3 ₂₁ многогранник

Ортогональные проекции в _{E 7} плоскости Кокстера
3 ₂₁	2 ₃₁		1 ₃₂
Исправлено 3 ₂₁		биректифицировано 3 ₂₁
Исправлено 2 ₃₁		Исправлено 1 ₃₂

В 7-мерной геометрии многогранник 3 ₂₁ представляет собой однородный 7-многогранник , построенный в рамках симметрии группы E ₇ . Он был открыт Торольдом Госсетом и опубликован в его статье 1900 года. Он назвал ее семимерной полуправильной фигурой . ^[1]

Его символ Кокстера — 3 ₂₁ , описывающий его разветвляющуюся диаграмму Кокстера-Дынкина с единственным кольцом на конце одной из 3-узловых последовательностей.

Выпрямленный 3 ₂₁ строится по точкам на средних краях 3 ₂₁ . Биректифицированное 3 ₂₁ построено точками в центрах треугольных граней 3 ₂₁ . Триректифицированное 3 ₂₁ построено точками в тетраэдрических центрах 3 ₂₁ и совпадает с выпрямленным 1 ₃₂ .

Эти многогранники являются частью семейства из 127 (2 ⁷-1) выпуклые однородные многогранники в 7-мерном измерении , состоящие из однородных 6-мерных граней и вершинных фигур , определяемые всеми перестановками колец в этой диаграмме Кокстера-Дынкина : .

3 ₂₁ многогранник

3 ₂₁ многогранник
Тип	Равномерный 7-многогранник
Семья	к ₂₁ многогранник
Символ Шлефли	{3,3,3,3 ^2,1}
Символ Коксетера	3 ₂₁
Диаграмма Кокстера
6-гранный	702 всего: 126 3 ₁₁ 576 {3 ⁵}
5-гранный	6048: 4032 {3 ⁴} 2016 {3 ⁴}
4-ликий	12096 {3 ³}
Клетки	10080 {3,3}
Лица	4032 {3}
Края	756
Вершины	56
Вершинная фигура	2 ₂₁ многогранник
Полигон Петри	восьмиугольник
Группа Коксетера	E ₇, [3 ^3,2,1], заказ 2903040
Характеристики	выпуклый

В 7-мерной геометрии многогранник 3 ₂₁ является однородным многогранником . Он имеет 56 вершин и 702 грани: 126 3 ₁₁ и 576 6-симплексов .

Для визуализации этот 7-мерный многогранник часто отображается в специальном наклоненном ортогональном направлении проекции, которое помещает его 56 вершин в 18-угольный правильный многоугольник (называемый многоугольником Петри ). Его 756 ребер нарисованы между 3 кольцами по 18 вершин и 2 вершинами в центре. На этой проекции также можно выделить и нарисовать конкретные высшие элементы (грани, ячейки и т. д.).

1- скелетом многогранника 3 ₂₁ является граф Госсета .

Этот многогранник, наряду с 7-симплексом , может замощить 7-мерное пространство, представленное 3 ₃₁ и диаграммой Кокстера-Динкина: .

Альтернативные названия

Его также называют многогранником Гесса в честь Эдмунда Гесса, который первым его открыл.
Его перечислил Торольд Госсет в своей статье 1900 года. Он назвал ее семимерной полуправильной фигурой . ^[1]
Э. Л. Эльте назвал его V ₅₆ (из-за 56 вершин) в своем списке полуправильных многогранников 1912 года. ^[2]
HSM Коксетер назвал его 3 ₂₁ из-за его разветвляющейся диаграммы Кокстера-Дынкина , имеющей 3 ветви длиной 3, 2 и 1 и имеющую одно кольцо в конечном узле 3-й ветви.
Гекатоникозихекса-пентакосихептаконтигекса-экзон (аббревиатура Naq) - 126-576 граненый полиэксон (Джонатан Бауэрс) ^[3]

Координаты

56 вершин проще всего представить в 8-мерном пространстве, получив 28 перестановок координат и их противоположностей:

± (-3, -3, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

Строительство

Его конструкция основана на группе Е7 . Коксетер назвал его 3 ₂₁ по разветвляющейся диаграмме Кокстера-Динкина с одним кольцом на конце последовательности из 3 узлов.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Динкина . .

Удаление узла на короткой ветви оставляет 6-симплекс , .

Удаление узла на конце ветви длиной 2 оставляет 6-ортоплекс в его чередующейся форме: 3 ₁₁ , .

Каждая грань симплекса касается фасета 6-ортоплекса, а альтернативные фасеты ортоплекса касаются либо симплекса, либо другого ортоплекса.

