Mathematical constants
Гамма -функция — важная специальная функция в математике . Его конкретные значения могут быть выражены в замкнутой форме для целых и полуцелых аргументов, но для значений в рациональных точках вообще не известны простые выражения. Другие дробные аргументы можно аппроксимировать с помощью эффективных бесконечных произведений, бесконечных рядов и рекуррентных соотношений.
Целые и полуцелые числа [ править ] Для целочисленных положительных аргументов гамма-функция совпадает с факториалом . То есть,
Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! , {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!,} и, следовательно,
Γ ( 1 ) = 1 , Γ ( 2 ) = 1 , Γ ( 3 ) = 2 , Γ ( 4 ) = 6 , Γ ( 5 ) = 24 , {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=1,\\\Gamma (2)&=1,\\\Gamma (3)&=2,\\\Gamma (4)&=6,\\\Gamma (5)&=24,\end{aligned}}} и так далее. Для неположительных целых чисел гамма-функция не определена.
Для положительных полуцелых чисел значения функции определяются точно так:
Γ ( n 2 ) = π ( n − 2 ) ! ! 2 n − 1 2 , {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {n}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}{\frac {(n-2)!!}{2^{\frac {n-1}{2}}}}\,,} или, что то же самое, для неотрицательных целых значений n :
Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n π = ( 2 n ) ! 4 n n ! π Γ ( 1 2 − n ) = ( − 2 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! π = ( − 4 ) n n ! ( 2 n ) ! π {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{\sqrt {\pi }}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\frac {(-4)^{n}n!}{(2n)!}}{\sqrt {\pi }}\end{aligned}}} где н !! двойной факториал . В частности,
Γ ( 1 2 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\,} = π {\displaystyle ={\sqrt {\pi }}\,} ≈ 1.772 453 850 905 516 0273 , {\displaystyle \approx 1.772\,453\,850\,905\,516\,0273\,,} ОЭИС : A002161 Γ ( 3 2 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)\,} = 1 2 π {\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\,} ≈ 0.886 226 925 452 758 0137 , {\displaystyle \approx 0.886\,226\,925\,452\,758\,0137\,,} ОЭИС : A019704 Γ ( 5 2 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)\,} = 3 4 π {\displaystyle ={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}\,} ≈ 1.329 340 388 179 137 0205 , {\displaystyle \approx 1.329\,340\,388\,179\,137\,0205\,,} ОЭИС : A245884 Γ ( 7 2 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)\,} = 15 8 π {\displaystyle ={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}\,} ≈ 3.323 350 970 447 842 5512 , {\displaystyle \approx 3.323\,350\,970\,447\,842\,5512\,,} ОЭИС : A245885
и с помощью формулы отражения ,
Γ ( − 1 2 ) {\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\,} = − 2 π {\displaystyle =-2{\sqrt {\pi }}\,} ≈ − 3.544 907 701 811 032 0546 , {\displaystyle \approx -3.544\,907\,701\,811\,032\,0546\,,} ОЭИС : A019707 Γ ( − 3 2 ) {\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)\,} = 4 3 π {\displaystyle ={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}\,} ≈ 2.363 271 801 207 354 7031 , {\displaystyle \approx 2.363\,271\,801\,207\,354\,7031\,,} ПРЕТЕНЗИЯ : A245886 Γ ( − 5 2 ) {\displaystyle \Gamma \left(-{\tfrac {5}{2}}\right)\,} = − 8 15 π {\displaystyle =-{\tfrac {8}{15}}{\sqrt {\pi }}\,} ≈ − 0.945 308 720 482 941 8812 , {\displaystyle \approx -0.945\,308\,720\,482\,941\,8812\,,} ОЭИС : A245887
