Полиномы Романовского

В математике полиномы Романовского — одно из трёх конечных подмножеств вещественных ортогональных полиномов, открытых Всеволодом Романовским. ^[1] (Романовский во французской транскрипции) в контексте функций распределения вероятностей в статистике. Они образуют ортогональное подмножество более общего семейства малоизвестных полиномов Рауса, введенного Эдвардом Джоном Раусом. ^[2] в 1884 году. Термин «полиномы Романовского» был предложен Рапозо, ^[3] со ссылкой на так называемые «псевдополиномы Якоби в классификационной схеме Лески». ^[4] Кажется более логичным называть их полиномами Романовского-Рута по аналогии с терминами Романовского-Бесселя и Романовского-Якоби, используемыми Лески для двух других наборов ортогональных полиномов.

В некотором отличие от стандартных классических ортогональных полиномов, рассматриваемые полиномы отличаются тем, что для произвольных параметров ортогональны только конечное число из них , как более подробно обсуждается ниже.

Дифференциальное уравнение для полиномов Романовского

Полиномы Романовского решают следующую версию гипергеометрического дифференциального уравнения:

{\begin{aligned}&s(x){R_{n}^{(\alpha ,\beta )}}''(x)+t_{1}^{(\alpha ,\beta )}(x){R_{n}^{(\alpha ,\beta )}}'(x)+\lambda _{n}R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=0,\\[4pt]&\qquad x\in (-\infty ,+\infty ),\quad s(x)=\left(1+x^{2}\right),\quad t_{1}^{(\alpha ,\beta )}(x)=2\beta x+\alpha ,\quad \lambda _{n}=-n(2\beta +n-1).\end{aligned}}

( 1 )

Любопытно, что их исключили из стандартных учебников по специальным функциям математической физики. ^[5]^[6] и по математике ^[7]^[8] и относительно редко встречаются в математической литературе. ^[9]^[10]^[11]

Весовые функции

w^{(\alpha ,\beta )}(x)=\left(1+x^{2}\right)^{\beta -1}\exp \left(-\alpha \operatorname {arccot} x\right);

( 2 )

они решают дифференциальное уравнение Пирсона

[s(x)w(x)]'=t(x)w(x),\quad s(x)=1+x^{2},

( 3 )

обеспечивающее самосопряженность дифференциального оператора гипергеометрической обыкновенное дифференциальное уравнение .

При $α = 0$ и $β < 0$ весовая функция полиномов Романовского принимает форму распределения Коши , поэтому соответствующие полиномы также обозначаются как полиномы Коши. ^[12] в своих приложениях в теории случайных матриц. ^[13]

Формула Родригеса задает полином $R (а, б) п (х)$ как

R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=N_{n}{\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left(w^{(\alpha ,\beta )}(x)s(x)^{n}\right),\quad 0\leq n,

( 4 )

где $N n$ — константа нормировки. Эта константа связана с коэффициентом $c n$ члена степени $n$ в многочлене $R (а, б) n (x)$ выражением

N_{n}={\frac {(-1)^{n}n!\,c_{n}}{\prod _{k=0}^{n-1}\lambda _{n}^{(k)}}},\quad \lambda _{n}=-n\left({t_{n}^{(\alpha ,\beta )}}'+{\tfrac {1}{2}}(n-1)s''(x)\right),

( 5 )

что справедливо для $n \geq 1$ .

Связь между полиномами Романовского и Якоби

Как показал Аски, эта конечная последовательность вещественных ортогональных полиномов может быть выражена через полиномы Якоби мнимого аргумента и поэтому часто называется комплексифицированными полиномами Якоби. ^[14] А именно, уравнение Романовского ( 1 ) формально может быть получено из уравнения Якоби: ^[15]

