Jump to content

Гиперкуб

(Перенаправлено с 14-куба )
В следующих перспективных проекциях куб ​​3-куб, а тессеракт — 4-куб.

В геометрии гиперкуб ​​это n -мерный аналог квадрата ( n = 2 ) и куба ( n = 3 ). Это замкнутая , компактная , выпуклая которой фигура, 1- скелет состоит из групп противоположных параллельных отрезков, пространства выровненных в каждом из измерений , перпендикулярных друг другу и одинаковой длины. Самая длинная диагональ единичного гиперкуба в n измерениях равна .

n - мерный гиперкуб чаще называют n -кубом или иногда n -мерным кубом . [1] [2] Термин «многогранник меры» (родом из Эльте, 1912 г.). [3] также используется, особенно в работе HSM Coxeter , который также называет гиперкубы многогранниками γ n . [4]

Гиперкуб — ​​это частный случай гиперпрямоугольника ( также называемого n-ортотопом ).

Единичный гиперкуб — ​​это гиперкуб, длина стороны которого равна одной единице . Часто гиперкуб, углы (или вершины ) которого равны 2 н точки в R н каждая координата которого равна 0 или 1, называется единичным гиперкубом.

Строительство

[ редактировать ]

По количеству измерений

[ редактировать ]
Анимация, показывающая, как создать тессеракт из точки.

Гиперкуб можно определить, увеличивая количество измерений фигуры:

0 – Точка – это гиперкуб нулевой размерности.
1 – Если переместить эту точку на одну единицу длины, она выметет отрезок линии, который представляет собой единичный гиперкуб размерности один.
2 – Если переместить этот отрезок, его длину перпендикулярно самому себе; он выметает двумерный квадрат.
3. Если переместить квадрат на одну единицу длины в направлении, перпендикулярном плоскости, на которой он лежит, получится трехмерный куб.
4. Если переместить куб на одну единицу длины в четвертое измерение, образуется четырехмерный единичный гиперкуб (единичный тессеракт ).

Это можно обобщить на любое количество измерений. Этот процесс выметания объемов можно формализовать математически как сумму Минковского : d -мерный гиперкуб представляет собой сумму Минковского d взаимно перпендикулярных отрезков единичной длины и, следовательно, является примером зонотопа .

1- скелет гиперкуба представляет собой граф гиперкуба .

Координаты вершины

[ редактировать ]
Проекция вращающегося тессеракта .

Единичный гиперкуб размерности является выпуклой оболочкой всего точки, чьи декартова координата равна либо Каждая или . Эти точки являются его вершинами . Гиперкуб с этими координатами также является декартовым произведением из копии единичного интервала . можно получить еще один единичный гиперкуб с центром в начале окружающего пространства Из этого путем перевода . Это выпуклая оболочка точки, векторы декартовых координат которых равны

Здесь символ означает, что каждая координата либо равна или чтобы . Этот единичный гиперкуб также является декартовым произведением. . Любой единичный гиперкуб имеет длину ребра и -мерный объем .

The -мерный гиперкуб, полученный как выпуклая оболочка точек с координатами или, что то же самое, как декартово произведение также часто рассматривается из-за более простой формы координат его вершин. Длина его ребра равна и его -мерный объем .

Каждый гиперкуб допускает в качестве своих граней гиперкубы более низкой размерности, содержащиеся в его границе. Гиперкуб измерения признает грани или грани измерения : а ( -мерный) отрезок имеет конечные точки; а ( -мерный) квадрат имеет стороны или края; а -мерный куб имеет квадратные лица; а ( -мерный) тессеракт имеет трехмерные кубы в качестве его граней. Число вершин гиперкуба размерностью является (обычный, -мерный куб имеет вершины, например). [5]

Количество -мерные гиперкубы (называемые просто -кубы (здесь и далее), содержащиеся на границе -куб это

, [6] где и обозначает факториал .

