2 ₃₁ многогранник

Ортогональные проекции в _{E 7} плоскости Кокстера
3 ₂₁	2 ₃₁		1 ₃₂
Исправлено 3 ₂₁		биректифицировано 3 ₂₁
Исправлено 2 ₃₁		Исправлено 1 ₃₂

В 7-мерной 2 геометрии 31 _— однородный многогранник , построенный из группы E7 .

Его символ Кокстера — 2 ₃₁ , описывающий его раздвоенную диаграмму Кокстера-Дынкина с одним кольцом на конце двухузловой ветви.

Выпрямленный 2 ₃₁ строится по точкам на средних краях 2 ₃₁ .

Эти многогранники являются частью семейства из 127 (или 2 ⁷−1) выпуклые однородные многогранники в 7-мерном измерении , состоящие из однородных фасет многогранников и вершинных фигур , определяемые всеми перестановками колец в этой диаграмме Кокстера-Дынкина : .

2_31 многогранник

Госсета 2 ₃₁Многогранник
Тип	Равномерный 7-многогранник
Семья	2 _k1Многогранник
Символ Шлефли	{3,3,3 ^3,1}
Символ Коксетера	2 ₃₁
Диаграмма Кокстера
6-гранный	632: 56 2 ₂₁ 576 {3 ⁵}
5-гранный	4788: 756 2 ₁₁ 4032 {3 ⁴}
4-ликий	16128: 4032 2 ₀₁ 12096 {3 ³}
Клетки	20160 {3 ²}
Лица	10080 {3}
Края	2016
Вершины	126
Вершинная фигура	1 ₃₁
Полигон Петри	Октадекагон
Группа Коксетера	E ₇, [3 ^3,2,1]
Характеристики	выпуклый

Число 231 _{тетраэдров} состоит из 126 вершин , 2016 ребер , 10080 граней ), 20160 ячеек ( ( треугольников ), 16128 4-граней ( 3-симплексов ), 4788 5-граней (756 пентакроссов и 4032 5-симплексов ), 632 6-гранников (576 6-симплексов и 56 2 ₂₁ ). Его вершинная фигура — шестигранник .Его 126 вершин представляют корневые векторы простой группы Ли E ₇ .

Этот многогранник является вершинной фигурой для равномерной мозаики 7-мерного пространства, 3 ₃₁ .

Альтернативные названия

Э. Л. Эльте назвал его V ₁₂₆ (за 126 вершин) в своем списке полуправильных многогранников 1912 года. ^[1]
назвал его 2 ₃₁ из Коксетер -за его разветвляющейся диаграммы Кокстера-Дынкина с одним кольцом на конце последовательности из 2 узлов.
Пентаконтигекса-пентакосихептаконтигекса-экзон (Акроним laq) - 56-576 граненый полиэксон (Джонатан Бауэрс) ^[2]

Строительство

Он создан с помощью конструкции Витхоффа на основе набора из 7 гиперплоских зеркал в 7-мерном пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Динкина . .

Удаление узла на короткой ветви оставляет 6-симплекс . Всего таких граней 576. Эти грани сосредоточены в местах вершин многогранника 3 ₂₁ , .

Удаление узла на конце ветви длиной 3 оставляет 2 ₂₁ . Всего таких граней 56. Эти грани сосредоточены в местах вершин многогранника 1 ₃₂ , .

Фигура вершины определяется путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Получается 6-демикуб , 1 ₃₁ , .

В матрице конфигурации количество элементов может быть получено путем удаления зеркал и соотношений групповых порядков Кокстера . ^[3]

E ₇	к -лицо	ж _к	ж ₀	ж ₁	f_f2	f ₃	ж ₄		ж ₅		ж ₆		к -цифры	примечания
Д ₆	( )	ж ₀	126	32	240	640	160	480	60	192	12	32	6-демикуб	Е ₇ /Д ₆ = 72х8!/32/6! = 126
А ₅ А ₁	{ }	ж ₁	2	2016	15	60	20	60	15	30	6	6	выпрямленный 5-симплекс	Е ₇ /А ₅ А ₁ = 72x8!/6!/2 = 2016
А ₃ А ₂ А ₁	{3}	f_f2	3	3	10080	8	4	12	6	8	4	2	тетраэдрическая призма	Е ₇ /А ₃ А ₂ А ₁ = 72x8!/4!/3!/2 = 10080
А ₃ А ₂	{3,3}	f ₃	4	6	4	20160	1	3	3	3	3	1	тетраэдр	Е ₇ /А ₃ А ₂ = 72x8!/4!/3! = 20160
А ₄ А ₂	{3,3,3}	ж ₄	5	10	10	5	4032	*	3	0	3	0	{3}	Е ₇ /А ₄ А ₂ = 72x8!/5!/3! = 4032
А ₄ А ₁	{3,3,3}	ж ₄	5	10	10	5	*	12096	1	2	2	1	Равнобедренный треугольник	Е ₇ /А ₄ А ₁ = 72x8!/5!/2 = 12096
Д ₅ А ₁	{3,3,3,4}	ж ₅	10	40	80	80	16	16	756	*	2	0	{ }	Е ₇ /Д ₅ А ₁ = 72x8!/32/5! = 756
A_А5	{3,3,3,3}	ж ₅	6	15	20	15	0	6	*	4032	1	1	{ }	Е ₇ /А ₅ = 72x8!/6! = 7287 = 4032
E_Е6	{3,3,3 ^2,1}	ж ₆	27	216	720	1080	216	432	27	72	56	*	( )	Е ₇ /Е ₆ = 72х8!/72х6! = 8*7 = 56
А ₆	{3,3,3,3,3}	ж ₆	7	21	35	35	0	21	0	7	*	576	( )	Е ₇ /А ₆ = 72x8!/7! = 72 х 8 = 576

