н -сфера

Каркас из двух сфер как ортогональная проекция

Так же, как стереографическая проекция может проецировать поверхность сферы на плоскость, она также может проецировать 3- сферу в 3 -пространство. На этом изображении показаны три направления координат, проецированные в трехмерное пространство: параллели (красный), меридианы (синий) и гипермеридианы (зеленый). Благодаря конформному свойству стереографической проекции кривые пересекают друг друга ортогонально (в желтых точках), как в 4D. Все кривые представляют собой круги: кривые, пересекающие ⟨0,0,0,1⟩, имеют бесконечный радиус (= прямая линия).

В математике n - сфера или гиперсфера — это ⁠ $n$⁠ - размерное обобщение ⁠ $1$⁠ -мерный круг и ⁠ $2$⁠ -мерная сфера к любому неотрицательному целому числу ⁠ $n$⁠ . ⁠ ​ $n$⁠ -сфера — это место действия ⁠ $n$⁠ -мерная сферическая геометрия .

Рассматривается внешне как гиперповерхность , встроенная в ⁠ $(n+1)$⁠ -мерное евклидово пространство , ⁠ $n$⁠ -сфера — это место геометрическое точек, находящихся на равном расстоянии ( радиусе ) от заданной центральной точки. Его внутренняя часть , состоящая из всех точек, расположенных ближе к центру, чем радиус, представляет собой ⁠ $(n+1)$⁠ трехмерный шар . В частности:

• ⁠ ​ $0$⁠ -сфера — это пара точек на концах отрезка ( ⁠ $1$⁠ -шар).
• ⁠ ​ $1$⁠ -сфера – круг , окружность диска это ( ⁠ $2$⁠ -шар) в двумерной плоскости .
• ⁠ ​ $2$⁠ часто называемая просто сферой, является границей ⁠ -сфера , $3$⁠- шар в трёхмерном пространстве .
• 3 является -сфера границей ⁠ $4$⁠- шар в четырёхмерном пространстве .
• ⁠ ​ $(n-1)$⁠ -сфера — это граница ⁠ $n$⁠ -шар.

Учитывая декартову систему координат , единица ⁠ $n$⁠ -сфера радиуса ⁠ $1$⁠ можно определить как:

$S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=1\right\}.$

Считается по сути, когда ⁠ $n\geq 1$⁠ , ⁠ $n$⁠- сфера представляет собой риманово многообразие положительной постоянной кривизны и ориентируемо . Геодезические ​ ⁠ ​ $n$⁠- сферы называются большими кругами .

Стереографическая проекция отображает ⁠ $n$⁠ -сфера на ⁠ $n$⁠ -пространство с единственной присоединенной точкой на бесконечности ; согласно определенной таким образом метрике , $\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}$ это модель для ⁠ $n$⁠ -сфера.

В более общем понимании топологии любое топологическое пространство гомеоморфное , единице ⁠ $n$⁠ -сфера называется ⁠ $n$⁠ — сфера . При обратной стереографической проекции ⁠ $n$⁠ — это одноточечная компактификация ⁠ -сфера $n$⁠ -пространство. ⁠ ​ $n$⁠ -сферы допускают и несколько других топологических описаний: например, их можно построить склейкой двух ⁠ $n$⁠ -мерные пространства вместе, идентифицируя границу ⁠ $n$⁠ -куб ) образуя подвеску ⁠ с точкой, или ( индуктивно $(n-1)$⁠ -сфера. Когда ⁠ $n\geq 2$⁠ связано просто ; ⁠ ​ $1$⁠ -сфера (круг) не просто связана; ⁠ ​ $0$⁠ -сфера даже не связна и состоит из двух дискретных точек.

Описание

Для любого натурального числа ⁠ $n$⁠ , ан ⁠ $n$⁠ -сфера радиуса ⁠ $r$⁠ определяется как множество точек в ⁠ $(n+1)$⁠ -мерное евклидово пространство , находящееся на расстоянии ⁠ $r$⁠ из некоторой фиксированной точки ⁠ $\mathbf {c}$⁠ , где ⁠ $r$⁠ может быть любым положительным действительным числом и где ⁠ $\mathbf {c}$⁠ может быть любой точкой ⁠ $(n+1)$⁠ -мерное пространство. В частности:

• 0-сфера — это пара точек ⁠ $\{c-r,c+r\}$⁠ , и является границей отрезка ( ⁠ $1$⁠ -шар).
• -сфера 1 - это круг радиуса ⁠ $r$⁠ по центру ⁠ $\mathbf {c}$⁠ , и является границей диска ( ⁠ $2$⁠ -шар).
• – 2 -сфера это обычная ⁠ $2$⁠ -мерная сфера в ⁠ $3$⁠ -мерное евклидово пространство и является границей обычного шара ( ⁠ $3$⁠ -шар).
• - 3 -сфера это ⁠ $3$⁠ -мерная сфера в ⁠ $4$⁠ -мерное евклидово пространство.