Например, граница г. -куб ( ) содержит кубики ( -кубики), квадраты ( -кубики), отрезки линии ( -кубики) и вершины ( -кубики). Это тождество можно доказать простым комбинаторным рассуждением: для каждого из вершины гиперкуба существуют способы выбора коллекции ребра, инцидентные этой вершине. Каждая из этих коллекций определяет один из -мерные грани, инцидентные рассматриваемой вершине. Проделав это для всех вершин гиперкуба, каждая из -мерные грани гиперкуба подсчитываются раз, так как в нем столько вершин, и нам нужно разделить по этому номеру.

По количеству граней гиперкуба можно вычислить -мерный объем его границы: этот объем раз больше объёма -мерный гиперкуб; то есть, где — длина ребер гиперкуба.

Эти числа также могут быть сгенерированы с помощью линейного рекуррентного соотношения .

, с , и когда , , или .

Например, расширение квадрата через его 4 вершины добавляет один дополнительный сегмент линии (ребро) на каждую вершину. Добавление противоположного квадрата в куб дает отрезки линии.

Расширенный f-вектор для n -куба также можно вычислить, разложив (кратко, (2,1) н ) и считывания коэффициентов полученного полинома . Например, элементы тессеракта — это (2,1) 4 = (4,4,1) 2 = (16,32,24,8,1).

Число из -мерные грани -мерный гиперкуб (последовательность A038207 в OEIS )
м 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
н n- куб Имена Шлефли
Коксетер
Вертекс
0-грань
Край
1-сторонний
Лицо
2-сторонний
Клетка
3-сторонний

4-сторонний

5-гранный

6-гранный

7-гранный

8-гранный

9-гранный

10-гранный
0 0-куб Точка
деньги
( )

1
1 1-куб Отрезок линии
Дион [7]
{}

2 1
2 2-куб. Квадрат
Четырехугольник
{4}

4 4 1
3 3-куб Куб
Шестигранник
{4,3}

8 12 6 1
4 4-кубовый Тессеракт
Октахорон
{4,3,3}

16 32 24 8 1
5 5-куб Пентеракт
Дека-5-топ
{4,3,3,3}

32 80 80 40 10 1
6 6-куб. Гексеракт
Додека-6-топ
{4,3,3,3,3}

64 192 240 160 60 12 1
7 7-куб Гептеракт
Тетрадека-7-топ
{4,3,3,3,3,3}

128 448 672 560 280 84 14 1
8 8-кубовый Октеракт
Гексадека-8-топ
{4,3,3,3,3,3,3}

256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 1
9 9-куб Эннеракт
Октадека-9-топ
{4,3,3,3,3,3,3,3}

512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 1
10 10-кубовый Декеракт
Икоса-10 топов
{4,3,3,3,3,3,3,3,3}

1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 1

n - куб можно спроектировать внутри правильного 2 - угольного многоугольника с помощью косой ортогональной проекции , показанной здесь, от отрезка прямой к 16-кубу.

Многоугольник Петри Ортографические проекции

Отрезок линии

Квадрат

Куб

Тессеракт

5-куб

6-куб.

7-куб

8-кубовый

9-куб

10-кубовый

11-куб

12-кубовый

13-кубовый

14-кубовый

15-кубовый

16-кубовый
[ редактировать ]

Гиперкубы — одно из немногих семейств правильных многогранников , которые представлены в любом количестве измерений. [8]

Семейство гиперкубов (смещений) — одно из трех семейств правильных многогранников , обозначенных Коксетером как γ n . Два других — это двойственное семейство гиперкуба, кросс-многогранники , помеченные как β n, и симплексы , помеченные как α n . Четвертое семейство, бесконечные мозаики гиперкубов , обозначается как δ n .

