Jump to content

Однородный звездчатый многогранник

Выставка однородных многогранников в Музее науки в Лондоне.
Малый курносый икосикосидодекаэдр представляет собой однородный звездчатый многогранник с фигурой вершины 3 5 . 5 / 2

В геометрии однородный звездчатый многогранник — это самопересекающийся однородный многогранник . Их также иногда называют невыпуклыми многогранниками, подразумевая самопересекающиеся. Каждый многогранник может содержать грани звездчатого многоугольника звездчатого многоугольника , фигуры вершин или и то, и другое.

Полный набор из 57 непризматических однородных звездчатых многогранников включает 4 правильных, называемых многогранниками Кеплера–Пуансо , 14 квазиправильных и 39 полуправильных.

Также существуют два бесконечных набора однородных звездных призм и однородных звездных антипризм .

Так же, как (невырожденные) звездчатые многоугольники ( плотность которых больше 1) соответствуют круговым многоугольникам с перекрывающимися плитками , звездчатые многогранники, которые не проходят через центр, имеют плотность многогранника больше 1 и соответствуют сферическим многогранникам с перекрывающимися плитками; Таких непризматических однородных звездчатых многогранников 47. Остальные 10 непризматических однородных звездчатых многогранников, проходящих через центр, являются полумногогранниками , а также монстром Миллера и не имеют четко определенных плотностей.

Невыпуклые формы строятся из треугольников Шварца .

Все однородные многогранники перечислены ниже по группам симметрии и сгруппированы по расположению вершин.

Правильные многогранники обозначаются их символом Шлефли . Другие неправильные однородные многогранники перечислены с указанием конфигурации их вершин .

Дополнительная фигура, псевдобольшой ромбокубооктаэдр , обычно не включается в состав действительно однородного звездчатого многогранника, несмотря на то, что он состоит из правильных граней и имеет одинаковые вершины.

дополнительный неравномерный Примечание. Для невыпуклых форм ниже используется выпуклой оболочки дескриптор, когда расположение вершин имеет ту же топологию, что и одна из них, но имеет нерегулярные грани. Например, в неоднородной согнутой могут быть созданы прямоугольники форме вместо краев , а не квадраты .

Двугранная симметрия [ править ]

См. Призматический однородный многогранник .

Тетраэдрическая симметрия [ править ]

(3 3 2) треугольники на сфере

Существует одна невыпуклая форма — тетрагемишестиэдр , обладающий тетраэдрической симметрией (с фундаментальной областью треугольника Мёбиуса (3 3 2)).

Существуют два треугольника Шварца , которые порождают уникальные невыпуклые однородные многогранники: один прямоугольный треугольник ( 3 2 3 2) и один общий треугольник ( 3 2 3 3). Общий треугольник ( 3 2 3 3) порождает октагемиоктаэдр , который дается далее с его полной октаэдрической симметрией .

Расположение вершин
( Выпуклая оболочка )
Невыпуклые формы

Тетраэдр
 

Выпрямленный тетраэдр
Октаэдр

4. 3 2 .4.3
3 2 3 | 2

Усеченный тетраэдр
 

Скошенный тетраэдр
( Кубооктаэдр )
 

Всеусеченный тетраэдр
( усеченный октаэдр )
 

Курносый тетраэдр
( Икосаэдр )
 

Октаэдрическая симметрия [ править ]

(4 3 2) треугольники на сфере

Существует 8 выпуклых форм и 10 невыпуклых форм с октаэдрической симметрией (с фундаментальной областью треугольника Мёбиуса (4 3 2)).

Имеются четыре треугольника Шварца , порождающие невыпуклые формы, два прямоугольных треугольника ( 3 2 4 2), и ( 4 3 3 2) и два общих треугольника: ( 4 3 4 3), ( 3 2 4 4).

Расположение вершин
( Выпуклая оболочка )
Невыпуклые формы

Куб
 

Октаэдр
 

Кубооктаэдр

6. 4 3 .6.4
4 3 4 | 3

6. 3 2 .6.3
3 2 3 | 3

Усеченный куб

4. 8 3 . 4 3 . 8 5
2 4 3 ( 3 2 4 2 ) |

8 3 .3. 8 3 .4
3 4 | 4 3

4. 3 2 .4.4
3 2 4 | 2

Усеченный октаэдр
 

Ромбокубооктаэдр

4.8. 4 3 . 8 7
2 4 ( 3 2 4 2 ) |

8. 3 2 .8.4
3 2 4 | 4

8 3 . 8 3 .3
2 3 | 4 3

Неоднородный
усеченный кубооктаэдр

4.6. 8 3
2 3 4 3 |

Неоднородный
усеченный кубооктаэдр

8 3 .6.8
3 4 4 3 |

Курносый куб
 

Икосаэдрическая симметрия [ править ]

(5 3 2) треугольники на сфере

Существует 8 выпуклых форм и 46 невыпуклых форм с икосаэдрической симметрией (с фундаментальной областью треугольника Мёбиуса (5 3 2)). (или 47 невыпуклых форм, если включить фигуру Скиллинга). Некоторые из невыпуклых курносых форм обладают отражательной вершинной симметрией.