{\begin{aligned}&\left(1-x^{2}\right){P_{n}^{(\gamma ,\delta )}}''(x)+t_{1}^{(\gamma ,\delta )}(x){P_{n}^{(\gamma ,\delta )}}'(x)+\lambda _{n}P_{n}^{(\gamma ,\delta )}(x)=0,\\[4pt]&\qquad t_{1}^{(\gamma ,\delta )}(x)=\delta -\gamma -(\gamma +\delta +2)x,\quad \lambda _{n}=n(n+\gamma +\delta +1),\quad x\in \left[-1,1\right],\end{aligned}}

( 6 )

через замены, для реального $x$ ,

x\to ix,\quad {\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}\to -i{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}},\quad \gamma =\delta ^{\ast }=\beta -1+{\frac {\alpha i}{2}},

( 7 )

в этом случае можно найти

R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=i^{n}P_{n}^{\left(\beta -1+{\frac {i}{2}}\alpha ,\beta -1-{\frac {i}{2}}\alpha \right)}(ix),

( 8 )

(с подходящим образом выбранными нормировочными константами полиномов Якоби). Комплексные полиномы Якоби справа определены через (1.1) в Kuijlaars et al. (2003) ^[16] что гарантирует, что ( 8 ) являются действительными полиномами от x.Поскольку цитируемые авторы обсуждают неэрмитовые (комплексные) условия ортогональности только для реальных индексов Якоби, перекрытие между их анализом и определением ( 8 ) полиномов Романовского существует только в том случае, если α = 0. Однако рассмотрение этого особого случая требует более тщательного изучения, выходящего за рамки пределы этой статьи. Обратите внимание на обратимость ( 8 ) согласно

P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(-i)^{n}R_{n}^{\left(i(\alpha -\beta ),{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )+1)\right)}(-ix),

( 9 )

где сейчас $П (а, б) n (x)$ — действительный полином Якоби и

R_{n}^{\left(i(\alpha -\beta ),{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )+1)\right)}(-ix)

будет комплексным полиномом Романовского.

Свойства полиномов Романовского

Явная конструкция

Для действительных $α, β$ и $n = 0, 1, 2,...$ функция $R (а, б) n (x)$ можно определитьпо формуле Родригеса в уравнении ( 4 ) как

R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\equiv {\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}x^{n}}}\left(w^{(\alpha ,\beta )}(x)s(x)^{n}\right),

( 10 )

где $ш (а, б)$ — та же весовая функция, что и в ( 2 ), и $s (x) = 1 + x 2$ — коэффициент второй производной гипергеометрического дифференциального уравнения , как в ( 1 ).

Обратите внимание, что мы выбрали константы нормализации $N n = 1$ , что эквивалентно выбору коэффициента высшей степени в многочлене, как указано уравнением ( 5 ). Он принимает форму

c_{n}={\frac {1}{n!}}\prod _{k=0}^{n-1}{\bigl (}2\beta (n-k)+n(n-1)-k(k-1){\bigr )},\quad n\geq 1.

( 11 )

Также отметим, что коэффициент $cn β$ не зависит от параметра $α$ , а только от $β$ и для конкретных значений $cn$ обращается $нуль в$ (т.е. для всех значений

\beta ={\frac {k(k-1)-n(n-1)}{2(n-k)}}

где $k = 0, ..., n - 1$ ). Это наблюдение ставит проблему, рассматриваемую ниже.

Для дальнейшего использования мы запишем явно полиномы степени 0, 1 и 2:

{\begin{aligned}R_{0}^{(\alpha ,\beta )}(x)&=1,\\[6pt]R_{1}^{(\alpha ,\beta )}(x)&={\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}\left(w'^{(\alpha ,\beta )}(x)s(x)+s'(x)w^{(\alpha ,\beta )}(x)\right)\\[6pt]&=t^{(\alpha ,\beta )}(x)=2\beta x+\alpha ,\\[6pt]R_{2}^{(\alpha ,\beta )}(x)&={\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}\left(s^{2}(x)w'^{(\alpha ,\beta )}(x)+2s(x)s'(x)w^{(\alpha ,\beta )}(x)\right)\\&={\frac {1}{w^{(\alpha ,\beta )}(x)}}{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}\left(s(x)w^{(\alpha ,\beta )}(x)\left(t^{(\alpha ,\beta )}(x)+s'(x)\right)\right)\\[6pt]&=\left(2x+t^{(\alpha ,\beta )}(x)\right)t^{(\alpha ,\beta )}(x)+\left(2+t'^{(\alpha ,\beta )}(x)\right)s(x)\\[6pt]&=(2\beta +1)(2\beta +2)x^{2}+2(2\beta +1)\alpha x+\left(2\beta +\alpha ^{2}+2\right),\end{aligned}}

которые выводятся из формулы Родригеса ( 10 ) в сочетании с ОДУ Пирсона ( 3 ).