Другое родственное семейство полуправильных и однородных многогранников — это полугиперкубы , которые состоят из гиперкубов с альтернативными удаленными вершинами и симплексными добавленными в промежутках гранями, обозначенными как hγ n .

n -кубы можно комбинировать с их двойниками ( перекрестными многогранниками ) для образования составных многогранников:

Связь с ( n −1)-симплексами

[ редактировать ]

Граф ребер n -гиперкуба изоморфен диаграмме Хассе n 1) -симплекса ( решетки граней . В этом можно убедиться, ориентируя n -гиперкуб так, чтобы две противоположные вершины лежали вертикально, что соответствует самому ( n -1)-симплексу и нулевому многограннику соответственно. Каждая вершина, соединенная с верхней вершиной, затем однозначно отображается в одну из граней ( n -1)-симплекса ( n -3 граней симплекса -2 граней), а каждая вершина, соединенная с этими вершинами, отображается в одну из n и т. д. , а вершины, соединенные с нижней вершиной, сопоставляются с вершинами симплекса.

Это соотношение можно использовать для эффективного создания решетки граней ( n -1)-симплекса, поскольку алгоритмы перечисления решетки граней, применимые к общим многогранникам, являются более дорогостоящими в вычислительном отношении.

Обобщенные гиперкубы

[ редактировать ]

Регулярные комплексные многогранники могут быть определены в комплексном гильбертовом пространстве, называемом обобщенными гиперкубами , γ п
n
= p {4} 2 {3}... 2 {3} 2 , или .. . Действительные решения существуют при p = 2, т.е. γ 2
n
= γ n = 2 {4} 2 {3}... 2 {3} 2 = {4,3,..,3}. При p > 2 они существуют в . Фасеты представляют собой обобщенный ( n −1)-куб, а вершинная фигура — регулярные симплексы .

Периметр правильного многоугольника , видимый в этих ортогональных проекциях, называется многоугольником Петри . Обобщенные квадраты ( n = 2) показаны с краями, обведенными p -ребрами чередующегося красного и синего цвета, тогда как более высокие n -кубы нарисованы с p -ребрами, обведенными черным.

Количество элементов m -грани в p -обобщенном n -кубе равно: . это п н вершины и pn грани. [9]

Обобщенные гиперкубы
р =2 р =3 р =4 р =5 р =6 р =7 р =8

с 2
2
= {4} =
4 вершины

с 3
2
=
9 вершин

с 4
2
=
16 вершин

с 5
2
=
25 вершин

с 6
2
=
36 вершин

с 7
2
=
49 вершин

с 8
2
=
64 вершины

с 2
3
= {4,3} =
8 вершин

с 3
3
=
27 вершин

с 4
3
=
64 вершины

с 5
3
=
125 вершин

с 6
3
=
216 вершин

с 7
3
=
343 вершины

с 8
3
=
512 вершин

с 2
4
= {4,3,3}
=
16 вершин

с 3
4
=
81 вершина

с 4
4
=
256 вершин

с 5
4
=
625 вершин

с 6
4
=
1296 вершин

с 7
4
=
2401 вершина

с 8
4
=
4096 вершин

с 2
5
= {4,3,3,3}
=
32 вершины

с 3
5
=
243 вершины

с 4
5
=
1024 вершины

с 5
5
=
3125 вершин

с 6
5
=
7776 вершин
с 7
5
=
16 807 вершин
с 8
5
=
32 768 вершин

с 2
6
= {4,3,3,3,3}
=
64 вершины

с 3
6
=
729 вершин

с 4
6
=
4096 вершин

с 5
6
=
15 625 вершин
с 6
6
=
46 656 вершин
с 7
6
=
117 649 вершин
с 8
6
=
262 144 вершины

с 2
7
= {4,3,3,3,3,3}
=
128 вершин

с 3
7
=
2187 вершин
с 4
7
=
16 384 вершины
с 5
7
=
78 125 вершин
с 6
7
=
279 936 вершин
с 7
7
=
823 543 вершины
с 8
7
=
2 097 152 вершины

