Принцип отбора

Иллюстрация принципа отбора ${\text{S}}_{1}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )$

В математике принцип отбора — это правило, утверждающеевозможность получения математически значимых объектов путем выбор элементов из последовательностей множеств заданных . Теория принципов отбора изучает эти принципы и их связь с другими математическими свойствами.Принципы выбора в основном описывают свойства покрытия, свойства теории меры и категории , а также локальные свойства в топологические пространства , особенно функциональные пространства . Часто характеристика математического свойства с использованием выбора Принцип представляет собой нетривиальную задачу, ведущую к новому пониманию характеризующееся имущество.

Основные принципы выбора

в 1924 году Карл Менгер ^[1] ввел следующее свойство базисности метрических пространств : Каждый базис топологии содержит последовательность множеств с исчезающими диаметра, покрывающего пространство. Вскоре после этого, Витольд Гуревич ^[2] заметил, что базисное свойство Менгера эквивалентно следующее избирательное свойство: для каждой последовательности открытых покрытий пространства из каждого покрытия последовательности можно выбрать конечное число открытых множеств, так что семейство всех выбранных множеств покрывает пространство.Топологические пространства, обладающие этим свойством накрытия, называются пространствами Менгера .

Переформулировка Гуревичем собственности Менгера была первой важной топологическое свойство, описываемое принципом отбора. Позволять $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$ быть классами математических объектов.В 1996 году Мэрион Шиперс ^[3] выдвинул следующие гипотезы отбора:фиксируя большое количество классических математических свойств:

${\text{S}}_{1}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )$ : Для каждой последовательности ${\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots$ элементов из класса $\mathbf {A}$ , есть элементы $U_{1}\in {\mathcal {U}}_{1},U_{2}\in {\mathcal {U}}_{2},\dots$ такой, что $\{U_{n}:n\in \mathbb {N} \}\in \mathbf {B}$ .
${\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )$ : Для каждой последовательности ${\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots$ элементов из класса $\mathbf {A}$ , существуют конечные подмножества ${\mathcal {F}}_{1}\subseteq {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}\subseteq {\mathcal {U}}_{2},\dots$ такой, что $\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{n}\in \mathbf {B}$ .

В случае, когда классы $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$ состоят из оболочек некоторого окружающего пространства, Шиперс также ввел следующий принцип отбора.

${\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )$ : Для каждой последовательности ${\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots$ элементов из класса $\mathbf {A}$ , ни одно из которых не содержит конечного подпокрытия, существуют конечные подмножества ${\mathcal {F}}_{1}\subseteq {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}\subseteq {\mathcal {U}}_{2},\dots$ такой, что $\{\bigcup {\mathcal {F}}_{1},\bigcup {\mathcal {F}}_{2},\dotsc \}\in \mathbf {B}$ .

Позже Боаз Цабан определил преобладание следующего родственного принципа:

${\binom {\mathbf {A} }{\mathbf {B} }}$ : Каждый член класса $\mathbf {A}$ включает члена класса $\mathbf {B}$ .

Определенные таким образом понятия являются принципами отбора . Реализация принципа выбора путем рассмотрения конкретных классов. $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$ , дает свойство выбора (или: выборочного) . Однако в литературе эти термины используются взаимозаменяемо.

Вариации

Для набора $A\subset X$ и семья ${\mathcal {F}}$ подмножеств $X$ , звезда $A$ в ${\mathcal {F}}$ это набор ${\text{St}}(A,{\mathcal {F}})=\bigcup \{F\in {\mathcal {F}}:A\cap F\neq \emptyset \}$ .