Ортогональность

Два полинома $R (а, б) м (х)$ и $р (а, б) n (x)$ с $m \neq n$ ортогональны, ^[3]

\int _{-\infty }^{+\infty }w^{(\alpha ,\beta )}(x)R_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)R_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=0

( 12 )

тогда и только тогда, когда

m+n<1-2\beta .

( 13 )

Другими словами, для произвольных параметров ортогональными являются только конечное число полиномов Романовского. Это свойство называется конечной ортогональностью . Однако в некоторых частных случаях, когда параметры определенным образом зависят от степени полинома, может быть достигнута бесконечная ортогональность.

Это случай версии уравнения ( 1 ), которая была независимо встречена заново в контексте точной разрешимости квантовомеханической проблемы тригонометрического потенциала Розена-Морса и о которой сообщалось в Compean & Kirchbach (2006). ^[17] Здесь параметры полинома $α$ и $β$ уже не являются произвольными, а выражаются через потенциальные параметры $a$ и $b$ и степень $n$ полинома в соответствии с соотношениями:

{\begin{aligned}\alpha \to \alpha _{n}={\frac {2b}{n+1+a}},\quad \beta \to \beta _{n}=-(a+n+1)+1,\quad n=0,1,2,\ldots ,\infty .\end{aligned}}

( 14 )

Соответственно, $λ n$ возникает как $λ n = - n (2 a + n - 1)$ , а весовая функция принимает вид

\left(1+x^{2}\right)^{-(a+n+1)}\exp \left(-{\frac {2b}{n+a+1}}\operatorname {arccot} x\right).

Наконец, одномерная переменная $x$ в Compean & Kirchbach (2006) ^[17] было принято как

x=\cot \left({\frac {r}{d}}\right),

где $r$ — радиальное расстояние, а $d$ является подходящим параметром длины. В Компеане и Кирхбахе ^[17] было показано, что семейство полиномов Романовского, соответствующее бесконечной последовательности пар параметров,

\left(\alpha _{1},\beta _{1}\right),\left(\alpha _{2}\beta _{2}\right),\ldots ,\left(\alpha _{n}\beta _{n}\right),\ldots ,\quad n\longrightarrow \infty ,

( 15 )

является ортогональным.

Генерирующая функция

В Вебере (2007) ^[18] полиномы $Q (α п, β п + п) ν (x)$ с $β n + n = - a$ и дополнительный к $R (α п, β п) n (x)$ , сформированные следующим образом:

Q_{\nu }^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n\right)}(x)={\frac {1}{w^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}}}{\frac {{\mathrm {d} }^{\nu }}{{\mathrm {d} }x^{\nu }}}w^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}\right)}(x)\left(1+x^{2}\right)^{n}.

( 16 )

Учитывая соотношение,

w^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}\right)}(x)\left(1+x^{2}\right)^{\delta }=w^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+\delta \right)}(x),

( 17 )

Уравнение ( 16 ) становится эквивалентным

{\begin{aligned}Q_{\nu }^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n\right)}(x)&={\frac {1}{w^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}}}{\frac {{\mathrm {d} }^{\nu }}{{\mathrm {d} }x^{\nu }}}w^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}(x)\left(1+x^{2}\right)^{\nu }\\[4pt]&=R_{\nu }^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}(x),\end{aligned}}

( 18 )

и таким образом связывает дополнительные к основным полиномам Романовского.