Декартовы координаты

Набор точек в ⁠ $(n+1)$⁠ -пространство, ⁠ $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})$⁠ , которые определяют ⁠ $n$⁠ -сфера, ⁠ $S^{n}(r)$⁠ , представляется уравнением:

$r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},$

где ⁠ $\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n+1})$⁠ — центральная точка, а ⁠ $r$⁠ — радиус.

Вышеупомянутое ⁠ $n$⁠ -сфера существует в ⁠ $(n+1)$⁠ -мерное евклидово пространство и является примером ⁠ $n$⁠ — многообразие . Форма объёма ⁠ $\omega$⁠ ⁠ ​ $n$⁠ -сфера радиуса ⁠ $r$⁠ определяется

$\omega ={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}={\star }dr$

где ${\star }$ – звездный оператор Ходжа ; см. Flanders (1989 , §6.1) для обсуждения и доказательства этой формулы в случае ⁠ $r=1$⁠ . Как результат,

$dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.$

н -шар

Основная статья: Шар (математика)

Пространство, окруженное ⁠ $n$⁠ -сфера называется ⁠ $(n+1)$⁠ — мяч . Ан ⁠ $(n+1)$⁠ -шар считается закрытым , если он включает в себя ⁠ $n$⁠ -сфера, и она открыта , если не включает в себя ⁠ $n$⁠ -сфера.

Конкретно:

• А ⁠ $1$⁠ — шар , отрезок прямой , является внутренней частью 0-сферы.
• А ⁠ $2$⁠ - шар , диск , является внутренностью круга ( ⁠ $1$⁠ -сфера).
• А ⁠ $3$⁠ - шар , обычный шар , является внутренностью сферы ( ⁠ $2$⁠ -сфера).
• А ⁠ $4$⁠ — шар — это внутренность 3- сферы и т. д.

Топологическое описание

Топологически ⁠ ​ $n$⁠ -сфера может быть построена как компактификация ⁠ одноточечная $n$⁠ -мерное евклидово пространство. Короче говоря, ⁠ $n$⁠ -сферу можно описать как ⁠ $S^{n}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}$⁠ , то есть ⁠ $n$⁠ -мерное евклидово пространство плюс одна точка, представляющая бесконечность во всех направлениях. В частности, если из ⁠ $n$⁠ , она становится гомеоморфной -сфера $\mathbb {R} ^{n}$. Это формирует основу для стереографической проекции .

Объем и площадь

См. Также: Объем n-шара и Единичная сфера § Объем и площадь.

Пусть ⁠ $S_{n-1}$⁠ — площадь поверхности устройства ⁠ $(n-1)$⁠ -сфера радиуса ⁠ $1$⁠ встроенный в ⁠ $n$⁠ -мерное евклидово пространство, и пусть ⁠ $V_{n}$⁠ — объём его внутренней части, единица измерения ⁠ $n$⁠ -шар. Площадь поверхности произвольного ⁠ $(n-1)$⁠ -сфера пропорциональна ⁠ $(n-1)$⁠- я степень радиуса и произвольный объём ⁠ $n$⁠ -шар пропорционален ⁠ $n$⁠-я степень радиуса.

Графики объемов ( ⁠ $V_{n}$⁠ ) ​​и площади поверхности ( ⁠ $S_{n-1}$⁠ ) ​​из n -шаров радиуса 1 .

⁠ ​ $0$⁠ -шар иногда определяют как одну точку. ⁠ ​ $0$⁠ -мерная мера Хаусдорфа — это количество точек в множестве. Так

$V_{0}=1.$

Единица ⁠ $1$⁠ -шар — отрезок, точки которого имеют единственную координату на отрезке ⁠ $[-1,1]$⁠ длины ⁠ $2$⁠ и ⁠ $0$⁠ -сфера состоит из двух концов с координатой ⁠ $\{-1,1\}$⁠ .

$S_{0}=2,\quad V_{1}=2.$

Единица ⁠ $1$⁠ -сфера — это единичный круг в евклидовой плоскости, а его внутренняя часть — единичный диск ( ⁠ $2$⁠ -шар).

$S_{1}=2\pi ,\quad V_{2}=\pi .$

Внутренняя часть двумерной сферы в трехмерном пространстве - это единица ⁠ $3$⁠ -шар.

$S_{2}=4\pi ,\quad V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi .$

В общем, ⁠ $S_{n-1}$⁠ и ⁠ $V_{n}$⁠ задаются в замкнутом виде выражениями

$S_{n-1}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}},\quad V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}+1{\bigr )}}}$

где ⁠ $\Gamma$⁠ — гамма-функция .

