Вейвлет Лежандра

В функциональном анализе с компактным носителем, вейвлеты полученные из полиномов Лежандра, называются вейвлетами Лежандра или вейвлетами сферических гармоник. ^[1] Функции Лежандра имеют широкое применение, в которых сферическая система координат . подходит ^[2]^[3]^[4] Как и в случае со многими вейвлетами, не существует хорошей аналитической формулы для описания этих гармонических сферических вейвлетов. Фильтр нижних частот, связанный с многоразрешающим анализом Лежандра, представляет собой фильтр с конечной импульсной характеристикой (FIR).

Вейвлеты, связанные с КИХ-фильтрами, обычно являются предпочтительными в большинстве приложений. ^[3] Дополнительной привлекательной особенностью является то, что фильтры Лежандра являются КИХ-фильтрами с линейной фазой (т. е. анализ с несколькими разрешениями, связанный с фильтрами с линейной фазой ). Эти вейвлеты были реализованы в MATLAB (панель инструментов вейвлетов). Хотя legdN является вейвлетом с компактной поддержкой, он не ортогонален (кроме N = 1). ^[5]

Многоразрешающие фильтры Лежандра

Ассоциированные полиномы Лежандра представляют собой колширотную часть сферических гармоник, которые являются общими для всех разделений уравнения Лапласа в сферических полярных координатах. ^[2] Радиальная часть решения меняется от одного потенциала к другому, но гармоники всегда одни и те же и являются следствием сферической симметрии. Сферические гармоники $P_{n}(z)$ являются решениями Лежандра $2^{nd}$ -дифференциальное уравнение порядка, n целое число:

\left(1-z^{2}\right){\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}-2z{\frac {dy}{dz}}+n(n+1)y=0.

$P_{n}(\cos(\theta ))$ полиномы могут использоваться для определения сглаживающего фильтра $H(\omega )$ мультиразрешительного анализа (MRA). ^[6] Поскольку соответствующие граничные условия для MRA $|H(0)|=1$ и $|H(\pi )|=0$ , сглаживающий фильтр MRA можно определить так, чтобы величина фильтра нижних частот $|H(\omega )|$ могут быть связаны с полиномами Лежандра согласно: $\nu =2n+1.$

|H_{\nu }(\omega )|=\left|{\frac {P_{\nu }\left(\cos \left({\frac {\omega }{2}}\right)\right)}{P_{\nu }\cos(0)}}\right|

Наглядные примеры передаточных функций фильтра для MRA Legendre показаны на рисунке 1, для $\nu =1,3,5.$ демонстрируется поведение нижних частот Как и ожидалось, для фильтра H . Количество нулей внутри $-\pi <\omega <\pi$ равна степени полинома Лежандра. Поэтому спад боковых лепестков с частотой легко контролируется параметром $\nu$ .

Передаточная функция фильтра нижних частот определяется выражением

H_{\nu }(\omega )=-e^{-j\nu {\frac {\omega -\pi }{2}}}P_{\nu }\left(\cos \left({\tfrac {\omega }{2}}\right)\right)

Передаточная функция анализирующего фильтра верхних частот $G_{\nu }(\omega )$ выбирается в соответствии с условием фильтра квадратурного зеркала , ^[6]^[7] урожайность:

H_{\nu }(\omega )=-e^{-j{(\nu -2)}{\frac {\omega }{2}}}P_{\nu }\left(\sin \left({\tfrac {\omega }{2}}\right)\right)

Действительно, $|G_{\nu }(0)|=0$ и $|G_{\nu }(\pi )|=1$ , как и ожидалось.

Коэффициенты фильтра мультиразрешения Лежандра

Подходящее распределение фаз выполняется для правильной настройки передаточной функции. $H_{\nu }(\omega )$ в форму

H_{\nu }(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{k\in Z}h_{k}^{\nu }e^{-j\omega k}

Коэффициенты фильтра $\{h_{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }$ даны:

h_{k}^{\nu }=-{\frac {\sqrt {2}}{2^{2\nu }}}{\binom {2k}{k}}{\binom {2\nu -2k}{\nu -k}}

откуда симметрия:

{h_{k}^{\nu }}={h_{\nu -k}^{\nu }},

следует. Есть просто $\nu +1$ ненулевые коэффициенты фильтра на $H_{n}(\omega )$ , так что вейвлеты Лежандра имеют компактную поддержку для каждого нечетного целого числа $\nu$ .

Таблица I. Коэффициенты сглаживающего FIR-фильтра Лежандра для $\nu =1,3,5$ ( $N$ это вейвлет-порядок.)

