Большой диромбикосидодекаэдр

Большой диромбикосидодекаэдр

Тип	Однородный звездчатый многогранник
Элементы	Ф = 124, Е = 240 V = 60 (χ = −56)
Лица по сторонам	40{3}+60{4}+24{5/2}
Диаграмма Кокстера
Символ Витхоффа	\| 3/2 5/3 3 5/2
Группа симметрии	I _h, [5,3], *532
Ссылки на индексы	Ю ₇₅ , С ₉₂ , Ж ₁₁₉
Двойной многогранник	Большой диромбикосидодекакрон
Вершинная фигура	4.5/3.4.3.4.5/2.4.3/2
Аббревиатура Бауэрса	Gidrid

В геометрии большой диромбикосидодекаэдр (или курносый дисикозидисдодекаэдр ) представляет собой невыпуклый однородный многогранник , последний имеет индекс $U75 большой$ . У него 124 грани (40 треугольников , 60 квадратов и 24 пентаграммы ), 240 ребер и 60 вершин . ^[1]

Это единственный невырожденный однородный многогранник, у которого более шести граней сходятся в вершине. Каждая вершина имеет 4 квадрата, которые проходят через центральную ось вершины (и, следовательно, через центр фигуры), чередуясь с двумя треугольниками и двумя пентаграммами. Еще одна необычная особенность заключается в том, что все грани встречаются в компланарных парах.

Это также единственный однородный многогранник, который невозможно составить с помощью конструкции Витхоффа из сферического треугольника. Имеет специальный символ Витхоффа $| .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}3 ⁄ 2 5 ⁄ 3 3 5 ⁄ 2 ,$ соотнося его со сферическим четырехугольником . Этот символ предполагает, что это своего рода курносый многогранник , за исключением того, что вместо курносых граней, окруженных курносыми треугольниками, как в большинстве курносых многогранников, они окружены курносыми квадратами.

Его прозвали «монстром Миллера» (в честь Дж. К. Миллера , который вместе с Х. С. М. Коксетером и М. С. Лонге-Хиггинсом перечислил однородные многогранники в 1954 году).

Связанные многогранники

Если определение однородного многогранника смягчено и допускает любое четное количество граней, примыкающих к ребру, то это определение приводит к появлению еще одного многогранника: большого неспускового диромбидодекаэдра, который имеет те же вершины и ребра, но с другим расположением треугольных граней. .

Вершины и ребра также общие с однородными соединениями 20 октаэдров или 20 тетрагемигексаэдров . 180 из 240 ребер являются общими с большим курносым додецикосододекаэдром .

Выпуклая оболочка	Большой курносый додецикосододекаэдр	Большой диромбикосидодекаэдр
Большой диснуб диромбидодекаэдр	Соединение двадцати октаэдров	Соединение двадцати тетрагемигексаэдров.

Этот многогранник связан с невыпуклым большим ромбокосододекаэдром (квазиромбокосододекаэдром) разветвленной оболочкой: существует функция от большого диромбокосододекаэдра до квазимробикосидодекаэдра, которая везде, кроме вершин, 2 к 1. ^[2]

Декартовы координаты

Пусть точка $p$ быть предоставлено

p={\begin{pmatrix}\phi ^{-{\frac {1}{2}}}\\0\\\phi ^{-1}\end{pmatrix}}

,

где $\phi$ это золотое сечение .Пусть матрица $M$ быть предоставлено

M={\begin{pmatrix}1/2&-\phi /2&1/(2\phi )\\\phi /2&1/(2\phi )&-1/2\\1/(2\phi )&1/2&\phi /2\end{pmatrix}}

.

$M$ это вращение вокруг оси $(1,0,\phi )$ под углом $2\pi /5$ , против часовой стрелки. Пусть линейные преобразования $T_{0},\ldots ,T_{11}$ быть преобразованиями, которые посылают точку $(x,y,z)$ к четным перестановкам $(\pm x,\pm y,\pm z)$ с четным количеством знаков минус. Преобразования $T_{i}$ составляют группу вращательных симметрий правильного тетраэдра .Преобразования $T_{i}M^{j}$ $(i=0,\ldots ,11$ , $j=0,\ldots ,4)$ составляют группу вращательных симметрий правильного икосаэдра .Тогда 60 баллов $T_{i}M^{j}p$ являются вершинами большого диромбикосидодекаэдра. Длина ребра равна ${\sqrt {2}}$ , радиус описанной окружности равен $1$ , а средний радиус равен ${\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}$ .