Фигура вершины определяется путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Это составляет 2 ₂₁ многогранник, .

В матрице конфигурации количество элементов может быть получено путем удаления зеркал и соотношений групповых порядков Кокстера . ^[4]

E ₇	к -лицо	ж _к	ж ₀	ж ₁	f_f2	f ₃	ж ₄	ж ₅		ж ₆		к -цифры	примечания
E_Е6	( )	ж ₀	56	27	216	720	1080	432	216	72	27	2 ₂₁	Е ₇ /Е ₆ = 72х8!/72х6! = 56
Д ₅ А ₁	{ }	ж ₁	2	756	16	80	160	80	40	16	10	5-демикуб	Е ₇ /Д ₅ А ₁ = 72х8!/16/5!/2 = 756
А ₄ А ₂	{3}	f_f2	3	3	4032	10	30	20	10	5	5	выпрямленный 5-клеточный	Е ₇ /А ₄ А ₂ = 72x8!/5!/2 = 4032
А ₃ А ₂ А ₁	{3,3}	f ₃	4	6	4	10080	6	6	3	2	3	треугольная призма	Е ₇ /А ₃ А ₂ А ₁ = 72x8!/4!/3!/2 = 10080
А ₄ А ₁	{3,3,3}	ж ₄	5	10	10	5	12096	2	1	1	2	равнобедренный треугольник	Е ₇ /А ₄ А ₁ = 72x8!/5!/2 = 12096
А ₅ А ₁	{3,3,3,3}	ж ₅	6	15	20	15	6	4032	*	1	1	{ }	Е ₇ /А ₅ А ₁ = 72x8!/6!/2 = 4032
A_А5	{3,3,3,3}	ж ₅	6	15	20	15	6	*	2016	0	2	{ }	Е ₇ /А ₅ = 72x8!/6! = 2016 г.
А ₆	{3,3,3,3,3}	ж ₆	7	21	35	35	21	10	0	576	*	( )	Е ₇ /А ₆ = 72x8!/7! = 576
Д ₆	{3,3,3,3,4}	ж ₆	12	60	160	240	192	32	32	*	126	( )	Е ₇ /Д ₆ = 72х8!/32/6! = 126

Изображения

плоскости Кокстера Проекции
E7	Е6/Ф4	В7/А6
[18]	[12]	[7x2]
А5	D7 / B6	Д6/Б5
[6]	[12/2]	[10]
Д5/В4/А4	Д4/Б3/А2/Г2	Д3/Б2/А3
[8]	[6]	[4]

Связанные многогранники

3 ₂₁ является пятым в размерной серии полуправильных многогранников . Каждый прогрессивный однородный многогранник является вершинной фигурой предыдущего многогранника. Торольд Госсет определил эту серию в 1900 году как содержащую все правильные многогранные грани, содержащие все симплексы и ортоплексы .

k ₂₁ фигура в n измерениях
Space	Finite						Euclidean	Hyperbolic
E_n	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxeter group	E₃=A₂A₁	E₄=A₄	E₅=D₅	E₆	E₇	E₈	E₉ = ${\tilde {E}}_{8}$ = E₈⁺	E₁₀ = ${\bar {T}}_{8}$ = E₈⁺⁺
Coxeter diagram
Symmetry	[3^−1,2,1]	[3^0,2,1]	[3^1,2,1]	[3^2,2,1]	[3^3,2,1]	[3^4,2,1]	[3^5,2,1]	[3^6,2,1]
Order	12	120	1,920	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
Graph							-	-
Name	−1₂₁	0₂₁	1₂₁	2₂₁	3₂₁	4₂₁	5₂₁	6₂₁

Это размерная серия однородных многогранников и сот, выраженная Коксетером как 3 _k1 серия . (Вырожденный 4-мерный случай существует как 3-сферная мозаика, тетраэдрический осоэдр .)

3 _k1 размерные фигурки
Космос	Конечный				евклидов	гиперболический
н	4	5	6	7	8	9
Коксетер группа	А ₃ А ₁	A_А5	Д ₆	E ₇	${\tilde {E}}_{7}$ =E ₇⁺	${\bar {T}}_{8}$ =E ₇⁺⁺
Коксетер диаграмма
Симметрия	[3 ^−1,3,1]	[3 ^0,3,1]	[[3 ^1,3,1]] = [4,3,3,3,3]	[3 ^2,3,1]	[3 ^3,3,1]	[3 ^4,3,1]
Заказ	48	720	46,080	2,903,040	∞
График					-	-
Имя	3 _1,-1	3 ₁₀	3 ₁₁	3 ₂₁	3 ₃₁	3 ₄₁