Общий рациональный аргумент По аналогии с формулой полуцелого числа:
Γ ( n + 1 3 ) = Γ ( 1 3 ) ( 3 n − 2 ) ! ! ! 3 n Γ ( n + 1 4 ) = Γ ( 1 4 ) ( 4 n − 3 ) ! ! ! ! 4 n Γ ( n + 1 q ) = Γ ( 1 q ) ( q n − ( q − 1 ) ) ! ( q ) q n Γ ( n + p q ) = Γ ( p q ) 1 q n ∏ k = 1 n ( k q + p − q ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{3}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right){\frac {(3n-2)!!!}{3^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{4}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right){\frac {(4n-3)!!!!}{4^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{q}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{q}}\right){\frac {{\big (}qn-(q-1){\big )}!^{(q)}}{q^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {p}{q}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {p}{q}}\right){\frac {1}{q^{n}}}\prod _{k=1}^{n}(kq+p-q)\end{aligned}}} где н ! ( q ) q- й мультифакториал числа n . Численно,
Γ ( 1 3 ) ≈ 2.678 938 534 707 747 6337 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 2.678\,938\,534\,707\,747\,6337} ОЭИС : A073005 Γ ( 1 4 ) ≈ 3.625 609 908 221 908 3119 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\approx 3.625\,609\,908\,221\,908\,3119} ОЭИС : A068466 Γ ( 1 5 ) ≈ 4.590 843 711 998 803 0532 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\approx 4.590\,843\,711\,998\,803\,0532} ОЭИС : A175380 Γ ( 1 6 ) ≈ 5.566 316 001 780 235 2043 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)\approx 5.566\,316\,001\,780\,235\,2043} ОЭИС : A175379 Γ ( 1 7 ) ≈ 6.548 062 940 247 824 4377 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{7}}\right)\approx 6.548\,062\,940\,247\,824\,4377} ОЭИС : A220086 Γ ( 1 8 ) ≈ 7.533 941 598 797 611 9047 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{8}}\right)\approx 7.533\,941\,598\,797\,611\,9047} ОЭИС : A203142 Как n {\displaystyle n}
Γ ( 1 n ) ∼ n − γ {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{n}}\right)\sim n-\gamma } где γ {\displaystyle \gamma } постоянная Эйлера–Машерони и ∼ {\displaystyle \sim } асимптотическую эквивалентность .
Неизвестно, являются ли эти константы трансцендентными вообще , но Γ( 1/3 и Γ ( 1/4 В. Чудновским ) трансцендентность была показана Г. . Γ( 1 / 4 ) / 4 Трансцендентность √ π также давно известна, и Юрий Нестеренко в 1996 году доказал, что Γ( 1 / 4 ) , π и е п алгебраически .
Число Γ( 1 / 4 ) связана с константой лемнискаты ϖ соотношением
Γ ( 1 4 ) = 2 ϖ 2 π , {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2\varpi {\sqrt {2\pi }}}},} и это было предположено Граменом [1]
Γ ( 1 4 ) = 4 π 3 e 2 γ − δ + 1 4 {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt[{4}]{4\pi ^{3}e^{2\gamma -\mathrm {\delta } +1}}}} где δ — константа Массера-Грэмейна OEIS : A086058 [2]