Расположение вершин
( Выпуклая оболочка )
Невыпуклые формы

Икосаэдр

{5, 5 2 }

{ 5 2 ,5}

{3, 5 2 }

Неоднородный
усеченный икосаэдр

10.10. 5 2
2 5 2 | 5

3. 10 3 . 5 2 . 10 7
5 2 3 | 5 3

3.4. 5 3 .4
5 3 3 | 2

4. 10 3 . 4 3 . 10 7
2 5 3 ( 3 2 5 4 ) |

Неоднородный
усеченный икосаэдр

4. 5 2 .4.5
5 2 5 | 2

5.6. 5 3 .6
5 3 5 | 3

4.6. 4 3 . 6 5
2 3 ( 5 4 5 2 ) |

Неоднородный
усеченный икосаэдр

3 5 . 5 2
| 5 2 3 3

Икосододекаэдр

3.10. 3 2 .10
3 2 3 | 5

5.10. 5 4 .10
5 4 5 | 5

3. 5 2 .3. 5 2
2 | 3 5 2

5 2 . 10 3 . 5 3 . 10 3
5 3 5 2 | 5 3

3. 10 3 . 3 2 . 10 3
3 3 | 5 3

5. 5 2 .5. 5 2
2 | 5 5 2

6. 5 2 .6. 5 3
5 3 5 2 | 3

5.6. 5 4 .6
5 4 5 | 3

усеченный додекаэдр


3. 10 3 .5. 10 3
3 5 | 5 3

5.6. 3 2 .6
3 2 5 | 3

6. 10 3 . 6 5 . 10 7
3 5 3 ( 3 2 5 2 ) |

Неоднородный
усеченный додекаэдр

(3 5 . 5 3 )/2
| 3 2 3 2 5 2

Додекаэдр

{ 5 2 ,3}

(3. 5 2 ) 3
3 | 5 2 3

(5. 5 3 ) 3
3 | 5 3 5

((3.5) 3 )/2

3 2 | 3 5


Ромбикосидодекаэдр

5.10. 3 2 .10
3 2 5 | 5

4.10. 4 3 . 10 9
2 5 ( 3 2 5 2 ) |

5. 10 3 . 10 3
2 5 | 5 3

Неоднородный
ромбикосидодекаэдр

6.6. 5 2
2 5 2 | 3

Неоднородный
ромбикосидодекаэдр

6. 5 2 .6.3
5 2 3 | 3

3.10. 5 3 .10
5 3 3 | 5

6.10. 6 5 . 10 9
3 5 ( 3 2 5 4 ) |

3. 10 3 . 10 3
2 3 | 5 3

Неоднородный
ромбикосидодекаэдр

4. 5 3 .4.3.4. 5 2 .4. 3 2
| 3 2 5 3 3 5 2

3.3.3. 5 2 .3. 5 3
| 5 3 5 2 3

Фигура Скиллинга
(см. ниже)

Неоднородный
усеченный икосододекаэдр

6.10. 10 3
3 5 5 3 |

Неоднородный
усеченный икосододекаэдр

4. 10 9 . 10 3
2 5 5 3 |

Неоднородный
усеченный икосододекаэдр

4.6. 10 3
2 3 5 3 |

Неоднородный
курносый додекаэдр

3.3. 5 2 .3.5
| 2 5 2 5

3.3.3.5.3. 5 3
| 5 3 3 5

3 4 . 5 2
| 2 5 2 3

3 4 . 5 3
| 5 3 2 3

3.3.5.3. 5 3
| 5 3 2 5

(3 4 . 5 2 )/2
| 3 2 5 3 2

Вырожденные случаи [ править ]

Коксетер методом построения Витхоффа идентифицировал ряд вырожденных звездчатых многогранников, которые содержат перекрывающиеся ребра или вершины. К таким дегенеративным формам относятся:

Скиллинга Фигура

Еще один невыпуклый вырожденный многогранник — это большой расплющенный диромбидодекаэдр , также известный как фигура Скиллинга , который является однородным по вершинам, но имеет пары ребер, которые совпадают в пространстве, так что четыре грани встречаются на некоторых ребрах. Из-за его двойных ребер он считается вырожденным однородным многогранником, а не однородным многогранником. Он обладает симметрией .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  • Коксетер, HSM (13 мая 1954 г.). «Равномерные многогранники». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки . 246 (916): 401–450. дои : 10.1098/rsta.1954.0003 .
  • Веннингер, Магнус (1974). Модели многогранников . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-09859-9 . OCLC   1738087 .
  • Брюкнер М. Многоугольники и многогранники. теория и история. . Лейпциг, Германия: Тойбнер, 1900. [1]
  • Сопов С. П. (1970), "Доказательство полноты списка элементарных однородных многогранников", Украинский геометрический сборник (8): 139–156, МР   0326550.
  • Скиллинг, Дж. (1975), «Полный набор однородных многогранников», Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A. Математические и физические науки , 278 : 111–135, doi : 10.1098/rsta.1975.0022 , ISSN   0080-4614 , JSTOR   74475 , MR   0365333
  • Хар'Эл, З. Единообразное решение для однородных многогранников. , Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Зви Хар'Эл , программное обеспечение Kaleido , Изображения , двойные изображения
  • Мэдер Р.Э. Равномерные многогранники. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [2]
  • Мессер, Питер В. Выражения в замкнутой форме для однородных многогранников и их двойников. , Дискретная и вычислительная геометрия 27:353-375 (2002).
  • Клитцинг, Ричард. «3D однородные многогранники» .

Внешние ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 8cc0831cbb51d86376f51beee32619ef__1713533220
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/8c/ef/8cc0831cbb51d86376f51beee32619ef.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Uniform star polyhedron - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)