В 1999 году Любиша Д.Р. Кочинац представила следующие принципы отбора звезд : ^[4]

${\text{S}}_{1}^{*}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )$ : Для каждой последовательности ${\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots$ элементов из класса $\mathbf {A}$ , есть элементы $U_{1}\in {\mathcal {U}}_{1},U_{2}\in {\mathcal {U}}_{2},\dots$ такой, что $\{{\text{St}}(U_{n},{\mathcal {U}}_{n}):n\in \mathbb {N} \}\in \mathbf {B}$ .
${\text{S}}_{\text{fin}}^{*}(\mathbf {A} ,\mathbf {B} )$ : Для каждой последовательности ${\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots$ элементов из класса $\mathbf {A}$ , существуют конечные подмножества ${\mathcal {F}}_{1}\subseteq {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}\subseteq {\mathcal {U}}_{2},\dots$ такой, что $\{{\text{St}}(\bigcup {\mathcal {F}}_{n},{\mathcal {U}}_{n}):n\in \mathbb {N} \}\in \mathbf {B}$ .

Принципы отбора звезд являются частными случаями общих принципов отбора. В этом можно убедиться, изменив определение семейства. $\mathbf {B}$ соответственно.

Свойства покрытия

Свойства покрытия составляют ядро теории принципов отбора. Свойства выбора, которые не являются свойствами покрытия, часто изучаются с использованием импликаций к свойствам выборочного покрытия связанных пространств и из них.

Позволять $X$ быть топологическим пространством . Открытая крышка $X$ — это семейство открытых множеств, объединение которых представляет собой все пространство $X.$ По техническим причинам мы также просим, чтобы все пространство $X$ не является участником обложки. Класс открытых покрытий пространства $X$ обозначается $\mathbf {O}$ . (Формально, $\mathbf {O} (X)$ , но обычно пространство $X$ фиксируется на заднем плане.) Упомянутое выше свойство Менгера, таким образом, ${\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )$ . В 1942 году Фриц Ротбергер рассмотрел множества нулей Бореля с сильной мерой и ввел топологическую вариацию, позже названную пространством Ротбергера (также известным как C $''$ космос ). В обозначениях выборок собственностью Ротбергера является собственность ${\text{S}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )$ .

Открытая крышка ${\mathcal {U}}$ из $X$ является точечно-коконечной , если она имеет бесконечно много элементов и каждая точка $x\in X$ принадлежит всем множествам, кроме конечного числа $U\in {\mathcal {U}}$ . (Этот тип покрытия рассматривался Герлитсом и Надьем в третьем пункте определенного списка в их статье. Список нумеровался греческими буквами, поэтому такие покрытия часто называют $\gamma$ -покрытия .) Класс точечно-коконечных открытых накрытий $X$ обозначается $\mathbf {\Gamma }$ . Топологическое пространство является пространством Гуревича, если оно удовлетворяет условию ${\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )$ .

Открытая крышка ${\mathcal {U}}$ из $X$ это $\omega$ -покрытие, если каждое конечное подмножество $X$ содержится в некотором члене ${\mathcal {U}}$ . Класс $\omega$ -обложки $X$ обозначается $\mathbf {\Omega }$ . Топологическое пространство является γ-пространством, если оно удовлетворяет условию ${\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}$ .

Используя гипотезы отбора звезд, можно получить такие свойства, как звезда-Менгера ( ${\text{S}}_{\text{fin}}^{*}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )$ ), звезда-Ротбергер ( ${\text{S}}_{1}^{*}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )$ ) и звезда-Гуревич ( ${\text{S}}_{\text{fin}}^{*}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )$ ).

Диаграмма Шиперса

Имеется 36 свойств выбора формы. $\Pi (\mathbf {A} ,\mathbf {B} )$ , для $\Pi \in \{{\text{S}}_{1},{\text{S}}_{\text{fin}},{\text{U}}_{\text{fin}},{\bigl (}~~{\bigr )}\}$ и $\mathbf {A} ,\mathbf {B} \in \{\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } ,\mathbf {\Omega } \}$ . Некоторые из них тривиальны (выполняются для всех пробелов или не выполняются для всех пробелов). Ограничивая внимание пространствами Линделёфа , диаграмма ниже, известная как диаграмма Шиперса , ^[3]^[5] представляет нетривиальные свойства выбора указанной выше формы, и каждое нетривиальное свойство выбора эквивалентно свойству на диаграмме. Стрелки обозначают последствия.

