Квадратурный зеркальный фильтр

В цифровой обработке сигналов квадратурный зеркальный фильтр представляет собой фильтр, амплитудная характеристика которого представляет собой зеркальное отображение вокруг $\pi /2$или другого фильтра. Вместе эти фильтры, впервые представленные Круазье и др., известны как пара фильтров с квадратурным зеркалом.

Фильтр $H_{1}(z)$ – квадратурный зеркальный фильтр $H_{0}(z)$ если $H_{1}(z)=H_{0}(-z)$.

Отклики фильтра симметричны относительно $\Omega =\pi /2$:

${\big |}H_{1}{\big (}e^{j\Omega }{\big )}{\big |}={\big |}H_{0}{\big (}e^{j(\pi -\Omega )}{\big )}{\big |}.$

В аудио/голосовых кодеках пара квадратурных зеркальных фильтров часто используется для реализации банка фильтров , который разделяет входной сигнал на две полосы. Результирующие сигналы верхних и нижних частот часто уменьшаются в 2 раза, давая критически дискретизированное двухканальное представление исходного сигнала. Фильтры анализа часто связаны следующей формулой в дополнение к свойству квадратного зеркала:

${\big |}H_{0}{\big (}e^{j\Omega }{\big )}{\big |}^{2}+{\big |}H_{1}{\big (}e^{j\Omega }{\big )}{\big |}^{2}=1,$

где $\Omega$ — частота , а частота дискретизации нормирована на $2\pi$. Это известно как свойство дополнительной власти. Другими словами, сумма мощностей фильтров верхних и нижних частот равна 1.

Ортогональные вейвлеты — вейвлеты Хаара и родственные вейвлеты Добеши , Койфлеты и некоторые из них, разработанные Маллатом , генерируются функциями масштабирования , которые вместе с вейвлетом удовлетворяют соотношению квадратурного зеркального фильтра.

банками

Самые ранние вейвлеты были основаны на разложении функции по прямоугольным шагам, вейвлеты Хаара. Обычно это плохое приближение, тогда как вейвлеты Добеши относятся к числу самых простых, но наиболее важных семейств вейвлетов. Линейный фильтр, который равен нулю для «гладких» сигналов, учитывая запись $N$ точки $x_{n}$ определяется как

$y_{n}=\sum _{i=0}^{M-1}b_{i}x_{n-i}.$

Желательно, чтобы он обращался в нуль при постоянной величине, поэтому принимая порядок $m=4$, например,

$b_{0}\cdot 1+b_{1}\cdot 1+b_{2}\cdot 1+b_{3}\cdot 1=0.$

И чтобы оно исчезло при линейном пандусе, так что

$b_{0}\cdot 0+b_{1}\cdot 1+b_{2}\cdot 2+b_{3}\cdot 3=0.$

Линейный фильтр исчезнет при любом $x=\alpha n+\beta$, и это все, что можно сделать с помощью вейвлета четвертого порядка. Чтобы квадратичная кривая обратилась в нуль, и так далее, потребуется шесть членов, учитывая другие ограничения, которые необходимо включить. Далее сопутствующий фильтр может быть определен как

$z_{n}=\sum _{i=0}^{M-1}c_{i}x_{n-i}.$

Этот фильтр реагирует совершенно противоположным образом: он велик для гладких сигналов и мал для негладких сигналов. Линейный фильтр — это просто свертка сигнала с коэффициентами фильтра, поэтому серия коэффициентов — это сигнал, на который фильтр реагирует максимально. Таким образом, выходной сигнал второго фильтра исчезает, когда в него вводятся коэффициенты первого. Цель состоит в том, чтобы иметь

$\sum _{i=0}^{M-1}c_{i}b_{i}=0.$

Где связанный временной ряд меняет порядок коэффициентов, потому что линейный фильтр является сверткой, и поэтому оба имеют одинаковый индекс в этой сумме. Пара фильтров с этим свойством определяется как квадратурные зеркальные фильтры. Даже если две результирующие полосы были подвергнуты субдискретизации с коэффициентом 2, соотношение между фильтрами означает, что приблизительно идеальная реконструкция возможна . То есть две полосы затем можно подвергнуть повышающей дискретизации, снова отфильтровать теми же фильтрами и сложить вместе, чтобы точно воспроизвести исходный сигнал (но с небольшой задержкой). (В практических реализациях проблемы с числовой точностью в арифметике с плавающей запятой могут повлиять на совершенство реконструкции.)

Дальнейшее чтение

• А. Круазье, Д. Эстебан, К. Галанд. Идеальное разделение каналов с использованием методов декомпозиции дерева интерполяции/прореживания . Первая международная конференция по наукам и системам, Патры, август 1976 г., стр. 443–446.
• Джонстон, Дж.Д. Семейство фильтров, предназначенное для использования в блоках фильтров с квадратурными зеркалами . , Акустика, речь и обработка сигналов, Международная конференция IEEE, 5, 291–294, апрель 1980 г.
• Биномиальный QMF , также известный как вейвлет-фильтры Добеши .
• Симпозиумы NJIT по поддиапазонам и вейвлетам 1990, 1992, 1994, 1997 гг .
• Моленкамп, М.Дж. Учебное пособие по вейвлетам и их приложениям . Университет Колорадо, Боулдер, факультет прикладной математики, 2004 г.
• Поликар, Р. Мультиразрешительный анализ: дискретное вейвлет-преобразование . Университет Роуэн, Нью-Джерси, факультет электротехники и вычислительной техники.