Основная привлекательность дополнительных полиномов заключается в том, что их производящую функцию можно вычислить в замкнутой форме. ^[19] Такая производящая функция , записанная для полиномов Романовского на основе уравнения ( 18 ) с параметрами в ( 14 ) и, следовательно, относящаяся к бесконечной ортогональности, была введена как

G^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}\right)}(x,y)=\sum _{\nu =0}^{\infty }R_{\nu }^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}(x){\frac {y^{\nu }}{\nu !}}.

( 19 )

Обозначительные различия между Вебером ^[18] и те, которые здесь используются, суммируются следующим образом:

$Г (α п, β п) (x, y)$ здесь против $Q (x, y; α,- a)$ там, $α$ там вместо $α n$ здесь,
$а = - β n - n$ и
$вопрос (а, - а) ν (x)$ в уравнении (15) в книге Вебера ^[18] соответствующий $R (α п, β п + п - ν) ν (x)$ здесь.

Обсуждаемая производящая функция, полученная Вебером ^[18] теперь читает:

G^{(\alpha _{n},\beta _{n})}(x,y)=\left(1+x^{2}\right)^{-\beta _{n}-n+1}\exp \left(\alpha _{n}\operatorname {arccot} x\right)\left(1+\left(x+y\left(1+x^{2}\right)\right)^{2}\right)^{-\left(-\beta _{n}-n+1\right)}\exp \left(-\alpha _{n}\operatorname {arccot} \left(x+y\left(1+x^{2}\right)\right)\right.

( 20 )

Рекуррентные отношения

Рекуррентные соотношения между бесконечными ортогональными рядами полиномов Романовского с параметрами в приведенных выше уравнениях ( 14 ) следуют из производящей функции , ^[18]

\nu {\bigl (}\nu +1-2(\beta _{n}+n){\bigr )}R_{\nu -1}^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu +1\right)}(x)+{\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}R_{\nu }^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}(x)=0,

( 21 )

и

R_{\nu +1}^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu -1\right)}(x)={\bigl (}\alpha _{n}-2x(-\beta _{n}-n+\nu +1){\bigr )}R_{\nu }^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu \right)}-\nu \left(1+x^{2}\right){\bigl (}2(-\beta _{n}-n)+\nu +1{\bigr )}R_{\nu -1}^{\left(\alpha _{n},\beta _{n}+n-\nu +1\right)},

( 22 )

как уравнения (10) и (23) Вебера (2007) ^[18] соответственно.