Как ⁠ $n$⁠ стремится к бесконечности, объём единицы ⁠ $n$⁠ -шар (соотношение объёма ⁠ $n$⁠ -шар радиуса ⁠ $1$⁠ и ⁠ $n$⁠ -куб с длиной стороны ⁠ $1$⁠ ) ​​стремится к нулю.

Рецидивы

Площадь поверхности , или правильнее ⁠ $n$⁠ -мерный объём ⁠ $n$⁠ -сфера на границе ⁠ $(n+1)$⁠ -шар радиуса ⁠ $R$⁠ связан с объемом шара дифференциальным уравнением

$S_{n}R^{n}={\frac {dV_{n+1}R^{n+1}}{dR}}={(n+1)V_{n+1}R^{n}}.$

Эквивалентно, представляя единицу ⁠ $n$⁠ -шар как объединение концентрических ⁠ $(n-1)$⁠ -сферные оболочки ,

$V_{n+1}=\int _{0}^{1}S_{n}r^{n}\,dr={\frac {1}{n+1}}S_{n}.$

Мы также можем представить единицу ⁠ $(n+2)$⁠ -сфера как объединение произведений круга ( ⁠ $1$⁠ -сфера) с ⁠ $n$⁠ -сфера. Тогда ⁠ $S_{n+2}=2\pi V_{n+1}$⁠ . Поскольку ⁠ $S_{1}=2\pi V_{0}$⁠ , уравнение

$S_{n+1}=2\pi V_{n}$

справедливо для всех ⁠ $n$⁠ . Наряду с базовыми вариантами ⁠ $S_{0}=2$⁠ , ⁠ $V_{1}=2$⁠ сверху, эти рекурренты можно использовать для вычисления площади поверхности любой сферы или объема любого шара.

Сферические координаты

Мы можем определить систему координат в ⁠ $n$⁠ -мерное евклидово пространство, аналогичное сферической системе координат, определенной для ⁠ $3$⁠ -мерное евклидово пространство, в котором координаты состоят из радиальной координаты ⁠ $r$⁠ и ⁠ $n-1$⁠ угловые координаты ⁠ $\varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n-1}$⁠ , где углы ⁠ $\varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n-2}$⁠ диапазон более ⁠ $[0,\pi ]$⁠ радиан (или ⁠ $[0,180]$⁠ градусов) и ⁠ $\varphi _{n-1}$⁠ превышает ⁠ $[0,2\pi )$⁠ радиан (или ⁠ $[0,360)$⁠ градусов). Если ⁠ $x_{i}$⁠ — декартовы координаты, то мы можем вычислить ⁠ $x_{1},\ldots ,x_{n}$⁠ из ⁠ $r,\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n-1}$⁠ с:

${\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\varphi _{1}),\\[5mu]x_{2}&=r\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2}),\\[5mu]x_{3}&=r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\cos(\varphi _{3}),\\&\qquad \vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1}),\\[5mu]x_{n}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}).\end{aligned}}$

За исключением особых случаев, описанных ниже, обратное преобразование уникально:

${\begin{aligned}r&={\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}+{x_{1}}^{2}}}},\\[5mu]\varphi _{1}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}},x_{1}\right),\\[5mu]\varphi _{2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{3}}^{2}}}},x_{2}\right),\\&\qquad \vdots \\\varphi _{n-2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}},x_{n-2}\right),\\[5mu]\varphi _{n-1}&=\operatorname {atan2} \left(x_{n},x_{n-1}\right).\end{aligned}}$

где atan2 — арктангенс с двумя аргументами.

Есть некоторые особые случаи, когда обратное преобразование не уникально; ⁠ $\varphi _{k}$⁠ для любого ⁠ $k$⁠ будет неоднозначным, если все ⁠ $x_{k},x_{k+1},\ldots x_{n}$⁠ равны нулю; в этом случае ⁠ $\varphi _{k}$⁠ может быть выбран равным нулю. (Например, для ⁠ $2$⁠ -сфера, когда полярный угол равен ⁠ $0$⁠ или ⁠ $\pi$⁠ тогда точка является одним из полюсов, зенитом или надиром, и выбор азимутального угла произволен.)

