Гиперкуб
В геометрии гиперкуб — это n -мерный аналог квадрата ( n = 2 ) и куба ( n = 3 ). Это замкнутая , компактная , выпуклая которой фигура, 1- скелет состоит из групп противоположных параллельных отрезков, пространства выровненных в каждом из измерений , перпендикулярных друг другу и одинаковой длины. Самая длинная диагональ единичного гиперкуба в n измерениях равна .
n - мерный гиперкуб чаще называют n -кубом или иногда n -мерным кубом . [1] [2] Термин «многогранник меры» (родом из Эльте, 1912 г.). [3] также используется, особенно в работе HSM Coxeter , который также называет гиперкубы многогранниками γ n . [4]
Гиперкуб — это частный случай гиперпрямоугольника ( также называемого n-ортотопом ).
Единичный гиперкуб — это гиперкуб, длина стороны которого равна одной единице . Часто гиперкуб, углы (или вершины ) которого равны 2 н точки в R н каждая координата которого равна 0 или 1, называется единичным гиперкубом.
Строительство
[ редактировать ]По количеству измерений
[ редактировать ]Гиперкуб можно определить, увеличивая количество измерений фигуры:
- 0 – Точка – это гиперкуб нулевой размерности.
- 1 – Если переместить эту точку на одну единицу длины, она выметет отрезок линии, который представляет собой единичный гиперкуб размерности один.
- 2 – Если переместить этот отрезок, его длину перпендикулярно самому себе; он выметает двумерный квадрат.
- 3. Если переместить квадрат на одну единицу длины в направлении, перпендикулярном плоскости, на которой он лежит, получится трехмерный куб.
- 4. Если переместить куб на одну единицу длины в четвертое измерение, образуется четырехмерный единичный гиперкуб (единичный тессеракт ).
Это можно обобщить на любое количество измерений. Этот процесс выметания объемов можно формализовать математически как сумму Минковского : d -мерный гиперкуб представляет собой сумму Минковского d взаимно перпендикулярных отрезков единичной длины и, следовательно, является примером зонотопа .
1- скелет гиперкуба представляет собой граф гиперкуба .
Координаты вершины
[ редактировать ]Единичный гиперкуб размерности является выпуклой оболочкой всего точки, чьи декартова координата равна либо Каждая или . Эти точки являются его вершинами . Гиперкуб с этими координатами также является декартовым произведением из копии единичного интервала . можно получить еще один единичный гиперкуб с центром в начале окружающего пространства Из этого путем перевода . Это выпуклая оболочка точки, векторы декартовых координат которых равны
Здесь символ означает, что каждая координата либо равна или чтобы . Этот единичный гиперкуб также является декартовым произведением. . Любой единичный гиперкуб имеет длину ребра и -мерный объем .
The -мерный гиперкуб, полученный как выпуклая оболочка точек с координатами или, что то же самое, как декартово произведение также часто рассматривается из-за более простой формы координат его вершин. Длина его ребра равна и его -мерный объем .
Лица
[ редактировать ]Каждый гиперкуб допускает в качестве своих граней гиперкубы более низкой размерности, содержащиеся в его границе. Гиперкуб измерения признает грани или грани измерения : а ( -мерный) отрезок имеет конечные точки; а ( -мерный) квадрат имеет стороны или края; а -мерный куб имеет квадратные лица; а ( -мерный) тессеракт имеет трехмерные кубы в качестве его граней. Число вершин гиперкуба размерностью является (обычный, -мерный куб имеет вершины, например). [5]
Количество -мерные гиперкубы (называемые просто -кубы (здесь и далее), содержащиеся на границе -куб это
Например, граница г. -куб ( ) содержит кубики ( -кубики), квадраты ( -кубики), отрезки линии ( -кубики) и вершины ( -кубики). Это тождество можно доказать простым комбинаторным рассуждением: для каждого из вершины гиперкуба существуют способы выбора коллекции ребра, инцидентные этой вершине. Каждая из этих коллекций определяет один из -мерные грани, инцидентные рассматриваемой вершине. Проделав это для всех вершин гиперкуба, каждая из -мерные грани гиперкуба подсчитываются раз, так как в нем столько вершин, и нам нужно разделить по этому номеру.