См. также

Ссылки

^ Романовский, В. (1929). «О некоторых новых классах ортогональных многочленов» . ЧР акад. наук. Париж (на французском языке). 188 : 1023–1025.
^ Раут, Э.Дж. (1884). «О некоторых свойствах некоторых решений дифференциального уравнения второго порядка» . Учеб. Лондонская математика. Соц . 16 : 245. дои : 10.1112/plms/s1-16.1.245 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Рапосо, АП; Вебер, Х.Дж.; Альварес Кастильо, DE; Кирхбах, М. (2007). «Полиномы Романовского в некоторых задачах физики». Цент. Евро. Дж. Физ . 5 (3): 253–284. arXiv : 0706.3897 . Бибкод : 2007CEJPh...5..253R . дои : 10.2478/s11534-007-0018-5 . S2CID 119120266 .
^ Лески, П.А. (1996). «Конечные и бесконечные системы непрерывных классических ортогональных полиномов». З. Энджью. Математика (на немецком языке). 76 (3): 181. Бибкод : 1996ЗаММ...76..181Л . дои : 10.1002/замм.19960760317 .
^ Абрамовиц, М .; Стегун, И. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-61272-0 .
^ Никифоров, Арнольд Ф.; Уваров, Василий Б. (1988). Специальные функции математической физики: единое введение с приложениями . Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN 978-0-8176-3183-3 .
^ Сего, Г. (1939). Ортогональные полиномы . Публикации коллоквиума. Том. 23 (1-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-1023-1 .
^ Исмаил, Мурад Э.Х. (2005). Классические и квантовые ортогональные полиномы от одной переменной . С двумя главами Уолтера В. Аша. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-78201-2 .
^ Аски, Р. (1987). «Интеграл Рамануджана и ортогональные многочлены». Журнал Индийского математического общества . 51 (1–2): 27.
^ Аски, Р. (1989). «Бета-интегралы и связанные с ними ортогональные полиномы» . В Аллади, Кришнасвами (ред.). Теория чисел, Мадрас, 1987: Материалы Международной конференции, посвященной столетию Рамануджана, состоявшейся в Университете Анны, Мадрас, Индия, 21 декабря 1987 г. Конспект лекций по математике. Том. 1395. Берлин: Springer-Verlag. стр. 84–121. дои : 10.1007/BFb0086401 . ISBN 978-3-540-51595-1 .
^ Сарсо Альтарехос, А. (1995). Дифференциальные уравнения гипергеометрического типа (PhD) (на испанском языке). Факультет естественных наук Университета Гранады.
^ Витте, Н.С.; Форрестер, Пи Джей (2000). «Вероятности разрыва в конечных и масштабированных ансамблях случайных матриц Коши». Нелинейность . 13 (6): 13–1986. arXiv : math-ph/0009022 . Бибкод : 2000Nonli..13.1965W . дои : 10.1088/0951-7715/13/6/305 . S2CID 7151393 .
^ Форрестер, Пи Джей (2010). Лог-газы и случайные матрицы . Монографии Лондонского математического общества. Принстон: Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-12829-0 .
^ Котфас, Н. (2004). «Системы ортогональных полиномов, определяемые уравнениями гипергеометрического типа, с применением к квантовой механике». Цент. Евро. Дж. Физ . 2 (3): 456–466. arXiv : math-ph/0602037 . Бибкод : 2004CEJPh...2..456C . дои : 10.2478/bf02476425 . S2CID 15594058 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциальное уравнение Якоби» . Математический мир .
^ Куйлаарс, ABJ; Мартинес-Финкельштейн, А.; Орив, Р. (2005). «Ортогональность полиномов Якоби с общими параметрами». Электрон. Пер. Число. Анальный. 19 : 1–17. arXiv : math/0301037 . Бибкод : 2003math......1037K .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Компан, CB; Кирхбах, М. (2006). «Тригонометрический потенциал Розена – Морса в суперсимметричной квантовой механике и его точные решения». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 39 (3): 547–558. arXiv : Quant-ph/0509055 . Бибкод : 2006JPhA...39..547C . дои : 10.1088/0305-4470/39/3/007 . S2CID 119742004 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Вебер, HJ (2007). «Связь полиномов Романовского с другими полиномами». Центральноевропейский математический журнал . 5 (3): 581. arXiv : 0706.3153 . дои : 10.2478/s11533-007-0014-4 . S2CID 18728079 .
^ Вебер, HJ (2007). «Связь вещественных полиномиальных решений дифференциальных уравнений гипергеометрического типа с формулой Родригеса». Центральноевропейский математический журнал . 5 (2): 415–427. arXiv : 0706.3003 . дои : 10.2478/s11533-007-0004-6 . S2CID 115166725 .

[1] Романовский, В. (1929). «О некоторых новых классах ортогональных многочленов» . ЧР акад. наук. Париж (на французском языке). 188 : 1023–1025.

[2] Раут, Э.Дж. (1884). «О некоторых свойствах некоторых решений дифференциального уравнения второго порядка» . Учеб. Лондонская математика. Соц . 16 : 245. дои : 10.1112/plms/s1-16.1.245 .

[RAP-3] Перейти обратно: ^а ^б Рапосо, АП; Вебер, Х.Дж.; Альварес Кастильо, DE; Кирхбах, М. (2007). «Полиномы Романовского в некоторых задачах физики». Цент. Евро. Дж. Физ . 5 (3): 253–284. arXiv : 0706.3897 . Бибкод : 2007CEJPh...5..253R . дои : 10.2478/s11534-007-0018-5 . S2CID 119120266 .