Местная недвижимость

Принципы отбора также учитывают важные местные свойства.

Позволять $Y$ быть топологическим пространством, и $y\in Y$ . Класс множеств $A$ в космосе $Y$ в этом есть смысл $y$ в их замыкании обозначается $\mathbf {\Omega _{y}}$ . Класс $\mathbf {\Omega _{y}^{\text{ctbl}}}$ состоит из счетных элементов класса $\mathbf {\Omega _{y}}$ . Класс последовательностей в $Y$ которые сходятся к $y$ обозначается $\mathbf {\Gamma _{y}}$ .

Пространство $Y$ является Фреше–Урысоном тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию ${\binom {\mathbf {\Omega _{y}} }{\mathbf {\Gamma _{y}} }}$ по всем пунктам $y\in Y$ .
Пространство $Y$ является сильно Фреше–Урысона тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию ${\text{S}}_{1}(\mathbf {\Omega _{y}} ,\mathbf {\Gamma _{y}} )$ по всем пунктам $y\in Y$ .
Пространство $Y$ имеет счетную плотность тогда и только тогда, когда он удовлетворяет ${\binom {\mathbf {\Omega _{y}} }{\mathbf {\Omega _{y}^{\text{ctbl}}} }}$ по всем пунктам $y\in Y$ .
Пространство $Y$ имеет счетную веерную герметичность тогда и только тогда, когда она удовлетворяет ${\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {\Omega _{y}} ,\mathbf {\Omega _{y}} )$ по всем пунктам $y\in Y$ .
Пространство $Y$ имеет счетную сильную веерную герметичность тогда и только тогда, когда она удовлетворяет ${\text{S}}_{1}(\mathbf {\Omega _{y}} ,\mathbf {\Omega _{y}} )$ по всем пунктам $y\in Y$ .

Топологические игры

существует тесная связь Между принципами отбора и топологическими играми .

Игра Менгера

Позволять $X$ быть топологическим пространством. Игра Менгера ${\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )$ играл на $X$ это игра для двух игроков, Алисы и Боба. У него есть иннинг на каждое натуральное число. $n$ . На $n^{th}$ иннинге Алиса выбирает открытое укрытие ${\mathcal {U}}_{n}$ из $X$ ,и Боб выбирает конечное подмножество ${\mathcal {F}}_{n}$ из ${\mathcal {U}}$ . Если семья $\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {F}}_{n}$ это прикрытие пространства $X$ , то Боб выигрывает игру. В противном случае Алиса выигрывает.

Стратегия игрока — это функция, определяющая ход игрока с учетом предыдущих ходов обоих игроков. Стратегия для игрока является выигрышной стратегией, если каждая игра, в которой этот игрок придерживается этой стратегии, выигрывается этим игроком.

Топологическое пространство – это ${\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )$ тогда и только тогда, когда у Алисы нет выигрышной стратегии в игре ${\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )$ играл на этом месте. ^[2]^[3]
Позволять $X$ быть метрическим пространством. У Боба есть выигрышная стратегия в игре ${\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )$ играл на космосе $X$ тогда и только тогда, когда пространство $X$ является $\sigma$ -компактный. ^[6]^[7]

Обратите внимание, что среди пространств Линделефа метризуемое эквивалентно регулярному и счетному по секундам, и поэтому предыдущий результат можно альтернативно получить, рассматривая стратегии с ограниченной информацией . ^[8] Стратегия Маркова — это стратегия, которая использует только последний ход противника и номер текущего раунда.

Позволять $X$ быть обычным пространством. У Боба есть выигрышная марковская стратегия в игре. ${\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )$ играл на космосе $X$ тогда и только тогда, когда пространство $X$ является $\sigma$ -компактный.
Позволять $X$ быть вторым счетным пространством. У Боба есть выигрышная марковская стратегия в игре. ${\text{G}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )$ играл на космосе $X$ тогда и только тогда, когда у него есть выигрышная стратегия совершенной информации.

