Единичная сфера

Некоторые 1-сферы: ‖ x ‖ ₂ является нормой для евклидова пространства.

В математике единичная сфера — это сфера единичного радиуса : набор точек, находящихся на евклидовом расстоянии 1 от некоторой центральной точки в трехмерном пространстве . В более общем смысле единица $n$-сфера – это $n$-сфера единичного радиуса в $(n+1)$- мерное евклидово пространство ; единичный круг — это частный случай, единица измерения $1$-сфера в плоскости . ( Открытый ) единичный шар — это область внутри единичной сферы, набор точек, находящихся на расстоянии менее 1 от центра.

Сфера или шар с единичным радиусом и центром в начале пространства называется единичной сферой или единичным шаром. Любую произвольную сферу можно преобразовать в единичную сферу комбинацией перевода и масштабирования , поэтому исследование сфер в целом часто можно свести к изучению единичной сферы.

Единичная сфера часто используется в качестве модели сферической геометрии, поскольку она имеет постоянную кривизну сечения, равную 1, что упрощает расчеты. В тригонометрии окружности длина дуги на единичной окружности называется радианами и используется для измерения углового расстояния ; В сферической тригонометрии площадь поверхности на единице сферы называется стерадианом и используется для измерения телесного угла .

В более общем контексте единичная сфера — это набор точек на расстоянии 1 от фиксированной центральной точки, где разные нормы могут использоваться в качестве общих понятий «расстояния», а (открытый) единичный шар — это область внутри.

Единичные сферы и шары в евклидовом пространстве

В евклидовом пространстве $n$ размеры, $(n-1)$-мерная единичная сфера - это набор всех точек $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ которые удовлетворяют уравнению

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.$

Открытый блок $n$-шар — множество всех точек, удовлетворяющих неравенству

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1,$

и закрытый блок $n$-шар — множество всех точек, удовлетворяющих неравенству

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1.$

Объем и площадь

См. Также: Объем н-шара.

Графики объемов ( V ) и площадей поверхности ( S ) единицы n -шариков

Классическое уравнение единичной сферы — это уравнение эллипсоида с радиусом 1 без изменений в $x$-, $y$-, или $z$- оси:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

Объем единичного шара в евклидовой системе $n$-пространство и площадь поверхности единичной сферы фигурируют во многих важных формулах анализа . Объем агрегата $n$-шар, который мы обозначим $V_{n},$ может быть выражено с помощью гамма-функции . Это

$V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~even} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{n!!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~odd,} \end{cases}}$

где $n!!$ это двойной факториал .

Гиперобъем $(n-1)$-мерная единичная сфера ( т.е. «площадь» границы $n$-мерный единичный шар), который мы обозначим $A_{n-1},$ может быть выражено как

$A_{n-1}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}={\begin{cases}{2\pi ^{n/2}}/{(n/2-1)!}&\mathrm {if~} n\geq 1\mathrm {~is~even} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{(n-2)!!}&\mathrm {if~} n\geq 1\mathrm {~is~odd.} \end{cases}}$

Например, $A_{0}=2$ - «площадь» границы единичного шара $[-1,1]\subset \mathbb {R}$, который просто подсчитывает две точки. Затем $A_{1}=2\pi$ - это «площадь» границы единичного круга, которая представляет собой длину окружности единичного круга. $A_{2}=4\pi$ - площадь границы единичного шара $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}$, который представляет собой площадь поверхности единичной сферы $\{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\}$.

Площади поверхности и объемы для некоторых значений $n$ следующие:

$n$	$A_{n-1}$ (площадь поверхности)		$V_{n}$ (объем)
0			$(1/0!)\pi ^{0}$	1
1	$1(2^{1}/1!!)\pi ^{0}$	2	$(2^{1}/1!!)\pi ^{0}$	2
2	$2(1/1!)\pi ^{1}=2\pi$	6.283	$(1/1!)\pi ^{1}=\pi$	3.141
3	$3(2^{2}/3!!)\pi ^{1}=4\pi$	12.57	$(2^{2}/3!!)\pi ^{1}=(4/3)\pi$	4.189
4	$4(1/2!)\pi ^{2}=2\pi ^{2}$	19.74	$(1/2!)\pi ^{2}=(1/2)\pi ^{2}$	4.935
5	$5(2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/3)\pi ^{2}$	26.32	$(2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/15)\pi ^{2}$	5.264
6	$6(1/3!)\pi ^{3}=\pi ^{3}$	31.01	$(1/3!)\pi ^{3}=(1/6)\pi ^{3}$	5.168
7	$7(2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/15)\pi ^{3}$	33.07	$(2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/105)\pi ^{3}$	4.725
8	$8(1/4!)\pi ^{4}=(1/3)\pi ^{4}$	32.47	$(1/4!)\pi ^{4}=(1/24)\pi ^{4}$	4.059
9	$9(2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/105)\pi ^{4}$	29.69	$(2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/945)\pi ^{4}$	3.299
10	$10(1/5!)\pi ^{5}=(1/12)\pi ^{5}$	25.50	$(1/5!)\pi ^{5}=(1/120)\pi ^{5}$	2.550

где десятичные расширенные значения для $n\geq 2$ округляются до отображаемой точности.