Изображения

плоскости Кокстера Проекции
E7	Е6/Ф4	В6/А6
[18]	[12]	[7x2]
А5	D7 / B6	Д6/Б5
[6]	[12/2]	[10]
Д5/В4/А4	Д4/Б3/А2/Г2	Д3/Б2/А3
[8]	[6]	[4]

Связанные многогранники и соты

2 _{k 1} фигур в n измерениях
Space	Finite						Euclidean	Hyperbolic
n	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxeter group	E₃=A₂A₁	E₄=A₄	E₅=D₅	E₆	E₇	E₈	E₉ = ${\tilde {E}}_{8}$ = E₈⁺	E₁₀ = ${\bar {T}}_{8}$ = E₈⁺⁺
Coxeter diagram
Symmetry	[3^−1,2,1]	[3^0,2,1]	[[3^1,2,1]]	[3^2,2,1]	[3^3,2,1]	[3^4,2,1]	[3^5,2,1]	[3^6,2,1]
Order	12	120	384	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
Graph							-	-
Name	2_−1,1	2₀₁	2₁₁	2₂₁	2₃₁	2₄₁	2₅₁	2₆₁

Выпрямленный многогранник 2_31

2 ₃₁Выпрямленный многогранник
Тип	Равномерный 7-многогранник
Семья	2 _k1Многогранник
Символ Шлефли	{3,3,3 ^3,1}
Символ Коксетера	т ₁ (2 ₃₁ )
Диаграмма Кокстера
6-гранный	758
5-гранный	10332
4-ликий	47880
Клетки	100800
Лица	90720
Края	30240
Вершины	2016
Вершинная фигура	6-демикуб
Полигон Петри	Октадекагон
Группа Коксетера	E ₇, [3 ^3,2,1]
Характеристики	выпуклый

Выпрямленный 2 ₃₁ — это выпрямление многогранника 2 ₃₁ , создающее новые вершины в центре ребра 2 ₃₁ .

Альтернативные названия

Ректифицированный пентаконтигекса-пентакосихептаконтигекса-экзон - как ректифицированный 56-576 ограненный полиэксон (аббревиатура rolaq) (Джонатан Бауэрс) ^[4]

Строительство

Он создан с помощью конструкции Витхоффа на основе набора из 7 гиперплоских зеркал в 7-мерном пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Динкина . .

Удаление узла на короткой ветви оставляет исправленный 6-симплекс , .

Удаление узла на конце ветки длиной 2 оставляет 6-полукуб . .

Удаление узла на конце ветви длиной 3 оставляет выпрямленный 2 ₂₁ , .

Фигура вершины определяется путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла.

Изображения

плоскости Кокстера Проекции
E7	Е6/Ф4	В6/А6
[18]	[12]	[7x2]
А5	D7 / B6	Д6/Б5
[6]	[12/2]	[10]
Д5/В4/А4	Д4/Б3/А2/Г2	Д3/Б2/А3
[8]	[6]	[4]

См. также

Список многогранников E7

Примечания

^ Эльте, 1912 г.
^ Клитцинг, (x3o3o3o *c3o3o3o - laq)
^ Коксетер, Правильные многогранники, 11.8 Фигуры Госсета в шести, семи и восьми измерениях, с. 202-203
^ Клитцинг, (o3x3o3o *c3o3o3o - rolaq)

Ссылки

Эльте, EL (1912), Полуправильные многогранники гиперпространств , Гронинген: Гронингенский университет.
HSM Coxeter , Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
Клитцинг, Ричард. «7D однородные многогранники (полиекса)» . x3o3o3o *c3o3o3o - laq, o3x3o3o *c3o3o3o - rolaq

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[1] Эльте, 1912 г.

[2] Клитцинг, (x3o3o3o *c3o3o3o - laq)

[3] Коксетер, Правильные многогранники, 11.8 Фигуры Госсета в шести, семи и восьми измерениях, с. 202-203

[4] Клитцинг, (o3x3o3o *c3o3o3o - rolaq)

[1]

[2]

[3]

[4]