Борное вино и сахар [3] Γ( n / 24 ) можно выразить алгебраически через π , K ( k (1)) K ( k (2)) K ( k (3)) K ( k (6)) K ( k ( N )) полный эллиптический интеграл первого рода . Это позволяет эффективно аппроксимировать гамма-функцию рациональных аргументов с высокой точностью, используя квадратично сходящиеся среднеарифметико-геометрические итерации. Например:
Γ ( 1 6 ) = 3 π Γ ( 1 3 ) 2 2 3 Γ ( 1 4 ) = 2 K ( 1 2 ) π Γ ( 1 3 ) = 2 7 / 9 π K ( 1 4 ( 2 − 3 ) ) 3 3 12 Γ ( 1 8 ) Γ ( 3 8 ) = 8 2 4 ( 2 − 1 ) π K ( 3 − 2 2 ) Γ ( 1 8 ) Γ ( 3 8 ) = 2 ( 1 + 2 ) K ( 1 2 ) π 4 {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)&={\frac {{\sqrt {\frac {3}{\pi }}}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{2}}{\sqrt[{3}]{2}}}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)&=2{\sqrt {K\left({\tfrac {1}{2}}\right){\sqrt {\pi }}}}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)&={\frac {2^{7/9}{\sqrt[{3}]{\pi K\left({\frac {1}{4}}\left(2-{\sqrt {3}}\right)\right)}}}{\sqrt[{12}]{3}}}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{8}}\right)\Gamma \left({\tfrac {3}{8}}\right)&=8{\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {\left({\sqrt {2}}-1\right)\pi }}K\left(3-2{\sqrt {2}}\right)\\{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{8}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {3}{8}}\right)}}&={\frac {2{\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)K\left({\frac {1}{2}}\right)}}}{\sqrt[{4}]{\pi }}}\end{aligned}}} Другие формулы включают бесконечные произведения
Γ ( 1 4 ) = ( 2 π ) 3 4 ∏ k = 1 ∞ tanh ( π k 2 ) {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=(2\pi )^{\frac {3}{4}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh \left({\frac {\pi k}{2}}\right)} и
Γ ( 1 4 ) = A 3 e − G π π 2 1 6 ∏ k = 1 ∞ ( 1 − 1 2 k ) k ( − 1 ) k {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=A^{3}e^{-{\frac {G}{\pi }}}{\sqrt {\pi }}2^{\frac {1}{6}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)^{k(-1)^{k}}} где A — константа Глейшера-Кинкелина , а G — константа Каталана .
Следующие два представления для Γ( 3 / 4 ) дал И. Мезё [4]
π e π 2 1 Γ 2 ( 3 4 ) = i ∑ k = − ∞ ∞ e π ( k − 2 k 2 ) θ 1 ( i π 2 ( 2 k − 1 ) , e − π ) , {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi (k-2k^{2})}\theta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),} и
π 2 1 Γ 2 ( 3 4 ) = ∑ k = − ∞ ∞ θ 4 ( i k π , e − π ) e 2 π k 2 , {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\theta _{4}(ik\pi ,e^{-\pi })}{e^{2\pi k^{2}}}},} где θ 1 θ 4 -функции Якоби .
Некоторые значения гамма-функции также можно записать через гипергеометрическую функцию . Например, Γ ( 1 4 ) 4 = 32 π 3 33 3 F 2 ( 1 2 , 1 6 , 5 6 ; 1 , 1 ; 8 1331 ) {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{4}={\frac {32\pi ^{3}}{\sqrt {33}}}{}_{3}F_{2}\left({\frac {1}{2}},\ {\frac {1}{6}},\ {\frac {5}{6}};\ 1,\ 1;\ {\frac {8}{1331}}\right)}
и
Γ ( 1 3 ) 6 = 12 π 4 10 3 F 2 ( 1 2 , 1 6 , 5 6 ; 1 , 1 ; − 9 64000 ) {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{6}={\frac {12\pi ^{4}}{\sqrt {10}}}{}_{3}F_{2}\left({\frac {1}{2}},\ {\frac {1}{6}},\ {\frac {5}{6}};\ 1,\ 1;\ -{\frac {9}{64000}}\right)}
