6-ортоплекс

6-ортоплекс гексакросс
Ортогональная проекция внутри многоугольника Петри
Тип	Правильный 6-многогранник
Семья	ортоплекс
Символы Шлефли	{3,3,3,3,4} {3,3,3,3 ^1,1}
Диаграммы Кокстера-Динкина	=
5-гранный	64 {3 ⁴}
4-ликий	192 {3 ³}
Клетки	240 {3,3}
Лица	160 {3}
Края	60
Вершины	12
Вершинная фигура	5-ортоплекс
Полигон Петри	двенадцатиугольник
Группы Кокстера	Б ₆ , [4,3 ⁴] Д ₆ , [3 ^3,1,1]
Двойной	6-куб.
Характеристики	выпуклый многогранник Ханнера

В геометрии , 6-ортоплекс или 6- крестовый многогранник , представляет собой правильный 6-мерный многогранник с 12 вершинами , 60 ребрами треугольников , 160 гранями тетраэдра , 240 ячейками , 192 5-ячеечными 4-гранями и 64 5-гранями .

Он имеет две построенные формы, первая из которых регулярная с символом Шлефли {3 ⁴,4}, а второй с попеременно помеченными (шахматными) гранями, с символом Шлефли {3,3,3,3 ^1,1} или символ Кокстера 3 ₁₁ .

Он является частью бесконечного семейства многогранников, называемых кросс-многогранниками или ортоплексами . Двойственный многогранник — это 6- гиперкуб , или гексеракт .

Альтернативные названия

Гексакросс , полученный из объединения фамильного крестового многогранника с шестигранником , обозначающим шесть (размеров) на греческом языке .
Гексаконтетрапетон как 64- гранный 6-многогранник .

В качестве конфигурации

Эта матрица конфигурации представляет собой 6-ортоплекс. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням, ячейкам, 4-граням и 5-граням. Диагональные числа показывают, сколько каждого элемента встречается во всем 6-ортоплексе. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. ^[1]^[2]

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}12&10&40&80&80&32\\2&60&8&24&32&16\\3&3&160&6&12&8\\4&6&4&240&4&4\\5&10&10&5&192&2\\6&15&20&15&6&64\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

Строительство

Есть три группы Кокстера , связанные с 6-ортоплексом, одна регулярная , двойственная гексеракту и C ₆ или [4,3,3,3,3] с группой Кокстера полусимметрия с двумя копиями 5-симплексных фасет. , поочередно, с D ₆ или [3 ^3,1,1] Группа Кокстера. Конструкция с наименьшей симметрией основана на двойственном 6- ортотопе , называемом 6-фусилем .

Имя	Шлефли	Симметрия	Заказ
Обычный 6-ортоплекс	{3,3,3,3,4}	[4,3,3,3,3]	46080
Квазирегулярный 6-ортоплекс	{3,3,3,3 ^1,1}	[3,3,3,3 ^1,1]	23040
6-пушечный	{3,3,3,4}+{}	[4,3,3,3,3]	7680
	{3,3,4}+{4}	[4,3,3,2,4]	3072
	2{3,4}	[4,3,2,4,3]	2304
	{3,3,4}+2{}	[4,3,3,2,2]	1536
	{3,4}+{4}+{}	[4,3,2,4,2]	768
	3{4}	[4,2,4,2,4]	512
	{3,4}+3{}	[4,3,2,2,2]	384
	2{4}+2{}	[4,2,4,2,2]	256
	{4}+4{}	[4,2,2,2,2]	128
	6{}	[2,2,2,2,2]	64

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин 6-ортоплекса с центром в начале координат:

(±1,0,0,0,0,0), (0,±1,0,0,0,0), (0,0,±1,0,0,0), (0,0,0,±1,0,0), (0,0,0,0,±1,0), (0,0,0,0,0,±1)

Каждая пара вершин соединена ребром , кроме противоположных.

Изображения

орфографические проекции
Самолет Коксетера	Б ₆	Б ₅	Б ₄
График
Двугранная симметрия	[12]	[10]	[8]
Самолет Коксетера	B_Б3	B_Б2
График
Двугранная симметрия	[6]	[4]
Самолет Коксетера	A_А5	A_А3
График
Двугранная симметрия	[6]	[4]

Связанные многогранники

Шестимерный ортоплекс можно спроецировать в трехмерном измерении на вершины правильного икосаэдра . ^[3]

2D		3D
Икосаэдр {3,5} = H ₃Самолет Коксетера	6-ортоплекс {3,3,3,3 ^1,1} = D ₆Самолет Коксетера	Икосаэдр	6-ортоплекс
Геометрически эту конструкцию можно представить как 12 вершин 6-ортоплекса, проецируемых в 3 измерения как вершины правильного икосаэдра . Это представляет собой геометрическое свертывание от D ₆ до H ₃ групп Кокстера : : к . Слева, если смотреть на эти двумерные ортогональные проекции плоскости Кокстера , две перекрывающиеся центральные вершины определяют третью ось в этом отображении. Каждая пара вершин 6-ортоплекса соединена, кроме противоположных: 30 ребер являются общими с икосаэдром, а еще 30 ребер из 6-ортоплекса выступают во внутреннюю часть икосаэдра.

