Формула Чоулы – Сельберга

В математике формула Чоулы-Сельберга представляет собой оценку некоторого произведения значений гамма-функции при рациональных значениях через значения эта-функции Дедекинда при мнимых квадратичных иррациональных числах. Результат был по существу найден Лерхом ( 1897 ) и переоткрыт Чоулой и Сельбергом ( 1949 , 1967 ).

Заявление

В логарифмической форме формула Чоулы – Сельберга утверждает, что в некоторых случаях сумма

{\frac {w}{4}}\sum _{r}\chi (r)\log \Gamma \left({\frac {r}{D}}\right)={\frac {h}{2}}\log(4\pi {\sqrt {|D|}})+\sum _{\tau }\log \left({\sqrt {\Im (\tau )}}|\eta (\tau )|^{2}\right)

можно оценить по формуле предела Кронекера . Здесь χ — символ квадратичного вычета по модулю D , где −D — дискриминант мнимого квадратичного поля . Сумма берется по 0 < r < D с обычным соглашением χ( r ) = 0, если r и D имеют общий множитель. Функция η — это эта-функция Дедекинда , h — номер класса, а w — число корней из единицы.

Происхождение и применение

Происхождение таких формул теперь видится в теории комплексного умножения и, в частности, в теории периодов абелева многообразия СМ-типа . Это привело к большому количеству исследований и обобщений. В частности, существует аналог формулы Чоулы-Сельберга для p-адических чисел , включающий p-адическую гамма-функцию , называемый формулой Гросса-Коблица .

Формула Чоулы – Сельберга дает формулу для конечного произведения значений эта-функций. Объединив это с теорией комплексного умножения , можно дать формулу для отдельных абсолютных значений эта-функции как

\Im (\tau )|\eta (\tau )|^{4}={\frac {\alpha }{4\pi {\sqrt {|D|}}}}\prod _{r}\Gamma (r/|D|)^{\chi (r){\frac {w}{2h}}}

для некоторого алгебраического числа α.

Примеры

Использование формулы отражения Эйлера для гамма-функции дает:

$\eta (i)=2^{-1}\pi ^{-3/4}\Gamma ({\tfrac {1}{4}})$

См. также

Теорема умножения

Ссылки

Чола, С.; Сельберг, Атл (1949), «О дзета-функции Эпштейна. I», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 35 (7): 371–374, Бибкод : 1949PNAS...35..371C , doi : 10.1073/pnas.35.7.371 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 88112 , MR 0030997 , PMC 1063041 , PMID 16588908
Чола, Сарвадаман; Сельберг, Атле (1967), «О дзета-функции Эпштейна», Журнал чистой и прикладной математики , 1967 (227): 86–110, doi : 10.1515/crll.1967.227.86 , MR 0215797 , S2CID 201060556
Лерх, Матиас (1897), «О некоторых формулах, касающихся числа классов», Bulletin des Sciences Mathématiques , 21 : 290–304.
Шаппахер, Норберт (1988), Периоды персонажей Гекке , Конспекты лекций по математике, том. 1301, Берлин: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0082094 , ISBN 978-3-540-18915-2 , МР 0935127