По количеству граней гиперкуба можно вычислить -мерный объем его границы: этот объем раз больше объёма -мерный гиперкуб; то есть, где — длина ребер гиперкуба.
Эти числа также могут быть сгенерированы с помощью линейного рекуррентного соотношения .
- , с , и когда , , или .
Например, расширение квадрата через его 4 вершины добавляет один дополнительный сегмент линии (ребро) на каждую вершину. Добавление противоположного квадрата в куб дает отрезки линии.
Расширенный f-вектор для n -куба также можно вычислить, разложив (кратко, (2,1) н ) и считывания коэффициентов полученного полинома . Например, элементы тессеракта — это (2,1) 4 = (4,4,1) 2 = (16,32,24,8,1).
м | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
н | n- куб | Имена | Шлефли Коксетер | Вертекс 0-грань | Край 1-сторонний | Лицо 2-сторонний | Клетка 3-сторонний | 4-сторонний | 5-гранный | 6-гранный | 7-гранный | 8-гранный | 9-гранный | 10-гранный |
0 | 0-куб | Точка деньги | ( ) | 1 | ||||||||||
1 | 1-куб | Отрезок линии Дион [7] | {} | 2 | 1 | |||||||||
2 | 2-куб. | Квадрат Четырехугольник | {4} | 4 | 4 | 1 | ||||||||
3 | 3-куб | Куб Шестигранник | {4,3} | 8 | 12 | 6 | 1 | |||||||
4 | 4-кубовый | Тессеракт Октахорон | {4,3,3} | 16 | 32 | 24 | 8 | 1 | ||||||
5 | 5-куб | Пентеракт Дека-5-топ | {4,3,3,3} | 32 | 80 | 80 | 40 | 10 | 1 | |||||
6 | 6-куб. | Гексеракт Додека-6-топ | {4,3,3,3,3} | 64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 1 | ||||
7 | 7-куб | Гептеракт Тетрадека-7-топ | {4,3,3,3,3,3} | 128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | 14 | 1 | |||
8 | 8-кубовый | Октеракт Гексадека-8-топ | {4,3,3,3,3,3,3} | 256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 1 | ||
9 | 9-куб | Эннеракт Октадека-9-топ | {4,3,3,3,3,3,3,3} | 512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | 18 | 1 | |
10 | 10-кубовый | Декеракт Икоса-10 топов | {4,3,3,3,3,3,3,3,3} | 1024 | 5120 | 11520 | 15360 | 13440 | 8064 | 3360 | 960 | 180 | 20 | 1 |
Графики
[ редактировать ]n - куб можно спроектировать внутри правильного 2 - угольного многоугольника с помощью косой ортогональной проекции , показанной здесь, от отрезка прямой к 16-кубу.
Отрезок линии | Квадрат | Куб | Тессеракт |
5-куб | 6-куб. | 7-куб | 8-кубовый |
9-куб | 10-кубовый | 11-куб | 12-кубовый |
13-кубовый | 14-кубовый | 15-кубовый | 16-кубовый |
Родственные семейства многогранников
[ редактировать ]Гиперкубы — одно из немногих семейств правильных многогранников , которые представлены в любом количестве измерений. [8]
Семейство гиперкубов (смещений) — одно из трех семейств правильных многогранников , обозначенных Коксетером как γ n . Два других — это двойственное семейство гиперкуба, кросс-многогранники , помеченные как β n, и симплексы , помеченные как α n . Четвертое семейство, мозаики гиперкубов , обозначается как δn . бесконечные
Другое родственное семейство полуправильных и однородных многогранников — это полугиперкубы , которые состоят из гиперкубов с альтернативными удаленными вершинами и симплексными добавленными в промежутках гранями, обозначенными как hγ n .
n -кубы можно комбинировать с их двойниками ( перекрестными многогранниками ) для образования составных многогранников:
- В двух измерениях мы получаем октаграммную фигуру звезды {8/2},
- В трёх измерениях получаем соединение куба и октаэдра ,
- В четырех измерениях мы получаем соединение тессеракта и 16-клеточного .