с 2
8
= {4,3,3,3,3,3,3}
=
256 вершин

с 3
8
=
6561 вершина
с 4
8
=
65 536 вершин
с 5
8
=
390 625 вершин
с 6
8
=
1 679 616 вершин
с 7
8
=
5 764 801 вершина
с 8
8
=
16 777 216 вершин

Отношение к возведению в степень

[ редактировать ]

Любое положительное целое число, возведенное в другую положительную целую степень, даст третье целое число, причем это третье целое число представляет собой определенный тип фигурного числа, соответствующий n -кубу с числом измерений, соответствующим экспоненте. Например, показатель степени 2 даст квадратное число или «идеальный квадрат», который можно расположить в форме квадрата с длиной стороны, соответствующей длине стороны. Точно так же показатель степени 3 даст идеальный куб — ​​целое число, которое можно расположить в форме куба с длиной стороны, равной основанию. В результате действие возведения числа до 2 или 3 чаще называют « возведением в квадрат » и «возведением в куб» соответственно. Однако названия гиперкубов более высокого порядка, похоже, не широко используются высшими силами.

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Пол Доорен; Люк Риддер. «Адаптивный алгоритм численного интегрирования по n-мерному кубу» .
  2. ^ Сяофань Ян; Юань Тан. «Алгоритм диагностики (4n - 9)/3 в n-мерной сети кубов» .
  3. ^ Эльте, ЭЛ (1912). «IV, Пятимерный полуправильный многогранник». Полуправильные многогранники гиперпространств . Нидерланды: Университет Гронингена . ISBN  141817968X .
  4. ^ Coxeter 1973 иллюстрацию Рис. 7.2 C. , стр. 122–123, §7.2, см .
  5. ^ Мирослав Вореховский; Ян Машек; Ян Элиаш (ноябрь 2019 г.). «Оптимальная выборка на основе расстояния в гиперкубе: аналогии с системами N тел». Достижения в области инженерного программного обеспечения . 137 . 102709. дои : 10.1016/j.advengsoft.2019.102709 . ISSN   0965-9978 .
  6. ^ Коксетер 1973 , с. 122, §7·25.
  7. ^ Джонсон, Норман В.; Геометрии и преобразования , Издательство Кембриджского университета, 2018, стр.224.
  8. ^ Нога Алон. «Передача в n-мерном кубе» .
  9. ^ Коксетер, HSM (1974), Регулярные комплексные многогранники , Лондон и Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета , стр. 180, МР   0370328 .
[ редактировать ]
Семья н Б н И 2 (п) / Д н Е 6 / Е 7 / Е 8 / Ж 4 / Г 2 Ч н
Правильный многоугольник Треугольник Квадрат п-гон Шестиугольник Пентагон
Однородный многогранник Тетраэдр Октаэдр Куб Демикуб Додекаэдр Икосаэдр
Равномерный полихорон Пентахорон 16 ячеек Тессеракт Демитессеракт 24-ячеечный 120 ячеек 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник 5-симплекс 5-ортоплекс 5-куб 5-демикуб
Равномерный 6-многогранник 6-симплекс 6-ортоплекс 6-куб 6-демикуб 1 22 2 21
Равномерный 7-многогранник 7-симплекс 7-ортоплекс 7-куб 7-демикуб 1 32 2 31 3 21
Равномерный 8-многогранник 8-симплекс 8-ортоплекс 8-куб 8-демикуб 1 42 2 41 4 21
Равномерный 9-многогранник 9-симплекс 9-ортоплекс 9-куб 9-демикуб
Равномерный 10-многогранник 10-симплекс 10-ортоплекс 10-куб 10-демикуб
Равномерный n - многогранник n - симплекс n - ортоплекс n - куб n - демикуб 1 лиц 2 2 лиц 1 лиц 21 n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников Правильный многогранник Список правильных многогранников и соединений.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 1d70c65e38488a012b8ee5bab370f056__1721781960
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/1d/56/1d70c65e38488a012b8ee5bab370f056.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Hypercube - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)