однако остается открытым вопрос, возможно ли это для всех рациональных входных данных гамма-функции. [5]
Некоторые идентификаторы продуктов включают в себя:
∏ r = 1 2 Γ ( r 3 ) = 2 π 3 ≈ 3.627 598 728 468 435 7012 {\displaystyle \prod _{r=1}^{2}\Gamma \left({\tfrac {r}{3}}\right)={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\approx 3.627\,598\,728\,468\,435\,7012} ОЭИС : A186706 ∏ r = 1 3 Γ ( r 4 ) = 2 π 3 ≈ 7.874 804 972 861 209 8721 {\displaystyle \prod _{r=1}^{3}\Gamma \left({\tfrac {r}{4}}\right)={\sqrt {2\pi ^{3}}}\approx 7.874\,804\,972\,861\,209\,8721} ОЭИС : A220610 ∏ r = 1 4 Γ ( r 5 ) = 4 π 2 5 ≈ 17.655 285 081 493 524 2483 {\displaystyle \prod _{r=1}^{4}\Gamma \left({\tfrac {r}{5}}\right)={\frac {4\pi ^{2}}{\sqrt {5}}}\approx 17.655\,285\,081\,493\,524\,2483} ∏ r = 1 5 Γ ( r 6 ) = 4 π 5 3 ≈ 40.399 319 122 003 790 0785 {\displaystyle \prod _{r=1}^{5}\Gamma \left({\tfrac {r}{6}}\right)=4{\sqrt {\frac {\pi ^{5}}{3}}}\approx 40.399\,319\,122\,003\,790\,0785} ∏ r = 1 6 Γ ( r 7 ) = 8 π 3 7 ≈ 93.754 168 203 582 503 7970 {\displaystyle \prod _{r=1}^{6}\Gamma \left({\tfrac {r}{7}}\right)={\frac {8\pi ^{3}}{\sqrt {7}}}\approx 93.754\,168\,203\,582\,503\,7970} ∏ r = 1 7 Γ ( r 8 ) = 4 π 7 ≈ 219.828 778 016 957 263 6207 {\displaystyle \prod _{r=1}^{7}\Gamma \left({\tfrac {r}{8}}\right)=4{\sqrt {\pi ^{7}}}\approx 219.828\,778\,016\,957\,263\,6207} В общем:
∏ r = 1 n Γ ( r n + 1 ) = ( 2 π ) n n + 1 {\displaystyle \prod _{r=1}^{n}\Gamma \left({\tfrac {r}{n+1}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{n+1}}}} Другие рациональные отношения включают в себя
Γ ( 1 5 ) Γ ( 4 15 ) Γ ( 1 3 ) Γ ( 2 15 ) = 2 3 20 5 6 5 − 7 5 + 6 − 6 5 4 {\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\Gamma \left({\tfrac {4}{15}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\Gamma \left({\tfrac {2}{15}}\right)}}={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt[{20}]{3}}}{{\sqrt[{6}]{5}}\,{\sqrt[{4}]{5-{\frac {7}{\sqrt {5}}}+{\sqrt {6-{\frac {6}{\sqrt {5}}}}}}}}}} Γ ( 1 20 ) Γ ( 9 20 ) Γ ( 3 20 ) Γ ( 7 20 ) = 5 4 ( 1 + 5 ) 2 {\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{20}}\right)\Gamma \left({\tfrac {9}{20}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {3}{20}}\right)\Gamma \left({\tfrac {7}{20}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{2}}} [6] Γ ( 1 5 ) 2 Γ ( 1 10 ) Γ ( 3 10 ) = 1 + 5 2 7 10 5 4 {\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{5}}\right)^{2}}{\Gamma \left({\frac {1}{10}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{10}}\right)}}={\frac {\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}{2^{\tfrac {7}{10}}{\sqrt[{4}]{5}}}}} и многие другие соотношения для Γ( n / d ) , где знаменатель d делит 24 или 60. [7]
Воображаемые и сложные аргументы [ править ] Гамма-функция в мнимой единице i = √ −1 OEIS : A212877 OEIS : A212878
Γ ( i ) = ( − 1 + i ) ! ≈ − 0.1549 − 0.4980 i . {\displaystyle \Gamma (i)=(-1+i)!\approx -0.1549-0.4980i.} Это также можно выразить через Барнса G -функцию :
Γ ( i ) = G ( 1 + i ) G ( i ) = e − log G ( i ) + log G ( 1 + i ) . {\displaystyle \Gamma (i)={\frac {G(1+i)}{G(i)}}=e^{-\log G(i)+\log G(1+i)}.} Из-за формулы отражения Эйлера и того факта, что Γ ( z ¯ ) = Γ ¯ ( z ) {\displaystyle \Gamma ({\bar {z}})={\bar {\Gamma }}(z)} квадрата модуля гамма-функции, оцененного на мнимой оси:
| Γ ( i κ ) | 2 = π κ sinh ( π κ ) {\displaystyle \left|\Gamma (i\kappa )\right|^{2}={\frac {\pi }{\kappa \sinh(\pi \kappa )}}} Таким образом, приведенный выше интеграл относится к фазе Γ ( i ) {\displaystyle \Gamma (i)}
Гамма-функция с другими сложными аргументами возвращает
Γ ( 1 + i ) = i Γ ( i ) ≈ 0.498 − 0.155 i {\displaystyle \Gamma (1+i)=i\Gamma (i)\approx 0.498-0.155i} Γ ( 1 − i ) = − i Γ ( − i ) ≈ 0.498 + 0.155 i {\displaystyle \Gamma (1-i)=-i\Gamma (-i)\approx 0.498+0.155i} Γ ( 1 2 + 1 2 i ) ≈ 0.818 163 9995 − 0.763 313 8287 i {\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i)\approx 0.818\,163\,9995-0.763\,313\,8287\,i} Γ ( 1 2 − 1 2 i ) ≈ 0.818 163 9995 + 0.763 313 8287 i {\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}i)\approx 0.818\,163\,9995+0.763\,313\,8287\,i} Γ ( 5 + 3 i ) ≈ 0.016 041 8827 − 9.433 293 2898 i {\displaystyle \Gamma (5+3i)\approx 0.016\,041\,8827-9.433\,293\,2898\,i} Γ ( 5 − 3 i ) ≈ 0.016 041 8827 + 9.433 293 2898 i . {\displaystyle \Gamma (5-3i)\approx 0.016\,041\,8827+9.433\,293\,2898\,i.} Другие константы [ править ] Гамма-функция имеет локальный минимум на положительной вещественной оси.
x min = 1.461 632 144 968 362 341 262 … {\displaystyle x_{\min }=1.461\,632\,144\,968\,362\,341\,262\ldots \,} ОЭИС : A030169 со значением
Γ ( x min ) = 0.885 603 194 410 888 … {\displaystyle \Gamma \left(x_{\min }\right)=0.885\,603\,194\,410\,888\ldots \,} ОЭИС : A030171 Интегрирование обратной гамма-функции вдоль положительной вещественной оси также дает константу Франсена-Робинсона .
На отрицательной действительной оси первые локальные максимумы и минимумы (нули дигамма-функции ):
Приблизительные локальные экстремумы Γ( x ) х С( х ) ОЭИС 083 008 264 455 409 258 269 3045 643 611 155 005 089 121 963 9933 ОЭИС : A175472 498 473 162 390 458 778 286 0437 − 407 258 339 680 135 823 582 0396 ОЭИС : A175473 720 868 444 144 650 001 537 7157 136 358 401 241 920 095 528 0294 ОЭИС : A175474 293 366 436 901 097 839 181 5669 − 127 539 834 366 250 438 230 0889 ОЭИС : A256681 237 761 743 142 441 714 598 1511 779 639 587 319 400 760 483 5708 ОЭИС : A256682 162 441 556 885 535 849 474 1745 − 324 594 482 614 850 521 711 9238 ОЭИС : A256683 418 213 073 426 742 829 855 8886 397 396 608 949 767 301 307 4887 ОЭИС : A256684 788 325 031 626 037 440 098 8918 − 181 878 444 909 404 188 101 4174 ОЭИС : A256685 764 163 816 401 266 488 776 1608 020 925 290 446 526 668 753 6973 ОЭИС : A256686 672 540 001 863 736 084 426 7649 − 002 157 416 104 522 850 540 5031 ОЭИС : A256687