Связь с ( n −1)-симплексами
[ редактировать ]Граф ребер n -гиперкуба изоморфен диаграмме Хассе n − 1) -симплекса ( решетки граней . В этом можно убедиться, ориентируя n -гиперкуб так, чтобы две противоположные вершины лежали вертикально, что соответствует самому ( n -1)-симплексу и нулевому многограннику соответственно. Каждая вершина, соединенная с верхней вершиной, затем однозначно отображается в одну из граней ( n -1)-симплекса ( n -3 граней симплекса -2 граней), а каждая вершина, соединенная с этими вершинами, отображается в одну из n и т. д. , а вершины, соединенные с нижней вершиной, сопоставляются с вершинами симплекса.
Это соотношение можно использовать для эффективного создания решетки граней ( n -1)-симплекса, поскольку алгоритмы перечисления решетки граней, применимые к общим многогранникам, являются более дорогостоящими в вычислительном отношении.
Обобщенные гиперкубы
[ редактировать ]Регулярные комплексные многогранники могут быть определены в комплексном гильбертовом пространстве, называемом обобщенными гиперкубами , γ п
n = p {4} 2 {3}... 2 {3} 2 , или .. . Действительные решения существуют при p = 2, т.е. γ 2
n = γ n = 2 {4} 2 {3}... 2 {3} 2 = {4,3,..,3}. При p > 2 они существуют в . Фасеты представляют собой обобщенный ( n −1)-куб, а вершинная фигура — регулярные симплексы .
Периметр правильного многоугольника , видимый в этих ортогональных проекциях, называется многоугольником Петри . Обобщенные квадраты ( n = 2) показаны с краями, обведенными красным и синим чередующимися p -ребрами, тогда как более высокие n -кубы нарисованы с черными p -ребрами.
Количество элементов m -грани в p -обобщенном n -кубе равно: . это п н вершины и pn грани. [9]
р =2 | р =3 | р =4 | р =5 | р =6 | р =7 | р =8 | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
с 2 2 = {4} = 4 вершины | с 3 2 = 9 вершин | с 4 2 = 16 вершин | с 5 2 = 25 вершин | с 6 2 = 36 вершин | с 7 2 = 49 вершин | с 8 2 = 64 вершины | ||
с 2 3 = {4,3} = 8 вершин | с 3 3 = 27 вершин | с 4 3 = 64 вершины | с 5 3 = 125 вершин | с 6 3 = 216 вершин | с 7 3 = 343 вершины | с 8 3 = 512 вершин | ||
с 2 4 = {4,3,3} = 16 вершин | с 3 4 = 81 вершина | с 4 4 = 256 вершин | с 5 4 = 625 вершин | с 6 4 = 1296 вершин | с 7 4 = 2401 вершина | с 8 4 = 4096 вершин | ||
с 2 5 = {4,3,3,3} = 32 вершины | с 3 5 = 243 вершины | с 4 5 = 1024 вершины | с 5 5 = 3125 вершин | с 6 5 = 7776 вершин | с 7 5 = 16 807 вершин | с 8 5 = 32 768 вершин | ||
с 2 6 = {4,3,3,3,3} = 64 вершины | с 3 6 = 729 вершин | с 4 6 = 4096 вершин | с 5 6 = 15 625 вершин | с 6 6 = 46 656 вершин | с 7 6 = 117 649 вершин | с 8 6 = 262 144 вершины | ||
с 2 7 = {4,3,3,3,3,3} = 128 вершин | с 3 7 = 2187 вершин | с 4 7 = 16 384 вершины | с 5 7 = 78 125 вершин | с 6 7 = 279 936 вершин | с 7 7 = 823 543 вершины | с 8 7 = 2 097 152 вершины | ||
с 2 8 = {4,3,3,3,3,3,3} = 256 вершин | с 3 8 = 6561 вершина | с 4 8 = 65 536 вершин | с 5 8 = 390 625 вершин | с 6 8 = 1 679 616 вершин | с 7 8 = 5 764 801 вершина | с 8 8 = 16 777 216 вершин |
Отношение к возведению в степень
[ редактировать ]Любое положительное целое число, возведенное в другую положительную целую степень, даст третье целое число, причем это третье целое число представляет собой определенный тип фигурного числа, соответствующий n -кубу с числом измерений, соответствующим экспоненте. Например, показатель степени 2 даст квадратное число или «идеальный квадрат», который можно расположить в форме квадрата с длиной стороны, соответствующей длине стороны. Точно так же показатель степени 3 даст идеальный куб — целое число, которое можно расположить в форме куба с длиной стороны, равной основанию. В результате действие возведения числа до 2 или 3 чаще называют « возведением в квадрат » и «возведением в куб» соответственно. Однако названия гиперкубов более высокого порядка, похоже, не широко используются высшими силами.
