Каскадный алгоритм

В математической теме вейвлетов теории каскадный алгоритм представляет собой численный метод расчета значений функций базового масштабирования и вейвлет -функций дискретного вейвлет-преобразования с использованием итерационного алгоритма. Он начинается со значений грубой последовательности точек отбора проб и создает значения для последовательно более плотных последовательностей точек отбора проб. Поскольку он многократно применяет одну и ту же операцию к выходным данным предыдущего приложения, он известен как каскадный алгоритм .

Последовательное приближение

Итерационный алгоритм генерирует последовательные приближения к ψ( t ) или φ( t ) из { h } и { g } коэффициентов фильтра. Если алгоритм сходится к фиксированной точке, то эта фиксированная точка является базовой функцией масштабирования или вейвлетом.

Итерации определяются

$\varphi ^{(k+1)}(t)=\sum _{n=0}^{N-1}h[n]{\sqrt {2}}\varphi ^{(k)}(2t-n)$

Для k -й итерации, где начальная φ ⁽⁰⁾ ( t ) должно быть задано.

Оценки базовой масштабирующей функции в частотной области определяются выражением

$\Phi ^{(k+1)}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2}}}H\left({\frac {\omega }{2}}\right)\Phi ^{(k)}\left({\frac {\omega }{2}}\right)$

и предел можно рассматривать как бесконечное произведение в виде

$\Phi ^{(\infty )}(\omega )=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2}}}H\left({\frac {\omega }{2^{k}}}\right)\Phi ^{(\infty )}(0).$

Если такой предел существует, спектр масштабирующей функции равен

$\Phi (\omega )=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2}}}H\left({\frac {\omega }{2^{k}}}\right)\Phi ^{(\infty )}(0)$

Предел не зависит от первоначальной формы, принятой для φ ⁽⁰⁾ ( т ). Этот алгоритм надежно сходится к φ( t ), даже если он разрывный.

С помощью этой масштабирующей функции вейвлет может быть сгенерирован из

$\psi (t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g[n]{\sqrt {2}}\varphi ^{(k)}(2t-n).$

Последовательное приближение также может быть получено в частотной области.

Ссылки

• К.С. Буррус , Р.А. Гопинатх, Х. Го, Введение в вейвлеты и вейвлет-преобразования: учебник для начинающих , Prentice-Hall, 1988, ISBN   0-13-489600-9 .
• http://cnx.org/content/m10486/latest/
• http://plan9.bell-labs.co/who/wim/cascade/. Архивировано 15 июня 2007 г. в Wayback Machine.