p -адическая гамма-функция

В математике Γ p -адическая гамма-функция p _{является} функцией p переменной - адической , аналогичной гамма-функции . Впервые она была явно определена Моритой (1975) , хотя Боярский (1980) отметил, что Дворк (1964) неявно использовал ту же функцию. Даймонд (1977) определил p -адический аналог G _p log Γ. Оверхольцер (1952) ранее дал определение другого p -адического аналога гамма-функции, но его функция не обладает удовлетворительными свойствами и мало используется.

Определение

p -адическая гамма - функция — это уникальная непрерывная функция p -адического целого числа x (со значениями в $\mathbb {Z} _{p}$) такой, что

$\Gamma _{p}(x)=(-1)^{x}\prod _{0<i<x,\ p\,\nmid \,i}i$

для положительных целых чисел x , где произведение ограничено целыми числами i, не делящимися на p . Поскольку положительные целые числа плотны относительно p -адической топологии в $\mathbb {Z} _{p}$, $\Gamma _{p}(x)$ может быть однозначно распространено на всю $\mathbb {Z} _{p}$. Здесь $\mathbb {Z} _{p}$ — кольцо p -адических целых чисел . Из определения следует, что значения $\Gamma _{p}(\mathbb {Z} )$ обратимы в $\mathbb {Z} _{p}$; это потому, что эти значения являются произведениями целых чисел, не делящихся на p , и это свойство сохраняется после непрерывного расширения до $\mathbb {Z} _{p}$. Таким образом $\Gamma _{p}:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {Z} _{p}^{\times }$. Здесь $\mathbb {Z} _{p}^{\times }$ — множество обратимых p -адических целых чисел.

Основные свойства p-адической гамма-функции

Классическая гамма-функция удовлетворяет функциональному уравнению $\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$ для любого $x\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}$. Это имеет аналог по отношению к гамма-функции Морита:

${\frac {\Gamma _{p}(x+1)}{\Gamma _{p}(x)}}={\begin{cases}-x,&{\mbox{if }}x\in \mathbb {Z} _{p}^{\times }\\-1,&{\mbox{if }}x\in p\mathbb {Z} _{p}.\end{cases}}$

Эйлера Формула отражения $\Gamma (x)\Gamma (1-x)={\frac {\pi }{\sin {(\pi x)}}}$ имеет следующий простой аналог в p -адическом случае:

$\Gamma _{p}(x)\Gamma _{p}(1-x)=(-1)^{x_{0}},$

где $x_{0}$ является первой цифрой в p -адическом разложении x , если только $x\in p\mathbb {Z} _{p}$, в этом случае $x_{0}=p$ а не 0.

Особые значения

$\Gamma _{p}(0)=1,$

$\Gamma _{p}(1)=-1,$

$\Gamma _{p}(2)=1,$

$\Gamma _{p}(3)=-2,$

и вообще,

$\Gamma _{p}(n+1)={\frac {(-1)^{n+1}n!}{[n/p]!p^{[n/p]}}}\quad (n\geq 2).$

В $x={\frac {1}{2}}$ гамма-функция Морита связана с символом Лежандра $\left({\frac {a}{p}}\right)$:

$\Gamma _{p}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=-\left({\frac {-1}{p}}\right).$

Также можно увидеть, что $\Gamma _{p}(p^{n})\equiv 1{\pmod {p^{n}}},$ следовательно $\Gamma _{p}(p^{n})\to 1$ как $n\to \infty$.

Другие интересные специальные значения происходят из формулы Гросса-Коблица , которая сначала была доказана когомологическими инструментами, а позже доказана с использованием более элементарных методов. Например,

$\Gamma _{5}\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}=-2+{\sqrt {-1}},$

$\Gamma _{7}\left({\frac {1}{3}}\right)^{3}={\frac {1-3{\sqrt {-3}}}{2}},$

где ${\sqrt {-1}}\in \mathbb {Z} _{5}$ обозначает квадратный корень с первой цифрой 3, а ${\sqrt {-3}}\in \mathbb {Z} _{7}$ обозначает квадратный корень с первой цифрой 2. (Такие спецификации необходимо делать всегда, если мы говорим о корнях.)

Другой пример:

$\Gamma _{3}\left({\frac {1}{8}}\right)\Gamma _{3}\left({\frac {3}{8}}\right)=-(1+{\sqrt {-2}}),$

где ${\sqrt {-2}}$ квадратный корень из $-2$ в $\mathbb {Q} _{3}$ соответствует 1 по модулю 3.

p -адическая формула Раабе

Формула Раабе для классической гамма-функции гласит, что

$\int _{0}^{1}\log \Gamma (x+t)dt={\frac {1}{2}}\log(2\pi )+x\log x-x.$

Это имеет аналог логарифма Ивасавы гамма-функции Мориты:

$\int _{\mathbb {Z} _{p}}\log \Gamma _{p}(x+t)dt=(x-1)(\log \Gamma _{p})'(x)-x+\left\lceil {\frac {x}{p}}\right\rceil \quad (x\in \mathbb {Z} _{p}).$

Функцию потолка следует понимать как p -адический предел $\lim _{n\to \infty }\left\lceil {\frac {x_{n}}{p}}\right\rceil$ такой, что $x_{n}\to x$ через целые рациональные числа.

расширение Малера

Разложение Малера так же важно для p -адических функций, как и разложение Тейлора в классическом анализе. Разложение Малера p -адической гамма-функции выглядит следующим образом:

$\Gamma _{p}(x+1)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\binom {x}{k}},$

где последовательность $a_{k}$ определяется следующим тождеством:

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}a_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}={\frac {1-x^{p}}{1-x}}\exp \left(x+{\frac {x^{p}}{p}}\right).$

См. также

• Формула Гросса-Коблица

Ссылки

• Боярский, Маурицио (1980), «p-адические гамма-функции и когомологии Дворка», Труды Американского математического общества , 257 (2): 359–369, doi : 10.2307/1998301 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1998301 , MR   0552263
• Даймонд, Джек (1977), «Р-адическая логарифмическая гамма-функция и p-адические константы Эйлера», Transactions of the American Mathematical Society , 233 : 321–337, doi : 10.2307/1997840 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1997840 , МР   0498503
• Даймонд, Джек (1984), «p-адические гамма-функции и их приложения», Чудновский, Дэвид В .; Чудновский Григорий Васильевич; Кон, Генри; и др. (ред.), Теория чисел (Нью-Йорк, 1982) , Конспекты лекций по математике, том. 1052, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 168–175, номер doi : 10.1007/BFb0071542 , ISBN.  978-3-540-12909-7 , МР   0750664
• Дворк, Бернар (1964), «О дзета-функции гиперповерхности. II», Annals of Mathematics , Second Series, 80 (2): 227–299, doi : 10.2307/1970392 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970392 , MR   0188215
• Морита, Ясуо (1975), «p-адический аналог Γ-функции», Журнал факультета естественных наук. Токийский университет. Раздел ИА. Математика , 22 (2): 255–266, hdl : 2261/6494 , ISSN   0040-8980 , MR   0424762
• Оверхольцер, Гордон (1952), «Функции суммы в элементарном p-адическом анализе», American Journal of Mathematics , 74 (2): 332–346, doi : 10.2307/2371998 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2371998 , MR   0048493