Рекурсия

The $A_{n}$ значения удовлетворяют рекурсии:

$A_{0}=2$

$A_{1}=2\pi$

$A_{n}={\frac {2\pi }{n-1}}A_{n-2}$ для $n>1$.

The $V_{n}$ значения удовлетворяют рекурсии:

$V_{0}=1$

$V_{1}=2$

$V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}$ для $n>1$.

Неотрицательные действительные измерения

Основная статья: мера Хаусдорфа

Значение ${\textstyle 2^{-n}V_{n}=\pi ^{n/2}{\big /}\,2^{n}\Gamma {\bigl (}1+{\tfrac {1}{2}}n{\bigr )}}$ при неотрицательных действительных значениях $n$ иногда используется для нормализации меры Хаусдорфа.

Другие радиусы

Основная статья: N-сфера § Объем и площадь

Площадь поверхности $(n-1)$-сфера с радиусом $r$ является $A_{n-1}r^{n-1}$ и объем $n$- шар с радиусом $r$ является $V_{n}r^{n}.$ Например, территория $A_{2}=4\pi r^{2}$ для двумерной поверхности трехмерного шара радиуса $r.$ Объем $V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}$ для трехмерного шара радиуса $r$.

Единичные шары в нормированных векторных пространствах

Открытый единичный шар нормированного векторного пространства $V$ с нормой $\|\cdot \|$ дается

$\{x\in V:\|x\|<1\}$

Это топологическая внутренность замкнутого единичного шара $(V,\|\cdot \|)\colon$

$\{x\in V:\|x\|\leq 1\}$

Последняя представляет собой разрозненный союз первых и их общей границы, единой сферы $(V,\|\cdot \|)\colon$

$\{x\in V:\|x\|=1\}$

«Форма» единичного шара целиком зависит от выбранной нормы; он вполне может иметь «углы» и, например, может выглядеть так $[-1,1]^{n}$ в случае макс-нормы в $\mathbb {R} ^{n}$. Получается естественно круглый шар как единичный шар, принадлежащий обычной норме гильбертова пространства , основанный в конечномерном случае на евклидовом расстоянии ; его граница — это то, что обычно понимают под единичной сферой .

Позволять $x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.$ Дайте определение обычному $\ell _{p}$-норма для $p\geq 1$ как:

$\|x\|_{p}={\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}$

Затем $\|x\|_{2}$ – обычная норма гильбертова пространства . $\|x\|_{1}$ называется нормой Хэмминга, или $\ell _{1}$-норм.Состояние $p\geq 1$ необходимо при определении $\ell _{p}$ норме, поскольку единичный шар в любом нормированном пространстве должен быть выпуклым вследствие неравенства треугольника .Позволять $\|x\|_{\infty }$ обозначают макс-норму или $\ell _{\infty }$-норма $x$.

Заметим, что для одномерных окружностей $C_{p}$ из двумерных единичных шаров имеем:

$C_{1}=4{\sqrt {2}}$ это минимальное значение.

$C_{2}=2\pi$

$C_{\infty }=8$ это максимальное значение.

Обобщения

Метрические пространства

Все три приведенных выше определения могут быть непосредственно обобщены на метрическое пространство относительно выбранного начала координат. Однако топологические соображения (внутренность, замыкание, граница) не обязательно применяются одинаково (например, в ультраметрических пространствах все три одновременно являются открытыми и замкнутыми множествами), а в некоторых метрических пространствах единичная сфера может даже быть пустой.

Квадратичные формы

Если $V$ - линейное пространство с действительной квадратичной формой $F:V\to \mathbb {R} ,$ затем $\{p\in V:F(p)=1\}$ можно назвать единичной сферой или квазисфера единичная $V.$ Например, квадратичная форма $x^{2}-y^{2}$, когда он установлен равным единице, образует единичную гиперболу , которая играет роль «единичного круга» на плоскости расщепленных комплексных чисел . Аналогично квадратичная форма $x^{2}$ дает пару линий для единичной сферы в двойственной числовой плоскости.

См. также

• Мяч
• $n$-сфера
• Сфера
• Суперэллипс
• Единичный круг
• Единичный диск
• Единичный касательный пучок
• Единица площади

Примечания и ссылки

• Махлон М. Дэй (1958) Нормированные линейные пространства , стр. 24, Springer-Verlag .
• Деза, Э .; Деза, М. (2006), Словарь расстояний , Elsevier, ISBN  0-444-52087-2 . Обзор опубликован в информационном бюллетене Европейского математического общества 64 (июнь 2007 г.) , стр. 57. Эта книга представляет собой список расстояний многих типов, каждый из которых имеет краткое описание.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Единичная сфера» . Математический мир .