[4] Лески, П.А. (1996). «Конечные и бесконечные системы непрерывных классических ортогональных полиномов». З. Энджью. Математика (на немецком языке). 76 (3): 181. Бибкод : 1996ЗаММ...76..181Л . дои : 10.1002/замм.19960760317 .

[Abramowitz-5] Абрамовиц, М .; Стегун, И. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-61272-0 .

[6] Никифоров, Арнольд Ф.; Уваров, Василий Б. (1988). Специальные функции математической физики: единое введение с приложениями . Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN 978-0-8176-3183-3 .

[7] Сего, Г. (1939). Ортогональные полиномы . Публикации коллоквиума. Том. 23 (1-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-1023-1 .

[8] Исмаил, Мурад Э.Х. (2005). Классические и квантовые ортогональные полиномы от одной переменной . С двумя главами Уолтера В. Аша. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-78201-2 .

[9] Аски, Р. (1987). «Интеграл Рамануджана и ортогональные многочлены». Журнал Индийского математического общества . 51 (1–2): 27.

[10] Аски, Р. (1989). «Бета-интегралы и связанные с ними ортогональные полиномы» . В Аллади, Кришнасвами (ред.). Теория чисел, Мадрас, 1987: Материалы Международной конференции, посвященной столетию Рамануджана, состоявшейся в Университете Анны, Мадрас, Индия, 21 декабря 1987 г. Конспект лекций по математике. Том. 1395. Берлин: Springer-Verlag. стр. 84–121. дои : 10.1007/BFb0086401 . ISBN 978-3-540-51595-1 .

[11] Сарсо Альтарехос, А. (1995). Дифференциальные уравнения гипергеометрического типа (PhD) (на испанском языке). Факультет естественных наук Университета Гранады.

[12] Витте, Н.С.; Форрестер, Пи Джей (2000). «Вероятности разрыва в конечных и масштабированных ансамблях случайных матриц Коши». Нелинейность . 13 (6): 13–1986. arXiv : math-ph/0009022 . Бибкод : 2000Nonli..13.1965W . дои : 10.1088/0951-7715/13/6/305 . S2CID 7151393 .

[13] Форрестер, Пи Джей (2010). Лог-газы и случайные матрицы . Монографии Лондонского математического общества. Принстон: Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-12829-0 .

[14] Котфас, Н. (2004). «Системы ортогональных полиномов, определяемые уравнениями гипергеометрического типа, с применением к квантовой механике». Цент. Евро. Дж. Физ . 2 (3): 456–466. arXiv : math-ph/0602037 . Бибкод : 2004CEJPh...2..456C . дои : 10.2478/bf02476425 . S2CID 15594058 .

[15] Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциальное уравнение Якоби» . Математический мир .

[16] Куйлаарс, ABJ; Мартинес-Финкельштейн, А.; Орив, Р. (2005). «Ортогональность полиномов Якоби с общими параметрами». Электрон. Пер. Число. Анальный. 19 : 1–17. arXiv : math/0301037 . Бибкод : 2003math......1037K .

[CK-17] Перейти обратно: ^а ^б ^с Компан, CB; Кирхбах, М. (2006). «Тригонометрический потенциал Розена – Морса в суперсимметричной квантовой механике и его точные решения». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 39 (3): 547–558. arXiv : Quant-ph/0509055 . Бибкод : 2006JPhA...39..547C . дои : 10.1088/0305-4470/39/3/007 . S2CID 119742004 .

[HJW-18] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Вебер, HJ (2007). «Связь полиномов Романовского с другими полиномами». Центральноевропейский математический журнал . 5 (3): 581. arXiv : 0706.3153 . дои : 10.2478/s11533-007-0014-4 . S2CID 18728079 .

[19] Вебер, HJ (2007). «Связь вещественных полиномиальных решений дифференциальных уравнений гипергеометрического типа с формулой Родригеса». Центральноевропейский математический журнал . 5 (2): 415–427. arXiv : 0706.3003 . дои : 10.2478/s11533-007-0004-6 . S2CID 115166725 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]