Сферические элементы объема и площади

Чтобы выразить элемент ⁠ объема $n$⁠ -мерное евклидово пространство в сферических координатах, пусть ⁠ $s_{k}=\sin \varphi _{k}$⁠ и ⁠ $c_{k}=\cos \varphi _{k}$⁠ для краткости обратите внимание, что матрица Якоби преобразования имеет вид:

$J_{n}={\begin{pmatrix}c_{1}&-rs_{1}&0&0&\cdots &0\\s_{1}c_{2}&rc_{1}c_{2}&-rs_{1}s_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\&&&&&0\\s_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}&\cdots &\cdots &&&-rs_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}\\s_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}&rc_{1}\cdots s_{n-1}&\cdots &&&{\phantom {-}}rs_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}\end{pmatrix}}.$

Определитель этой матрицы можно вычислить по индукции. Когда ⁠ $n=2$⁠ , простое вычисление показывает, что определитель равен ⁠ $r$⁠ . Для большего ⁠ $n$⁠ , заметьте, что ⁠ $J_{n}$⁠ можно составить из ⁠ $J_{n-1}$⁠ следующим образом. Кроме столбца ⁠ $n$⁠ , ряды ⁠ $n-1$⁠ и ⁠ $n$⁠ из ⁠ $J_{n}$⁠ такие же, как строка ⁠ $n-1$⁠ из ⁠ $J_{n-1}$⁠ , но умноженный на дополнительный коэффициент ⁠ $\cos \varphi _{n-1}$⁠ в ряд ⁠ $n-1$⁠ и дополнительный коэффициент ⁠ $\sin \varphi _{n-1}$⁠ в ряд ⁠ $n$⁠ . В столбце ⁠ $n$⁠ , ряды ⁠ $n-1$⁠ и ⁠ $n$⁠ из ⁠ $J_{n}$⁠ такие же, как столбец ⁠ $n-1$⁠ ряда ⁠ $n-1$⁠ из ⁠ $J_{n-1}$⁠ , но умноженный на дополнительные коэффициенты ⁠ $\sin \varphi _{n-1}$⁠ в ряд ⁠ $n-1$⁠ и ⁠ $\cos \varphi _{n-1}$⁠ в ряд ⁠ $n$⁠ соответственно. Определитель ⁠ $J_{n}$⁠ можно рассчитать с помощью разложения Лапласа в последнем столбце. По рекурсивному описанию ⁠ $J_{n}$⁠ , подматрица, образованная удалением записи в ⁠ $(n-1,n)$⁠, а его строка и столбец почти равны ⁠ $J_{n-1}$⁠ , за исключением того, что его последняя строка умножается на ⁠ $\sin \varphi _{n-1}$⁠ . Аналогично, подматрица, образованная удалением записи ⁠ $(n,n)$⁠, а его строка и столбец почти равны ⁠ $J_{n-1}$⁠ , за исключением того, что его последняя строка умножается на ⁠ $\cos \varphi _{n-1}$⁠ . Поэтому определитель ⁠ $J_{n}$⁠ это

${\begin{aligned}|J_{n}|&=(-1)^{(n-1)+n}(-rs_{1}\dotsm s_{n-2}s_{n-1})(s_{n-1}|J_{n-1}|)\\&\qquad {}+(-1)^{n+n}(rs_{1}\dotsm s_{n-2}c_{n-1})(c_{n-1}|J_{n-1}|)\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2}|J_{n-1}|(s_{n-1}^{2}+c_{n-1}^{2})\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2})|J_{n-1}|.\end{aligned}}$

Тогда индукция дает замкнутое выражение для элемента объема в сферических координатах.

${\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial \left(r,\varphi _{j}\right)}}\right|dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.\end{aligned}}$

Формула объема ⁠ $n$⁠ -ball можно получить из этого путем интегрирования.

Аналогично элемент площади поверхности ⁠ $(n-1)$⁠ -сфера радиуса ⁠ $r$⁠ , который обобщает элемент площади ⁠ $2$⁠ -сфера, определяется выражением

$d_{S^{n-1}}V=R^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.$

Естественный выбор ортогонального базиса по угловым координатам представляет собой произведение ультрасферических полиномов ,

${\begin{aligned}&{}\quad \int _{0}^{\pi }\sin ^{n-j-1}\left(\varphi _{j}\right)C_{s}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)C_{s'}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)\,d\varphi _{j}\\[6pt]&={\frac {2^{3-n+j}\pi \Gamma (s+n-j-1)}{s!(2s+n-j-1)\Gamma ^{2}\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}}\delta _{s,s'}\end{aligned}}$

для ⁠ $j=1,2,\ldots ,n-2$⁠ и ⁠ $e^{is\varphi _{j}}$⁠ для угла ⁠ $j=n-1$⁠ в соответствии со сферическими гармониками .

