E 9 сотовый

В геометрии соты E ₉ представляют собой мозаику однородных многогранников в гиперболическом 9-мерном пространстве. ${\bar {T}}_{9}$, также (E ₁₀ ) является паракомпактной гиперболической группой, поэтому ни фасеты , ни вершинные фигуры не будут ограничены.

E ₁₀ — последняя из серии групп Кокстера с раздвоенной диаграммой Кокстера-Дынкина длин 6,2,1. Существует 1023 уникальных сот E ₁₀ по всем комбинациям диаграммы Кокстера-Динкина . В семействе нет правильных сот, поскольку его диаграмма Кокстера представляет собой нелинейный граф, но есть три простейших, с одним кольцом на конце трех ветвей: 6 ₂₁ , 2 ₆₁ , 1 ₆₂ .

6 ₂₁ сот

6 21 сот
Семья	к 21 многогранник
Символ Шлефли	{3,3,3,3,3,3,3 2,1 }
Символ Коксетера	6 21
Диаграмма Кокстера-Динкина
9-ликий	6 11 {3 8 }
8-гранный	{3 7 }
7-гранный	{3 6 }
6-гранный	{3 5 }
5-гранный	{3 4 }
4-ликий	{3 3 }
Клетки	{3 2 }
Лица	{3}
Вершинная фигура	5 21
Группа симметрии	${\bar {T}}_{9}$, [3 6,2,1 ]

Соты 6 ₂₁ граней построены из чередующихся 9-симплексных и 9-ортоплексных в пределах симметрии группы Кокстера E ₁₀ .

Эти соты очень регулярны в том смысле, что их группа симметрии (аффинная группа Вейля E ₉ ) действует транзитивно на k -гранях при k ⩽ 7. Все k -грани при k ⩽ 8 являются симплексами.

Эти соты являются последними в серии k ₂₁ многогранников , перечисленной Торольдом Госсетом в 1900 году, в которой перечислены многогранники и соты, построенные полностью из правильных граней, хотя его список заканчивался 8-мерными евклидовыми сотами 5 ₂₁ .

Строительство

Он создан с помощью конструкции Витгофа на основе набора из 10 гиперплоских зеркал в 9-мерном гиперболическом пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Динкина .

Удаление узла на конце ветви длиной 2 оставляет 9-ортоплекс , 7 ₁₁ .

Удаление узла на конце ветви длиной 1 оставляет 9-симплекс .

Фигура вершины определяется путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Это делает 5 ₂₁ соты .

Фигура ребра определяется из фигуры вершины путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Это делает 4 ₂₁ многогранник .

Фигура грани определяется по фигуре ребра путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Это делает 3 ₂₁ многогранник .

Фигура ячейки определяется по фигуре грани путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Это делает 2 ₂₁ многогранник .

Связанные многогранники и соты

Число 6 ₂₁ является последним в размерной серии полуправильных многогранников и сот, идентифицированных в 1900 году Торольдом Госсетом . Каждый член последовательности имеет предыдущий элемент в качестве фигуры вершины . Все грани этих многогранников являются правильными многогранниками , а именно симплексами и ортоплексами .

показывать k 21 фигура в n измерениях
Space	Finite						Euclidean	Hyperbolic
En	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxeter group	E3=A2A1	E4=A4	E5=D5	E6	E7	E8	E9 = ${\tilde {E}}_{8}$ = E8+	E10 = ${\bar {T}}_{8}$ = E8++
Coxeter diagram
Symmetry	[3−1,2,1]	[30,2,1]	[31,2,1]	[32,2,1]	[33,2,1]	[34,2,1]	[35,2,1]	[36,2,1]
Order	12	120	1,920	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
Graph							-	-
Name	−121	021	121	221	321	421	521	621

2 ₆₁ сот

2 61 сот
Семья	2 k1 Многогранник
Символ Шлефли	{3,3,3 6,1 }
Символ Коксетера	2 61
Диаграмма Кокстера-Динкина
9-гранные типы	2 51 {3 7 }
8-гранные типы	2 41 , {3 7 }
7-гранные типы	2 31 , {3 6 }
6-гранные типы	2 21 , {3 5 }
5-гранные типы	2 11 , {3 4 }
4-гранный тип	{3 3 }
Клетки	{3 2 }
Лица	{3}
Вершинная фигура	1 61
Группа Коксетера	${\bar {T}}_{9}$, [3 6,2,1 ]

Соты 2 ₆₁ состоят из 2 ₅₁ 9-сотовых и 9-симплексных граней . Это последняя фигурка 2k1 _{семействе} в .

