прическа

Прическа с двумя исчезающими моментами

Койфлеты — это дискретные вейвлеты , разработанные Ингрид Добеши по просьбе Рональда Койфмана с целью иметь масштабирующие функции с исчезающими моментами . Вейвлет почти симметричен, их вейвлет-функции имеют $N/3$ исчезающие моменты и масштабирующие функции $N/3-1$и использовался во многих приложениях с использованием операторов Кальдерона-Зигмунда .

Теория

Некоторые теоремы о койфлетах:

Теорема 1

Для вейвлет-системы $\{\phi ,{\tilde {\phi }},\psi ,{\tilde {\psi }},h,{\tilde {h}},g,{\tilde {g}}\}$, следующие триуравнения эквивалентны:

${\begin{array}{lcl}{\mathcal {M_{\tilde {\psi }}}}(0,l]=0&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\\sum _{n}(-1)^{n}n^{l}h[n]=0&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\H^{(l)}(\pi )=0&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\end{array}}$

и аналогичная эквивалентность имеет место между $\psi$ и ${\tilde {h}}$

Теорема 2

Для вейвлет-системы $\{\phi ,{\tilde {\phi }},\psi ,{\tilde {\psi }},h,{\tilde {h}},g,{\tilde {g}}\}$, следующие шесть уравненийэквивалентны:

${\begin{array}{lcl}{\mathcal {M_{\tilde {\phi }}}}(t_{0},l]=\delta [l]&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\{\mathcal {M_{\tilde {\phi }}}}(0,l]=t_{0}^{l}&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\{\hat {\phi }}^{(}l)(0)=(-jt_{0})^{t}&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\\sum _{n}(n-t_{0})^{l}h[n]=\delta [l]&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\\sum _{n}n^{l}h[n]=t_{0}^{l}&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\H^{(l)}(0)=(-jt_{0})^{t}&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,L-1\\\end{array}}$

и аналогичная эквивалентность имеет место между ${\tilde {\psi }}$ и ${\tilde {h}}$

Теорема 3

Для биортогональной вейвлет-системы $\{\phi ,\psi ,{\tilde {\phi }},{\tilde {\psi }}\}$, если либо ${\tilde {\psi }}$ или $\psi$обладает степенью L исчезающих моментов, то следующие два уравнения эквивалентны:

${\begin{array}{lcl}{\mathcal {M_{\tilde {\psi }}}}(t_{0},l]=\delta [l]&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,{\bar {L}}-1\\{\mathcal {M_{\psi }}}(t_{0},l]=\delta [l]&{\text{for }}l=0,1,\ldots ,{\bar {L}}-1\\\end{array}}$

для любого ${\bar {L}}$ такой, что ${\bar {L}}\ll L$

Коэффициенты койфлета

И масштабирующая функция (фильтр нижних частот), и вейвлет-функция (фильтр верхних частот) должны быть нормализованы коэффициентом $1/{\sqrt {2}}$. Ниже приведены коэффициенты масштабирующих функций для C6–30. Вейвлет-коэффициенты получаются путем изменения порядка коэффициентов масштабирующей функции, а затем изменения знака каждого второго (т. е. вейвлет C6 = {-0,022140543057, 0,102859456942, 0,544281086116, -1,205718913884, 0,477859456942, 0. 102859456942}).

Математически это выглядит так $B_{k}=(-1)^{k}C_{N-1-k}$, где k — индекс коэффициента, B — вейвлет-коэффициент, а C — коэффициент масштабирующей функции. N — индекс вейвлета, т.е. 6 для C6.

Коэффициенты Койфлетов (нормализованы до суммы 2)

к	С6	С12	С18	С24	С30
−10					−0.0002999290456692
−9					0.0005071055047161
−8				0.0012619224228619	0.0030805734519904
−7				−0.0023044502875399	−0.0058821563280714
−6			−0.0053648373418441	−0.0103890503269406	−0.0143282246988201
−5			0.0110062534156628	0.0227249229665297	0.0331043666129858
−4		0.0231751934774337	0.0331671209583407	0.0377344771391261	0.0398380343959686
−3		−0.0586402759669371	−0.0930155289574539	−0.1149284838038540	−0.1299967565094460
−2	−0.1028594569415370	−0.0952791806220162	−0.0864415271204239	−0.0793053059248983	−0.0736051069489375
−1	0.4778594569415370	0.5460420930695330	0.5730066705472950	0.5873348100322010	0.5961918029174380
0	1.2057189138830700	1.1493647877137300	1.1225705137406600	1.1062529100791000	1.0950165427080700
1	0.5442810861169260	0.5897343873912380	0.6059671435456480	0.6143146193357710	0.6194005181568410
2	−0.1028594569415370	−0.1081712141834230	−0.1015402815097780	−0.0942254750477914	−0.0877346296564723
3	−0.0221405430584631	−0.0840529609215432	−0.1163925015231710	−0.1360762293560410	−0.1492888402656790
4		0.0334888203265590	0.0488681886423339	0.0556272739169390	0.0583893855505615
5		0.0079357672259240	0.0224584819240757	0.0354716628454062	0.0462091445541337
6		−0.0025784067122813	−0.0127392020220977	−0.0215126323101745	−0.0279425853727641
7		−0.0010190107982153	−0.0036409178311325	−0.0080020216899011	−0.0129534995030117
8			0.0015804102019152	0.0053053298270610	0.0095622335982613
9			0.0006593303475864	0.0017911878553906	0.0034387669687710
10			−0.0001003855491065	−0.0008330003901883	−0.0023498958688271
11			−0.0000489314685106	−0.0003676592334273	−0.0009016444801393
12				0.0000881604532320	0.0004268915950172
13				0.0000441656938246	0.0001984938227975
14				−0.0000046098383254	−0.0000582936877724
15				−0.0000025243583600	−0.0000300806359640
16					0.0000052336193200
17					0.0000029150058427
18					-0.0000002296399300
19					−0.0000001358212135

Функция Матлаба

F = coifwavf(W) возвращает фильтр масштабирования, связанный с вейвлетом Coiflet, заданным строкой W, где W = «coifN». Возможные значения N : 1, 2, 3, 4 или 5.