Полисферические координаты

Стандартная сферическая система координат возникает из записи ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$⁠ как продукт ⁠ $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1}$⁠ . Эти два фактора можно связать с помощью полярных координат. За каждую точку ⁠ $\mathbf {x}$⁠ из $\mathbb {R} ^{n}$, стандартные декартовы координаты

$\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},z_{1},\dots ,z_{n-1})=(y_{1},\mathbf {z} )$

можно преобразовать в смешанную полярно-декартову систему координат:

$\mathbf {x} =(r\sin \theta ,(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).$

Это говорит о том, что точки в ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$⁠ можно выразить, взяв луч, начинающийся в начале координат и проходящий через ${\hat {\mathbf {z} }}=\mathbf {z} /\lVert \mathbf {z} \rVert \in S^{n-2}$, повернув его в сторону $(1,0,\dots ,0)$ к $\theta =\arcsin y_{1}/r$и путешествуя на расстояние $r=\lVert \mathbf {x} \rVert$ вдоль луча. Повторение этого разложения в конечном итоге приводит к стандартной сферической системе координат.

Полисферические системы координат возникают в результате обобщения этой конструкции. Пространство ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$⁠ разбивается как произведение двух евклидовых пространств меньшей размерности, но ни одно из пространств не обязательно должно быть линией. В частности, предположим, что ⁠ $p$⁠ и ⁠ $q$⁠ — целые положительные числа такие, что ⁠ $n=p+q$⁠ . Тогда ⁠ $\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}$⁠ . Используя это разложение, точка ⁠ $x\in \mathbb {R} ^{n}$⁠ можно записать как

$\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},\dots ,y_{p},z_{1},\dots ,z_{q})=(\mathbf {y} ,\mathbf {z} ).$

Ее можно преобразовать в смешанную полярно-декартову систему координат, написав:

$\mathbf {x} =((r\sin \theta ){\hat {\mathbf {y} }},(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).$

Здесь ${\hat {\mathbf {y} }}$ и ${\hat {\mathbf {z} }}$ — единичные векторы, связанные с ⁠ $\mathbf {y}$⁠ и ⁠ $\mathbf {z}$⁠ . Это выражает ⁠ $\mathbf {x}$⁠ с точки зрения ⁠ ${\hat {\mathbf {y} }}\in S^{p-1}$⁠ , ⁠ ${\hat {\mathbf {z} }}\in S^{q-1}$⁠ , ⁠ $r\geq 0$⁠ и угол ⁠ $\theta$⁠ . Можно показать, что область определения ⁠ $\theta$⁠ это ⁠ $[0,2\pi )$⁠ если ⁠ $p=q=1$⁠ , ⁠ $[0,\pi ]$⁠ если ровно один из ⁠ $p$⁠ и ⁠ $q$⁠ это ⁠ $1$⁠ и ⁠ $[0,\pi /2]$⁠ если ни то, ни другое ⁠ $p$⁠ ни ⁠ $q$⁠ являются ⁠ $1$⁠ . Обратное преобразование

${\begin{aligned}r&=\lVert \mathbf {x} \rVert ,\\\theta &=\arcsin {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arccos {\frac {\lVert \mathbf {z} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arctan {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {z} \rVert }}.\end{aligned}}$

Эти разделения могут повторяться до тех пор, пока один из задействованных факторов имеет размерность два или больше. Полисферическая система координат является результатом повторения этих расщеплений до тех пор, пока не останутся декартовы координаты. Расщепления после первого не требуют радиальной координаты, поскольку области ${\hat {\mathbf {y} }}$ и ${\hat {\mathbf {z} }}$ являются сферами, поэтому координаты полисферической системы координат представляют собой неотрицательный радиус и ⁠ $n-1$⁠ углы. Возможные полисферические системы координат соответствуют двоичным деревьям с ⁠ $n$⁠ уходит. Каждый нелистовой узел дерева соответствует разбиению и определяет угловую координату. Например, корень дерева представляет собой ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$⁠ , а его непосредственные дочерние элементы представляют собой первое разбиение на ⁠ $\mathbb {R} ^{p}$⁠ и ⁠ $\mathbb {R} ^{q}$⁠ . Листовые узлы соответствуют декартовым координатам для ⁠ $S^{n-1}$⁠ . Формулы преобразования полисферических координат в декартовы координаты можно определить путем нахождения путей от корня к листовым узлам. Эти формулы представляют собой произведения с одним множителем для каждой ветви пути. Для узла, соответствующая угловая координата которого равна ⁠ $\theta _{i}$⁠ , переход на левую ветвь вводит коэффициент ⁠ $\sin \theta _{i}$⁠ и переход на правую ветвь вводит коэффициент ⁠ $\cos \theta _{i}$⁠ . Обратное преобразование из полисферических координат в декартовы координаты определяется группировкой узлов. Каждую пару узлов, имеющих общего родителя, можно преобразовать из смешанной полярно-декартовой системы координат в декартову систему координат, используя приведенные выше формулы разделения.