^ Грамейн, Ф. (1981). «О теореме Фукагавы-Гельфонда». Изобретать. Математика . 63 (3): 495–506. Бибкод : 1981InMat..63..495G . дои : 10.1007/BF01389066 . S2CID 123079859 . ^ Мелькионд, Гийом; Новак, В. Георг; Циммерманн, Пол (2013). «Численное приближение константы Массера – Грамена до четырех десятичных знаков» . Математика. Комп . 82 (282): 1235–1246. дои : 10.1090/S0025-5718-2012-02635-4 ^ Борвейн, Дж. М.; Цукер, Эй Джей (1992). «Быстрое вычисление гамма-функции для малых рациональных дробей с использованием полных эллиптических интегралов первого рода». Журнал IMA численного анализа . 12 (4): 519–526. дои : 10.1093/иманум/12.4.519 . МР 1186733 . ^ -тригонометрические функции Госпера Мезё, Иштван (2013), «Формулы дублирования, включающие тета-функции Якоби и q », Proceedings of the American Mathematical Society , 141 (7): 2401–2410, doi : 10.1090/s0002-9939-2013-11576- 5 ^ Йоханссон, Ф. (2023). Вычисление гамма-функции произвольной точности. Мэйпл Транзакции , 3 (1). дои : 10.5206/mt.v3i1.14591 ^ Вайсштейн, Эрик В. «Гамма-функция» . Математический мир ^ Видунас, Раймундас (2005). «Выражения для значений гамма-функции». Кюсюский математический журнал . 59 (2): 267–283. arXiv : математика/0403510 дои : 10.2206/кюшуйм.59.267 . МР 2188592 . Дальнейшее чтение [ править ] 
![{\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt[{4}]{4\pi ^{3}e^{2\gamma -\mathrm {\delta } +1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef102369b292beda82513a94c04e130e7dc232d3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)&={\frac {{\sqrt {\frac {3}{\pi }}}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{2}}{\sqrt[{3}]{2}}}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{4} }\right)&=2{\sqrt {K\left({\tfrac {1}{2}}\right){\sqrt {\pi }}}}\\\Gamma \left({\tfrac {1 }{3}}\right)&={\frac {2^{7/9}{\sqrt[{3}]{\pi K\left({\frac {1}{4}}\left(2 -{\sqrt {3}}\right)\right)}}}{\sqrt[{12}]{3}}}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{8}}\right) \Gamma \left({\tfrac {3}{8}}\right)&=8{\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {\left({\sqrt {2}}-1\ right)\pi }}K\left(3-2{\sqrt {2}}\right)\\{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{8}}\right)}{\ Гамма \left({\tfrac {3}{8}}\right)}}&={\frac {2{\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)K\left({ \frac {1}{2}}\right)}}}{\sqrt[{4}]{\pi }}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99ed648043d658d67382b04189d1120bfe47e225)
![{\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\Gamma \left({\tfrac {4}{15}}\right)}{\Gamma \left( {\tfrac {1}{3}}\right)\Gamma \left({\tfrac {2}{15}}\right)}}={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt [{20}]{3}}}{{\sqrt[{6}]{5}}\,{\sqrt[{4}]{5-{\frac {7}{\sqrt {5}}} +{\sqrt {6-{\frac {6}{\sqrt {5}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52126d10bd265fbb9ae02f4e9cffc76aa64e1b1f)
![{\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{20}}\right)\Gamma \left({\tfrac {9}{20}}\right)}{\Gamma \left( {\tfrac {3}{20}}\right)\Gamma \left({\tfrac {7}{20}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}} \left(1+{\sqrt {5}}\right)}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95dbe748f7508e191d98bce8099ddfaedecf243)
![{\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{5}}\right)^{2}}{\Gamma \left({\frac {1}{10}}\right)\ Гамма \left({\frac {3}{10}}\right)}}={\frac {\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}{2^{\tfrac {7}{10} }{\sqrt[{4}]{5}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c849db6b4d10213e21b6f070927b56d2e7148e)