Это размерная серия однородных многогранников и сот, выраженная Коксетером как 3 _k1 серия . (Вырожденный 4-мерный случай существует как 3-сферная мозаика, тетраэдрический осоэдр .)

3 _k1 размерные фигурки
Космос	Конечный				евклидов	гиперболический
н	4	5	6	7	8	9
Коксетер группа	А ₃ А ₁	A_А5	Д ₆	E ₇	${\tilde {E}}_{7}$ =E ₇⁺	${\bar {T}}_{8}$ =E ₇⁺⁺
Коксетер диаграмма
Симметрия	[3 ^−1,3,1]	[3 ^0,3,1]	[[3 ^1,3,1]] = [4,3,3,3,3]	[3 ^2,3,1]	[3 ^3,3,1]	[3 ^4,3,1]
Заказ	48	720	46,080	2,903,040	∞
График					-	-
Имя	3 _1,-1	3 ₁₀	3 ₁₁	3 ₂₁	3 ₃₁	3 ₄₁

Этот многогранник является одним из 63 однородных 6-многогранников, порожденных из _{B 6} плоскости Кокстера , включая правильный 6-куб или 6-ортоплекс.

Ссылки

ХСМ Коксетер :
- HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
  - (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
  - (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. 1966 год
Клитцинг, Ричард. «6D однородные многогранники (полипеты) x3o3o3o3o4o - ну и дела» .

Специфический

^ Коксетер, Правильные многогранники, раздел 1.8. Конфигурации.
^ Коксетер, Комплексные правильные многогранники, стр.117
^ Квазикристаллы и геометрия , Марджори Сенешаль, 1996, Cambridge University Press, стр. 64. 2.7.1 I ₆ Кристалл

Внешние ссылки

Ольшевский, Георгий. «Перекрестный многогранник» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
Многогранники различных размерностей
Многомерный глоссарий

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[1] Коксетер, Правильные многогранники, раздел 1.8. Конфигурации.

[2] Коксетер, Комплексные правильные многогранники, стр.117

[3] Квазикристаллы и геометрия , Марджори Сенешаль, 1996, Cambridge University Press, стр. 64. 2.7.1 I ₆ Кристалл

[1]

[2]

[3]

Многогранники B6
β₆	t₁β₆	t₂β₆	t₂γ₆	t₁γ₆	γ₆	t_0,1β₆	t_0,2β₆
t_1,2β₆	t_0,3β₆	t_1,3β₆	t_2,3γ₆	t_0,4β₆	t_1,4γ₆	t_1,3γ₆	t_1,2γ₆
t_0,5γ₆	t_0,4γ₆	t_0,3γ₆	t_0,2γ₆	t_0,1γ₆	t_0,1,2β₆	t_0,1,3β₆	t_0,2,3β₆
t_1,2,3β₆	t_0,1,4β₆	t_0,2,4β₆	t_1,2,4β₆	t_0,3,4β₆	t_1,2,4γ₆	t_1,2,3γ₆	t_0,1,5β₆
t_0,2,5β₆	t_0,3,4γ₆	t_0,2,5γ₆	t_0,2,4γ₆	t_0,2,3γ₆	t_0,1,5γ₆	t_0,1,4γ₆	t_0,1,3γ₆
t_0,1,2γ₆	t_0,1,2,3β₆	t_0,1,2,4β₆	t_0,1,3,4β₆	t_0,2,3,4β₆	t_1,2,3,4γ₆	t_0,1,2,5β₆	t_0,1,3,5β₆
t_0,2,3,5γ₆	t_0,2,3,4γ₆	t_0,1,4,5γ₆	t_0,1,3,5γ₆	t_0,1,3,4γ₆	t_0,1,2,5γ₆	t_0,1,2,4γ₆	t_0,1,2,3γ₆
t_0,1,2,3,4β₆	t_0,1,2,3,5β₆	t_0,1,2,4,5β₆	t_0,1,2,4,5γ₆	t_0,1,2,3,5γ₆	t_0,1,2,3,4γ₆	t_0,1,2,3,4,5γ₆