Полисферические координаты также имеют интерпретацию в терминах специальной ортогональной группы . Раскол ⁠ $\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}$⁠ определяет подгруппу

$\operatorname {SO} _{p}(\mathbb {R} )\times \operatorname {SO} _{q}(\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {SO} _{n}(\mathbb {R} ).$

Это подгруппа, из которой выходит каждый из двух факторов $S^{p-1}\times S^{q-1}\subseteq S^{n-1}$ зафиксированный. Выбор набора представителей смежного класса для частного аналогичен выбору репрезентативных углов для этого шага разложения полисферических координат.

В полисферических координатах мера объема на ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$⁠ и мера площади на ⁠ $S^{n-1}$⁠ — это продукты. Для каждого угла имеется один множитель, а мера объема на ⁠ $\mathbb {R} ^{n}$⁠ также имеет множитель для радиальной координаты. Мера площади имеет вид:

$dA_{n-1}=\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i},$

где факторы ⁠ $F_{i}$⁠ определяются деревом. Аналогично, мера объема равна

$dV_{n}=r^{n-1}\,dr\,\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i}.$

Предположим, у нас есть узел дерева, соответствующий разложению ⁠ $\mathbb {R} ^{n_{1}+n_{2}}=\mathbb {R} ^{n_{1}}\times \mathbb {R} ^{n_{2}}$⁠ и имеет угловую координату ⁠ $\theta$⁠ . Соответствующий коэффициент ⁠ $F$⁠ зависит от значений ⁠ $n_{1}$⁠ и ⁠ $n_{2}$⁠ . Когда мера площади нормирована так, что площадь сферы равна ⁠ $1$⁠ , эти факторы заключаются в следующем. Если ⁠ $n_{1}=n_{2}=1$⁠ , тогда

$F(\theta )={\frac {d\theta }{2\pi }}.$

Если ⁠ $n_{1}>1$⁠ и ⁠ $n_{2}=1$⁠ , и если ⁠ $\mathrm {B}$⁠ обозначает бета-функцию , тогда

$F(\theta )={\frac {\sin ^{n_{1}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {1}{2}})}}\,d\theta .$

Если ⁠ $n_{1}=1$⁠ и ⁠ $n_{2}>1$⁠ , тогда

$F(\theta )={\frac {\cos ^{n_{2}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .$

Наконец, если оба ⁠ $n_{1}$⁠ и ⁠ $n_{2}$⁠ больше единицы, то

$F(\theta )={\frac {(\sin ^{n_{1}-1}\theta )(\cos ^{n_{2}-1}\theta )}{{\frac {1}{2}}\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .$

Стереографическая проекция

Основная статья: Стереографическая проекция

Подобно тому, как двумерная сфера, заключенная в трех измерениях, может быть отображена на двумерную плоскость с помощью стереографической проекции , ⁠ $n$⁠ -сферу можно отобразить на ⁠ $n$⁠ -мерная гиперплоскость по ⁠ $n$⁠ Двухмерная версия стереографической проекции. Например, точка ⁠ $[x,y,z]$⁠ на двумерной сфере радиуса ⁠ $1$⁠ отображается в точку ⁠ ${\bigl [}{\tfrac {x}{1-z}},{\tfrac {y}{1-z}}{\bigr ]}$⁠ на ⁠ $xy$⁠ -самолет. Другими словами,

$[x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].$

Аналогично, стереографическая проекция ⁠ $n$⁠ -сфера ⁠ $S^{n}$⁠ радиуса ⁠ $1$⁠ сопоставится с ⁠ $(n-1)$⁠ -мерная гиперплоскость ⁠ $\mathbb {R} ^{n-1}$⁠ перпендикулярно ⁠ $x_{n}$⁠ -ось как

$[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].$

Распределения вероятностей

Равномерно случайным образом на ( n − 1) -сфере

Набор точек, взятых из равномерного распределения на поверхности единичной 2- сферы, созданный с использованием алгоритма Марсальи.

Для создания равномерно распределенных случайных точек на устройстве ⁠ $(n-1)$⁠ -сфера (то есть поверхность единицы ⁠ $n$⁠ -ball), Марсалья (1972) дает следующий алгоритм.

Создайте ⁠ $n$⁠ -мерный вектор нормальных отклонений (достаточно использовать ⁠ $N(0,1)$⁠ , хотя на самом деле выбор дисперсии произволен), ⁠ $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$⁠ . Теперь вычислим «радиус» этой точки:

$r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$

Вектор ⁠ ${\tfrac {1}{r}}\mathbf {x}$⁠ равномерно распределен по поверхности агрегата ⁠ $n$⁠ -шар.

