60,Э 120,Ф 42=30{4}+12{10} χ =−18, группа=I h , [5,3], *532 2 5 (3/2 5/2) | - 4.10.4/3.10/9 W74, U39, К44, С46	Малый додетикосаэдр Сидди В 60,Э 120,Ф 32=20{6}+12{10} χ =−28, группа=I h , [5,3], *532 3 5 (3/2 5/4) | - 6.10.6/5.10/9 В90, У50, К55, С64

Курносые многогранники

Они имеют символ Витгофа |pqr, а одна не-Витгоффа конструкция задана |pqr s.

Витхофф |pqr

Группа симметрии
ТО	Курносый куб Сник В 24,Э 60,Ж 38=(8+24){3}+6{4} χ =2, группа= O , ⁠ 1 / 2 ⁠ B 3 , [4,3] + , (432), порядок 24 | 2 3 4 - 3.3.3.3.4 W17, U12, K17, C24
I h	Маленький курносый икосикосидодекаэдр См. сторону В 60,Е 180,Ж 112=(40+60){3}+12{5/2} χ =−8, группа=I h , [5,3], *532 | 5/2 3 3 - 3 5 .5/2 В110, У32, К37, С41	Малый ретровзносый икосикосидодекаэдр Сирсид В 60,Е 180,Ж 112=(40+60){3}+12{5/2} χ =−8, группа=I h , [5,3], *532 | 3/2 3/2 5/2 - (3 5 .5/3)/2 В118, У72, К77, С91 Небольшой перевернутый ретроносый икосикосододекаэдр
я	Курносый додекаэдр Snid В 60,Э 150,Ф 92=(20+60){3}+12{5} χ =2, группа= I , ⁠ 1 / 2 ⁠ H 3 , [5,3] + , (532), порядок 60 | 2 3 5 - 3.3.3.3.5 W18, U29, K34, C32	Курносый додекадодекаэдр Сиддид В 60,Е 150,F 84=60{3}+12{5}+12{5/2} χ =−6, группа=I, [5,3] + , 532 | 2 5/2 5 - 3.3.5/2.3.5 В111, У40, К45, С49	Перевернутый курносый додекадодекаэдр сделал В 60,Е 150,F 84=60{3}+12{5}+12{5/2} χ =−6, группа=I, [5,3] + , 532 | 5/3 2 5 - 3.3.5.3.5/3 В114, У60, К65, С76
я	Большой курносый икосододекаэдр Госид В 60,Е 150,F 92=(20+60){3}+12{5/2} χ =2, группа=I, [5,3] + , 532 | 2 5/2 3 - 3 4 .5/2 В113, У57, К62, С88	Большой перевернутый курносый икосододекаэдр. Гис В 60,Е 150,F 92=(20+60){3}+12{5/2} χ =2, группа=I, [5,3] + , 532 | 5/3 2 3 - 3 4 .5/3 В116, У69, К74, С73	Большой ретроносый икосододекаэдр Гирсид В 60,Е 150,F 92=(20+60){3}+12{5/2} χ =2, группа=I, [5,3] + , 532 | 2 3/2 5/3 - (3 4 .5/2)/2 В117, У74, К79, С90 Большой перевернутый ретровзносый икосододекаэдр
я	Курносый икосододекадодекаэдр Односторонний В 60,Е 180,F 104=(20+60){3}+12{5}+12{5/2} χ =−16, группа=I, [5,3] + , 532 | 5/3 3 5 - 3.3.3.5.3.5/3 В112, У46, К51, С58	Большой курносый додецикосододекаэдр Гисдид В 60,Э 180,Ф 104=(20+60){3}+(12+12){5/2} χ =−16, группа=I, [5,3] + , 532 | 5/3 5/2 3 - 3.3.3.5/2.3.5/3 В115, У64, К69, С80

Витхофф |pqrs

Группа симметрии
Ih	Большой диромбикосидодекаэдр Gidrid В 60,Э 240,Ф 124=40{3}+60{4}+24{5/2} χ =−56, группа=I h , [5,3], *532 | 3/2 5/3 3 5/2 - 4.5/3.4.3.4.5/2.4.3/2 В119, У75, К80, С92