См. также
[ редактировать ]- Сеть взаимосвязей гиперкуба компьютерной архитектуры
- Гипероктаэдрическая группа , группа симметрии гиперкуба.
- Гиперсфера
- Симплекс
- Параллелотоп
- Распятие (Corpus Hypercubus) (известное произведение искусства)
Примечания
[ редактировать ]- ^ Пол Доорен; Люк Риддер. «Адаптивный алгоритм численного интегрирования по n-мерному кубу» .
- ^ Сяофань Ян; Юань Тан. «Алгоритм диагностики (4n - 9)/3 в n-мерной сети кубов» .
- ^ Эльте, ЭЛ (1912). «IV, Пятимерный полуправильный многогранник». Полуправильные многогранники гиперпространств . Нидерланды: Университет Гронингена . ISBN 141817968X .
- ^ Coxeter 1973 иллюстрацию Рис. 7.2 C. , стр. 122–123, §7.2, см .
- ^ Мирослав Вореховский; Ян Машек; Ян Элиаш (ноябрь 2019 г.). «Оптимальная выборка на основе расстояния в гиперкубе: аналогии с системами N тел». Достижения в области инженерного программного обеспечения . 137 . 102709. дои : 10.1016/j.advengsoft.2019.102709 . ISSN 0965-9978 .
- ^ Коксетер 1973 , с. 122, §7·25.
- ^ Джонсон, Норман В.; Геометрии и трансформации , Издательство Кембриджского университета, 2018, стр.224.
- ^ Нога Алон. «Передача в n-мерном кубе» .
- ^ Коксетер, HSM (1974), Правильные комплексные многогранники , Лондон и Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета , стр. 180, МР 0370328 .
Ссылки
[ редактировать ]- Боуэн, JP (апрель 1982 г.). «Гиперкуб» . Практические вычисления . 5 (4): 97–99. Архивировано из оригинала 30 июня 2008 г. Проверено 30 июня 2008 г.
- Коксетер, HSM (1973). «§7.2. см. рисунок Рис. 7-2c». Правильные многогранники (3-е изд.). Дувр . стр. 122-123 . ISBN 0-486-61480-8 . п. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n измерениях ( n ≥ 5).
- Хилл, Фредерик Дж.; Джеральд Р. Петерсон (1974). Введение в теорию коммутации и логическое проектирование: второе издание . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья . ISBN 0-471-39882-9 . См. главу 7.1 «Кубическое представление булевых функций», где понятие «гиперкуб» вводится как средство демонстрации кода расстояния 1 ( кода Грея ) в качестве вершин гиперкуба, а затем гиперкуб с его вершинами, помеченными таким образом, является сжимается в два измерения, образуя либо диаграмму Вейча , либо карту Карно .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Вайсштейн, Эрик В. «Гиперкуб» . Математический мир .
- Вайсштейн, Эрик В. «Графы гиперкуба» . Математический мир .
- Вращение гиперкуба Энрике Зелени, Демонстрационный проект Wolfram .
- Загрузки Hypercube Руди Ракера и Фариде Дормишян
- A001787 Количество ребер в n-мерном гиперкубе. в OEIS