Альтернатива, предложенная Марсальей, состоит в равномерном случайном выборе точки ⁠ $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$⁠ в единице n -куба путем выборки каждого ⁠ $x_{i}$⁠ независимо от равномерного распределения по ⁠ $(-1,1)$⁠ , вычисления ⁠ $r$⁠, как указано выше, и отклонение точки и повторная выборка, если ⁠ $r\geq 1$⁠ (т. е. если точка не находится в ⁠ $n$⁠ -шар), а при получении точки в шаре масштабируем ее до сферической поверхности в коэффициент ⁠ ${\tfrac {1}{r}}$⁠ ; потом еще раз ⁠ ${\tfrac {1}{r}}\mathbf {x}$⁠ равномерно распределен по поверхности агрегата ⁠ $n$⁠ -шар. Этот метод становится очень неэффективным для более высоких измерений, поскольку в сфере содержится исчезающе малая часть единичного куба. В десяти измерениях сферой заполнено менее 2% куба, поэтому обычно требуется более 50 попыток. В семидесяти измерениях менее $10^{-24}$ часть куба заполнена, а это означает, что обычно потребуется триллион квадриллионов испытаний, что намного больше, чем компьютер может когда-либо выполнить.

Равномерно случайным образом внутри n -шара

С точкой, выбранной равномерно и случайно на поверхности агрегата ⁠ $(n-1)$⁠ -сфера (например, с помощью алгоритма Марсальи), нужен только радиус, чтобы получить точку равномерно случайным образом изнутри единицы ⁠ $n$⁠ -шар. Если ⁠ $u$⁠ — число, равномерно генерируемое случайным образом из интервала ⁠ $[0,1]$⁠ и ⁠ $\mathbf {x}$⁠ — точка, выбранная равномерно и случайно из единицы ⁠ $(n-1)$⁠ -сфера, то ⁠ $u^{1/n}\mathbf {x}$⁠ равномерно распределена внутри агрегата ⁠ $n$⁠ -шар.

Альтернативно, выборка точек может производиться равномерно изнутри устройства ⁠ $n$⁠ -шар при сокращении от единицы ⁠ $(n+1)$⁠ -сфера. В частности, если ⁠ $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+2})$⁠ — точка, выбранная равномерно из единицы ⁠ $(n+1)$⁠ -сфера, то ⁠ $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$⁠ равномерно распределена внутри агрегата ⁠ $n$⁠ -шар (т.е. просто отбросив две координаты).

Если ⁠ $n$⁠ достаточно велик, большая часть объёма ⁠ $n$⁠ -шар будет находиться в области, очень близкой к его поверхности, поэтому точка, выбранная из этого объема, вероятно, также будет находиться близко к поверхности. Это одно из явлений, приводящих к так называемому проклятию размерности , возникающему в некоторых численных и других приложениях.

Распределение первой координаты

Пусть ⁠ $y=x_{1}^{2}$⁠ — квадрат первой координаты точки, равномерно случайной выборки из ⁠ $(n-1)$⁠ -сфера, то ее функция плотности вероятности, для $y\in [0,1]$, является

$$\rho (y)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}{{\sqrt {\pi }}\;\Gamma {\bigl (}{\frac {n-1}{2}}{\bigr )}}}(1-y)^{(n-3)/2}y^{-1/2}.$$

Позволять $z=y/N$ быть соответствующим образом масштабированной версией, то в $N\to \infty$ предел, функция плотности вероятности $z$ сходится к $(2\pi ze^{z})^{-1/2}$. Иногда это называют распределением Портера-Томаса.

Конкретные сферы

0 -сфера

Пара очков ⁠ $\{\pm R\}$⁠ с дискретной топологией для некоторых ⁠ $R>0$⁠ . Единственная сфера, не связанная путями . Параллелизуемый .

1 -сфера

Обычно называют кругом . Имеет нетривиальную фундаментальную группу. Структура абелевой группы Ли U(1) ; круга группа . Гомеоморфна вещественной проективной прямой .

2 -сфера

Обычно его называют просто сферой . Чтобы узнать о его сложной структуре, см. сферу Римана . Гомеоморфен комплексной проективной прямой.

3 -сфера

Распараллеливаемое главное 1) -расслоение над ⁠ U ( $2$⁠ -сфера, Ли групповая структура Sp(1) .

4 -сфера

Гомеоморфна кватернионной проективной прямой , ⁠ $\mathbf {HP} ^{1}$⁠ . ⁠ $\operatorname {SO} (5)/\operatorname {SO} (4)$⁠ .

