Полиномы контрбауэра

В математике или полиномы Гегенбауэра ультрасферические полиномы C ^(а)
_n ( x ) — ортогональные многочлены на интервале [−1,1] относительно весовой функции (1 − x ² ) ^{а –1/2} . Они обобщают полиномы Лежандра и полиномы Чебышева и являются частными случаями полиномов Якоби . Они названы в честь Леопольда Гегенбауэра .

Характеристики

• 
  График полинома Гегенбауэра C n^(m)(x) с n=10 и m=1 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D
• 
  Полиномы Гегенбауэра с α =1
• 
  Полиномы Гегенбауэра с α =2
• 
  Полиномы Гегенбауэра с α =3
• 
  Анимация, показывающая полиномы на плоскости xα для первых 4 значений n .

Доступны различные характеристики полиномов Гегенбауэра.

• Полиномы можно определить через их производящую функцию ( Stein & Weiss 1971 , §IV.2):

${\frac {1}{(1-2xt+t^{2})^{\alpha }}}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\alpha )}(x)t^{n}\qquad (0\leq |x|<1,|t|\leq 1,\alpha >0)$

• Полиномы удовлетворяют рекуррентному соотношению ( Суетин 2001 ):

${\begin{aligned}C_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(x)&=2\alpha x\\(n+1)C_{n+1}^{(\alpha )}(x)&=2(n+\alpha )xC_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+2\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(x).\end{aligned}}$

• Полиномы Гегенбауэра являются частными решениями дифференциального уравнения Гегенбауэра ( Суетин 2001 ):

$(1-x^{2})y''-(2\alpha +1)xy'+n(n+2\alpha )y=0.\,$

Когда α = 1/2, уравнение сводится к уравнению Лежандра, а полиномы Гегенбауэра сводятся к полиномам Лежандра .

При α = 1 уравнение сводится к дифференциальному уравнению Чебышева, а полиномы Гегенбауэра — к полиномам Чебышева второго рода.

• Они задаются в виде гипергеометрических рядов Гаусса в некоторых случаях, когда ряд фактически конечен:

$C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\frac {1}{2}};{\frac {1-z}{2}}\right).$

(Абрамовиц и Стегун, стр. 561 ). Здесь (2α) _n — возрастающий факториал . Явно,

$C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}.$

Отсюда также легко получить значение единичного аргумента:

$C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {\Gamma (2\alpha +n)}{\Gamma (2\alpha )n!}}.$

• Это частные случаи полиномов Якоби ( Суетин 2001 ):

$C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}(x).$

в котором $(\theta )_{n}$ представляет собой возрастающий факториал $\theta$.

Следовательно, также существует формула Родригеса

$C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}{\frac {\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (2\alpha )\Gamma (\alpha +n+{\frac {1}{2}})}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right].$

Ортогональность и нормализация

Для фиксированного α > -1/2 полиномы ортогональны на [−1, 1] относительно весовой функции (Абрамовиц и Стегун, стр. 774 ).

$w(z)=\left(1-z^{2}\right)^{\alpha -{\frac {1}{2}}}.$

А именно, для n ≠ m ,

$\int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(x)C_{m}^{(\alpha )}(x)(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx=0.$

Они нормируются по

$\int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx={\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.$

Приложения

Полиномы Гегенбауэра естественным образом появляются как расширения полиномов Лежандра в контексте теории потенциала и гармонического анализа . Ньютоновский потенциал в R ^н имеет разложение, справедливое при α = ( n − 2)/2,

${\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|\mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{k+n-2}}}C_{k}^{(\alpha )}({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |}}).$

Когда n = 3, это дает полиномиальное разложение Лежандра гравитационного потенциала . Аналогичные выражения доступны для разложения ядра Пуассона в шар ( Stein & Weiss 1971 ).

Отсюда следует, что величины $C_{k}^{((n-2)/2)}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )$ являются сферическими гармониками , если рассматривать их как функцию только от x . По сути, это именно зональные сферические гармоники с точностью до нормирующей константы.

Полиномы Гегенбауэра также появляются в теории положительно определенных функций .

Неравенство Аски – Гаспера гласит:

$\sum _{j=0}^{n}{\frac {C_{j}^{\alpha }(x)}{2\alpha +j-1 \choose j}}\geq 0\qquad (x\geq -1,\,\alpha \geq 1/4).$

В спектральных методах решения дифференциальных уравнений, если функция разлагается на основе полиномов Чебышева , а ее производная представлена ​​в гегенбауэровском / ультрасферическом базисе, то оператор производной становится диагональной матрицей , что приводит к быстрым методам ленточных матриц для больших задач.

См. также

• Полиномы Роджерса , q -аналог полиномов Гегенбауэра
• Полиномы Чебышева
• Полиномы Романовского

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 22» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 773. ИСБН  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 . * Коорнвиндер, Том Х.; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Ортогональные полиномы» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08078-9 .
• Суетин, П.К. (2001) [1994], «Ультрасферические полиномы» , Энциклопедия математики , EMS Press .

Специфический