	$\nu =1(N=1)$	$\nu =3(N=2)$	$\nu =5(N=3)$
$h_{0}$	$-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-5{\tfrac {\sqrt {2}}{16}}$	$-63{\tfrac {\sqrt {2}}{256}}$
$h_{1}$	$-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-3{\tfrac {\sqrt {2}}{16}}$	$-35{\tfrac {\sqrt {2}}{256}}$
$h_{2}$		$-3{\tfrac {\sqrt {2}}{16}}$	$-30{\tfrac {\sqrt {2}}{256}}$
$h_{3}$		$-5{\tfrac {\sqrt {2}}{16}}$	$-30{\tfrac {\sqrt {2}}{256}}$
$h_{4}$			$-35{\tfrac {\sqrt {2}}{256}}$
$h_{5}$			$-63{\tfrac {\sqrt {2}}{256}}$

Примечание. Минусовый сигнал можно подавить.

MATLAB реализация вейвлетов Лежандра

Вейвлеты Лежандра можно легко загрузить в набор инструментов для вейвлетов MATLAB . Доступны m-файлы, позволяющие вычислить вейвлет-преобразование Лежандра, детали и фильтр (бесплатное программное обеспечение). Семейство Лежандра с конечной шириной опоры обозначается legd (сокращенное имя). Вейвлеты: 'legdN'. Параметр N в семействе legdN находится по формуле $2N=\nu +1$ (длина фильтров MRA).

Вейвлеты Лежандра могут быть получены из фильтра восстановления нижних частот с помощью итерационной процедуры ( каскадный алгоритм ). Вейвлет имеет компактную поддержку и используются AMR-фильтры с конечной импульсной характеристикой (FIR) (таблица 1). Первый вейвлет семейства Лежандра — это в точности известный вейвлет Хаара . На рисунке 2 показана возникающая закономерность, которая постепенно становится похожей на форму вейвлета.

Форму вейвлета Лежандра можно визуализировать с помощью команды wavemenu MATLAB. На рисунке 3 показан вейвлет legd8, отображаемый с использованием MATLAB. Полиномы Лежандра также связаны с семействами окон. ^[8]

Вейвлет-пакеты Лежандра

Системы вейвлет-пакетов (WP), полученные из вейвлетов Лежандра, также могут быть легко реализованы. На рисунке 5 показаны функции WP, производные от legd2.

Ссылки

^ Лира и др.
^ Jump up to: ^а ^б Градштейн Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Героним Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014 г.]. Цвиллингер, Дэниел; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5 . LCCN 2014010276 .
^ Jump up to: ^а ^б Коломер и Коломер
^ Рамм и Заславский
^ Херли и Веттерли
^ Jump up to: ^а ^б Маллат
^ Веттерли и Херли
^ Яскула

Библиография

ММС Лира, Х.М. де Оливейра, М.А. Карвалью-младший, RMCSouza, Вейвлеты с компактным носителем, полученные из полиномов Лежандра: сферические гармонические вейвлеты, В кн.: Вычислительные методы в схемах и системных приложениях , Н.Е. Масторакис, И.А. Стахопулос, К. Маникопулос, Г.Е. Антониу, В.М. Младенов , IF Gonos Eds., WSEAS press, стр. 211–215, 2003. ISBN 960-8052-88-2 . Доступно на ee.ufpe.br.
А. А. Коломер и А. А. Коломер, Адаптивное сжатие данных ЭКГ с использованием дискретного преобразования Лежандра, Цифровая обработка сигналов , 7, 1997, стр. 222–228.
А. Г. Рамм, А. И. Заславский, Рентгеновское преобразование, преобразование Лежандра и конверты, Журн. матем. Анализ и приложения , 183, стр. 528–546, 1994.
К. Херли, М. Веттерли, Ортогонализация компактно поддерживаемых базисов вейвлетов, Процесс обработки цифровых сигналов IEEE. Семинар , 13-16 сентября, стр. 1.7.1-1.7.2, 1992.
С. Маллат, Теория разложения сигнала с несколькими разрешениями: вейвлет-представление, Транзакции IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту , 11, июль, стр. 674–693, 1989.
М. Веттерли, К. Херли, Вейвлеты и банки фильтров: теория и проектирование, IEEE Trans. по акустике, речи и обработке сигналов , 40, 9, с. 2207, 1992.
М. Яскула, Новое семейство Windows на основе модифицированных полиномов Лежандра, IEEE Instrum. И измерительная техника. Конф. , Анкоридж, АК, май 2002 г., стр. 553–556.

[1] Лира и др.

[Gradsh-2] Jump up to: ^а ^б Градштейн Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Героним Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014 г.]. Цвиллингер, Дэниел; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5 . LCCN 2014010276 .

[Colomer-3] Jump up to: ^а ^б Коломер и Коломер

[4] Рамм и Заславский

[5] Херли и Веттерли

[Mallat-6] Jump up to: ^а ^б Маллат

[7] Веттерли и Херли

[8] Яскула

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]