5 -сфера

Главное U (1) -расслоение над комплексным проективным пространством ⁠ $\mathbf {CP} ^{2}$⁠ . ⁠ $\operatorname {SO} (6)/\operatorname {SO} (5)=\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SU} (2)$⁠ . Неразрешимо , является ли данный ⁠ $n$⁠ -мерное многообразие гомеоморфно ⁠ $S^{n}$⁠ для ⁠ $n\geq 5$⁠ .

6 -сфера

Обладает почти сложной структурой, происходящей из набора чистых единичных октонионов . ⁠ $\operatorname {SO} (7)/\operatorname {SO} (6)=G_{2}/\operatorname {SU} (3)$⁠ . Вопрос о том, имеет ли он сложную структуру , известен как проблема Хопфа, в честь Хайнца Хопфа .

7 -сфера

Топологическая квазигрупповая структура как совокупность единичных октонионов . Директор ⁠ $\operatorname {Sp} (1)$⁠ -расслоение над S^4 . Параллелизуемый. ⁠ $\operatorname {SO} (8)/\operatorname {SO} (7)=\operatorname {SU} (4)/\operatorname {SU} (3)=\operatorname {Sp} (2)/\operatorname {Sp} (1)=\operatorname {Spin} (7)/G_{2}=\operatorname {Spin} (6)/\operatorname {SU} (3)$⁠ . ⁠ ​ $7$⁠ -сфера представляет особый интерес, поскольку именно в этом измерении были открыты первые экзотические сферы .

8 -сфера

Гомеоморфна октонионной проективной прямой ⁠ $\mathbf {OP} ^{1}$⁠ .

23 -сфера

Очень плотная упаковка сфер возможна в ⁠ $24$⁠- мерное пространство, связанное с уникальными свойствами решетки Лича .

Октаэдрическая сфера

Октаэдрический ​ ⁠ $n$⁠ -сфера определяется аналогично ⁠ $n$⁠ -сфера, но с использованием 1 -нормы

$S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|_{1}=1\right\}$

В общем случае он принимает форму перекрестного многогранника .

Октаэдрический ⁠ $1$⁠ -сфера – это квадрат (без внутренней части). Октаэдрический ⁠ $2$⁠ -сфера — правильный октаэдр ; отсюда и название. Октаэдрический ⁠ $n$⁠ -сфера — это топологическое соединение ⁠ $n+1$⁠ пары изолированных точек. Интуитивно понятно, что топологическое соединение двух пар создается путем рисования сегмента между каждой точкой одной пары и каждой точкой другой пары; это дает квадрат. Чтобы соединить это с третьей парой, нарисуйте отрезок между каждой точкой квадрата и каждой точкой третьей пары; это дает октаэдр.

См. также

• Конформная геометрия - Исследование преобразований геометрического пространства, сохраняющих углы.
• Экзотическая сфера - гладкое многообразие, гомеоморфное, но не диффеоморфное сфере.
• Сфера гомологии - топологическое многообразие, гомология которого совпадает с гомологией сферы.
• Гомотопические группы сфер - Как сферы разных размеров могут наматываться друг на друга.
• Инверсивная геометрия - Исследование преобразований, сохраняющих угол.
• Преобразование Мёбиуса – Рациональная функция вида (az + b)/(cz + d)

Ссылки

• Марсалья, Г. (1972). «Выбор точки на поверхности сферы» . Анналы математической статистики . 43 (2): 645–646. дои : 10.1214/aoms/1177692644 .
• Хубер, Грег (1982). «Вывод гамма-функции объемов n-сфер». амер. Математика. Ежемесячно . 89 (5): 301–302. дои : 10.2307/2321716 . JSTOR   2321716 . МР   1539933 .
• Уикс, Джеффри Р. (1985). Форма пространства: как визуализировать поверхности и трехмерные многообразия . Марсель Деккер. ISBN  978-0-8247-7437-0 (Глава 14: Гиперсфера). {{cite book}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
• Калниньш Е.Г.; Миллер, В. (1986). «Разделение переменных на n-мерных римановых многообразиях. I. n-сфера S_n и евклидова n-разреженная R_n» . Дж. Математика. Физ . 27 : 1721–1746. дои : 10.1063/1.527088 . HDL : 10289/1219 .
• Фландрия, Харли (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN  978-0-486-66169-8 .
• Моура, Эдуарда; Хендерсон, Дэвид Г. (1996). Знакомство с геометрией: на плоскости и сфере . Прентис Холл . ISBN  978-0-13-373770-7 (Глава 20: 3-сферы и гиперболические 3-пространства). {{cite book}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
• Барнеа, Нир (1999). «Гиперсферические функции с произвольной перестановочной симметрией: обратная конструкция». Физ. Преподобный А. 59 (2): 1135–1146. Бибкод : 1999PhRvA..59.1135B . дои : 10.1103/PhysRevA.59.1135 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперсфера» . Математический мир .