Строительство

Он создан с помощью конструкции Витгофа на основе набора из 10 гиперплоских зеркал в 9-мерном гиперболическом пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Динкина .

Удаление узла на короткой ветви оставляет 9-симплекс .

При удалении узла на конце ветки длиной 6 остаются 2 ₅₁ соты . Это бесконечная грань, поскольку E10 — паракомпактная гиперболическая группа.

Фигура вершины определяется путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Получается 9-демикуб , 1 ₆₁ .

Реберная фигура — это вершина реберной фигуры. Это делает исправленный 8-симплекс 0 ₅₁ .

Фигура грани определяется по фигуре ребра путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Получается 5-симплексная призма.

Связанные многогранники и соты

Число 2 ₆₁ является последним в размерном ряду однородных многогранников и сот.

показывать 2 k 1 фигур в n измерениях
Space	Finite						Euclidean	Hyperbolic
n	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxeter group	E3=A2A1	E4=A4	E5=D5	E6	E7	E8	E9 = ${\tilde {E}}_{8}$ = E8+	E10 = ${\bar {T}}_{8}$ = E8++
Coxeter diagram
Symmetry	[3−1,2,1]	[30,2,1]	[[31,2,1]]	[32,2,1]	[33,2,1]	[34,2,1]	[35,2,1]	[36,2,1]
Order	12	120	384	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
Graph							-	-
Name	2−1,1	201	211	221	231	241	251	261

1 ₆₂ соты

1 62 соты
Семья	1 k2 многогранник
Символ Шлефли	{3,3 6,2 }
Символ Коксетера	1 62
Диаграмма Кокстера-Динкина
9-гранные типы	1 52 , 1 61
8-гранные типы	1 42 , 1 51
7-гранные типы	1 32 , 1 41
6-гранные типы	1 22 , {3 1,3,1 } {3 5 }
5-гранные типы	1 21 , {3 4 }
4-гранный тип	1 11 , {3 3 }
Клетки	{3 2 }
Лица	{3}
Вершинная фигура	т 2 {3 8 }
Группа Коксетера	${\bar {T}}_{9}$, [3 6,2,1 ]

Соты 1 ₆₂ 9 содержат 1 ₅₂ (9-сотовых) и 1 ₆₁ -полукубических граней . Это последняя фигура в 1 _k2 семействе многогранников .

Строительство

Он создан с помощью конструкции Витхоффа на основе набора из 10 гиперплоских зеркал в 9-мерном пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Динкина .

Удаление узла на конце ветви длиной 2 оставляет 9-демикуб , 1 ₆₁ .

При удалении узла на конце ветви длиной 6 остаются 1 _{52 дюйма} соты длиной .

Фигура вершины определяется путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Это делает биректифицированный 9-симплекс , 0 ₆₂ .

Связанные многогранники и соты

Число ₁₆₂ является последним в размерном ряду однородных многогранников и сот.

показывать 1 k2 фигур в n измерениях
Space	Finite						Euclidean	Hyperbolic
n	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxeter group	E3=A2A1	E4=A4	E5=D5	E6	E7	E8	E9 = ${\tilde {E}}_{8}$ = E8+	E10 = ${\bar {T}}_{8}$ = E8++
Coxeter diagram
Symmetry (order)	[3−1,2,1]	[30,2,1]	[31,2,1]	[[32,2,1]]	[33,2,1]	[34,2,1]	[35,2,1]	[36,2,1]
Order	12	120	1,920	103,680	2,903,040	696,729,600	∞
Graph							-	-
Name	1−1,2	102	112	122	132	142	152	162

Ссылки

• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, ISBN   978-1-56881-220-5 [1]
• Коксетер Красота геометрии: двенадцать эссе , Dover Publications, 1999, ISBN   978-0-486-40919-1 (Глава 3: Конструкция Витхоффа для однородных многогранников)
• Кокстера Регулярные многогранники (1963), Macmillan Company
  • Правильные многогранники , Третье издание, (1973), Дуврское издание, ISBN   0-486-61480-8 (Глава 5: Калейдоскоп)
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 [2]
  • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]