Зональные сферические гармоники

В математическом исследовании вращательной симметрии зональные сферические гармоники представляют собой особые сферические гармоники , инвариантные относительно вращения вокруг определенной фиксированной оси. Зональные сферические функции представляют собой широкое расширение понятия зональных сферических гармоник, позволяющее создать более общую группу симметрии .

На двумерной сфере уникальная зональная сферическая гармоника степени ℓ, инвариантная относительно вращений, фиксирующих северный полюс, представлена ​​в сферических координатах выражением $$Z^{(\ell )}(\theta ,\phi )=P_{\ell }(\cos \theta )$$где P _ℓ — полином Лежандра степени ℓ . Общая зональная сферическая гармоника степени ℓ обозначается $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )$, где x — точка на сфере, представляющая фиксированную ось, а y — переменная функции. Этого можно добиться вращением основной зональной гармоники. $Z^{(\ell )}(\theta ,\phi ).$

В n -мерном евклидовом пространстве зональные сферические гармоники определяются следующим образом. Пусть x — точка на ( n −1)-сфере. Определять $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}$ быть двойственным представлением линейного функционала $$P\mapsto P(\mathbf {x} )$$в конечномерном гильбертовом пространстве H _ℓ сферических гармоник степени ℓ. Другими словами, имеет место следующее свойство воспроизводства : $$Y(\mathbf {x} )=\int _{S^{n-1}}Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )Y(\mathbf {y} )\,d\Omega (y)$$для всех Y ∈ ЧАС _ℓ . Интеграл берется по инвариантной вероятностной мере.

Связь с гармоническими потенциалами

Зональные гармоники естественным образом появляются как коэффициенты ядра Пуассона для единичного шара в R ^н : для x и y единичных векторов , $${\frac {1}{\omega _{n-1}}}{\frac {1-r^{2}}{|\mathbf {x} -r\mathbf {y} |^{n}}}=\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}Z_{\mathbf {x} }^{(k)}(\mathbf {y} ),$$где $\omega _{n-1}$ — площадь поверхности (n-1)-мерной сферы. Они также связаны с ядром Ньютона через $${\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{n,k}{\frac {|\mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{n+k-2}}}Z_{\mathbf {x} /|\mathbf {x} |}^{(k)}(\mathbf {y} /|\mathbf {y} |)$$где x , y ∈ R ^н а константы c _{n , k} определяются выражениями $$c_{n,k}={\frac {1}{\omega _{n-1}}}{\frac {2k+n-2}{(n-2)}}.$$

Коэффициенты ряда Тейлора ядра Ньютона (при подходящей нормировке) представляют собой в точности ультрасферические полиномы . Таким образом, зональные сферические гармоники можно выразить следующим образом. Если α = ( n −2)/2 , то $$Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )={\frac {n+2\ell -2}{n-2}}C_{\ell }^{(\alpha )}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )$$где c _{n , ℓ} — константы, указанные выше, и $C_{\ell }^{(\alpha )}$ — ультрасферический полином степени ℓ.

Характеристики

• Зональные сферические гармоники инвариантны относительно вращения, что означает, что $$Z_{R\mathbf {x} }^{(\ell )}(R\mathbf {y} )=Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )$$ для каждого ортогонального преобразования R . И наоборот, любая функция f ( x , y ) на S ^{п -1} × S ^{п -1} которая является сферической гармоникой по y для каждого фиксированного x и удовлетворяет этому свойству инвариантности, является постоянным кратным зональной гармоники степени ℓ .
• Если Y ₁ , ..., d _— ортонормированный базис H ℓ _Y , то $$Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )=\sum _{k=1}^{d}Y_{k}(\mathbf {x} ){\overline {Y_{k}(\mathbf {y} )}}.$$
• Оценка при x = y дает $$Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {x} )=\omega _{n-1}^{-1}\dim \mathbf {H} _{\ell }.$$

Ссылки

• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08078-9 .