Элемент объема

В математике предоставляет элемент объема средства для интегрирования функции в различных системах координат , по отношению к объему таких как сферические координаты и цилиндрические координаты . Таким образом, элемент объема является выражением формы $$\mathrm {d} V=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}$$где $u_{i}$ являются координатами, так что объем любого множества $B$ может быть вычислено с помощью $$\operatorname {Volume} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.$$Например, в сферических координатах $\mathrm {d} V=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}$, и так $\rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}$.

Понятие элемента объема не ограничивается тремя измерениями: в двух измерениях его часто называют элементом площади , и в этом случае он полезен для вычисления поверхностных интегралов . При изменении координат элемент объема изменяется на абсолютное значение определителя Якобиана преобразования координат (по формуле замены переменных ). Этот факт позволяет определить элементы объема как своего рода меру на многообразии . На ориентируемом дифференцируемом многообразии элемент объема обычно возникает из формы объема высшей степени : дифференциальной формы . На неориентируемом многообразии элементом объема обычно является абсолютное значение (локально определенной) формы объема: он определяет 1-плотность .

Элемент объема в евклидовом пространстве

В евклидовом пространстве элемент объема задается произведением дифференциалов декартовых координат. $$\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z.$$В разных системах координат вида $x=x(u_{1},u_{2},u_{3})$, $y=y(u_{1},u_{2},u_{3})$, $z=z(u_{1},u_{2},u_{3})$, элемент объема изменяется на якобиан (определитель) изменения координаты: $$\mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (u_{1},u_{2},u_{3})}}\right|\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.$$Например, в сферических координатах (математическое соглашение) $${\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \sin \phi \\y&=\rho \sin \theta \sin \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}$$определитель Якобиана $$\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\phi ,\theta )}}\right|=\rho ^{2}\sin \phi$$так что $$\mathrm {d} V=\rho ^{2}\sin \phi \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi .$$Это можно рассматривать как частный случай того факта, что дифференциальные формы преобразуются посредством обратного преобразования. $F^{*}$ как $$F^{*}(u\;dy^{1}\wedge \cdots \wedge dy^{n})=(u\circ F)\det \left({\frac {\partial F^{j}}{\partial x^{i}}}\right)\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}$$

Элемент объема линейного подпространства

Рассмотрим линейное подпространство пространства n -мерного евклидова R ^н который натянут на набор линейно независимых векторов $$X_{1},\dots ,X_{k}.$$Чтобы найти элемент объема подпространства, полезно знать факт из линейной алгебры, что объем параллелепипеда, натянутого на $X_{i}$ квадратный корень определителя матрицы Грама из $X_{i}$: $${\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}.$$

Любая точка p в подпространстве может иметь координаты $(u_{1},u_{2},\dots ,u_{k})$ такой, что $$p=u_{1}X_{1}+\cdots +u_{k}X_{k}.$$ Если в точке p сформировать небольшой параллелепипед со сторонами $\mathrm {d} u_{i}$, то объем этого параллелепипеда равен квадратному корню из определителя матрицы Грамма $${\sqrt {\det \left((du_{i}X_{i})\cdot (du_{j}X_{j})\right)_{i,j=1\dots k}}}={\sqrt {\det(X_{i}\cdot X_{j})_{i,j=1\dots k}}}\;\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\cdots \,\mathrm {d} u_{k}.$$Таким образом, это определяет форму объема в линейном подпространстве.

Объемный элемент коллекторов

Смотрите также: риманова форма объема

На ориентированном римановом многообразии размерности n элемент объема представляет собой форму объема, равную двойственной по Ходжу функции единичной постоянной: $f(x)=1$: $$\omega =\star 1.$$Эквивалентно, элемент объема — это в точности тензор Леви-Чивита. $\epsilon$. В координатах, $$\omega =\epsilon ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,\mathrm {d} x^{1}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x^{n}$$где $\det g$ – определитель метрического тензора g, записанного в системе координат.

Элемент площади поверхности

Простой пример элемента объема можно изучить, рассмотрев двумерную поверхность, встроенную в n -мерное евклидово пространство . Такой элемент объема иногда называют элементом площади . Рассмотрим подмножество $U\subset \mathbb {R} ^{2}$ и функция отображения $$\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$$таким образом определяя поверхность, встроенную в $\mathbb {R} ^{n}$. В двух измерениях объем — это просто площадь, а элемент объема позволяет определить площадь частей поверхности. Таким образом, элемент объема является выражением формы $$f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}$$позволяющее вычислить площадь множества B, лежащего на поверхности, путем вычисления интеграла $$\operatorname {Area} (B)=\int _{B}f(u_{1},u_{2})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}.$$

Здесь мы найдем на поверхности элемент объема, определяющий площадь в обычном понимании. Матрица Якоби отображения равна $$J_{ij}={\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{j}}}$$с индексом i от 1 до n и j от 1 до 2. Евклидова метрика в n -мерном пространстве порождает метрику $g=J^{T}J$ на множестве U с матричными элементами $$g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}J_{ki}J_{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \varphi _{k}}{\partial u_{j}}}.$$

Определитель выражением метрики определяется $$\det g=\left|{\frac {\partial \varphi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \varphi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(J^{T}J)$$

Для регулярной поверхности этот определитель не равен нулю; эквивалентно, матрица Якобиана имеет ранг 2.

Теперь рассмотрим замену координат на U , заданную диффеоморфизмом $$f\colon U\to U,$$так что координаты $(u_{1},u_{2})$ даны с точки зрения $(v_{1},v_{2})$ к $(u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})$. Матрица Якоби этого преобразования имеет вид $$F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}.$$

В новых координатах имеем $${\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}$$и поэтому метрика преобразуется как $${\tilde {g}}=F^{T}gF$$где ${\tilde {g}}$ — метрика отката в системе координат v . Определитель $$\det {\tilde {g}}=\det g\left(\det F\right)^{2}.$$

Учитывая приведенную выше конструкцию, теперь должно быть несложно понять, почему элемент объема инвариантен при изменении координат, сохраняющем ориентацию.

В двух измерениях объём — это просто площадь. Площадь подмножества $B\subset U$ определяется интегралом $${\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\;\mathrm {d} u_{2}\\[1.6ex]&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\left|\det F\right|\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}\\[1.6ex]&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;\mathrm {d} v_{1}\;\mathrm {d} v_{2}.\end{aligned}}$$

Таким образом, в любой системе координат элемент объема принимает одно и то же выражение: выражение элемента объема инвариантно при изменении координат.

Обратите внимание, что в приведенной выше презентации не было ничего особенного в отношении двух измерений; вышеизложенное тривиально обобщается на произвольные размеры.

Пример: Сфера

Например, рассмотрим сферу радиуса r с центром в начале координат в R. ³ . Это можно параметризовать с помощью сферических координат с картой. $$\phi (u_{1},u_{2})=(r\cos u_{1}\sin u_{2},r\sin u_{1}\sin u_{2},r\cos u_{2}).$$Затем $$g={\begin{pmatrix}r^{2}\sin ^{2}u_{2}&0\\0&r^{2}\end{pmatrix}},$$и элемент площади $$\omega ={\sqrt {\det g}}\;\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}=r^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\mathrm {d} u_{2}.$$

См. также

• Цилиндрическая система координат § Линейные и объемные элементы
• Сферическая система координат § Интегрирование и дифференцирование в сферических координатах
• Поверхностный интеграл
• Интеграл объема

Ссылки

• Бесс, Артур Л. (1987), Многообразия Эйнштейна , Результаты по математике и ее пограничным областям (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], том. 10, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. xii+510, ISBN.  978-3-540-15279-8