Аналогичным образом определим игры для других принципов отбора из приведенной диаграммы Шиперса. Во всех этих случаях топологическое пространство обладает свойством диаграммы Шиперса тогда и только тогда, когда у Алисы нет выигрышной стратегии в соответствующей игре. ^[9] Но в целом это не так: Позволять $\mathbf {K}$ — семейство k-покрытий пространства. То есть такой, что каждый компакт в пространстве покрыт каким-либо членом покрытия.Фрэнсис Джордан продемонстрировал пространство, где действует принцип отбора. ${\text{S}}_{1}(\mathbf {K} ,\mathbf {O} )$ держится, но У Алисы есть выигрышная стратегия для игры. ${\text{G}}_{1}(\mathbf {K} ,\mathbf {O} )$ ^[10]

Примеры и свойства

Каждый ${\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )$ пространство является пространством Линделёфа .
Каждый σ-компакт (счетное объединение компактов) является ${\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )$ .
${\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}\Rightarrow {\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )\Rightarrow {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )$ .
${\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}\Rightarrow {\text{S}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )\Rightarrow {\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )$ .
Если принять гипотезу континуума , то существуют наборы действительных чисел, свидетельствующие о том, что вышеуказанные выводы невозможно обратить вспять. ^[5]
Каждое Лузина множество ${\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )$ но нет ${\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )$ . ^[11]^[12]
Каждый набор Серпинского – это Гуревич. ^[13]

Подмножества реальной линии $\mathbb {R}$ (с индуцированной топологией подпространства ), обладающие свойствами принципа выбора, в первую очередь пространства Менгера и Гуревича, могут быть охарактеризованы их непрерывными образами в пространстве Бэра. $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ . Для функций $f,g\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ , писать $f\leq ^{*}g$ если $f(n)\leq g(n)$ для всех натуральных чисел, кроме конечного числа $n$ . Позволять $A$ быть подмножеством $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ . Набор $A$ ограничен , если существует функция $g\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ такой, что $f\leq ^{*}g$ для всех функций $f\in A$ . Набор $A$ является доминирующим , если для каждой функции $f\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ есть функция $g\in A$ такой, что $f\leq ^{*}g$ .

Подмножество реальной линии ${\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )$ тогда и только тогда, когда каждый непрерывный образ этого пространства в пространство Бэра не является доминирующим. ^[14]
Подмножество реальной линии ${\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )$ тогда и только тогда, когда каждый непрерывный образ этого пространства в пространство Бэра ограничен. ^[14]

Связи с другими полями

Общая топология

Каждый ${\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )$ пространство является D-пространством . ^[15]

Пусть P — свойство пространств. Пространство $X$ продуктивно P , если для каждого пространства $Y$ со свойством P пространство продукта $X\times Y$ свойство P. имеет

Всякое сепарабельное продуктивно паракомпактное пространство есть ${\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )$ .
Если принять гипотезу континуума , то каждое продуктивное пространство Линделёфа продуктивно ${\text{U}}_{\text{fin}}(\mathbf {O} ,\mathbf {\Gamma } )$ ^[16]
Позволять $A$ быть ${\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}$ подмножество реальной линии и $M$ быть скудным подмножеством реальной линии. Тогда набор $A+M=\{a+x:a\in A,x\in M\}$ скуден. ^[17]

Теория меры

Каждый ${\text{S}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )$ подмножество действительной прямой является множеством нулей сильной меры . ^[11]

Функциональные пространства

Позволять $X$ быть тихоновским пространством и $C(X)$ — пространство непрерывных функций $f\colon X\to \mathbb {R}$ с топологией поточечной сходимости .

$X$ удовлетворяет ${\binom {\mathbf {\Omega } }{\mathbf {\Gamma } }}$ тогда и только тогда, когда $C(X)$ является Фреше–Урысоном тогда и только тогда, когда $C(X)$ сильный Фреше–Урысон . ^[18]
$X$ удовлетворяет ${\text{S}}_{1}(\mathbf {\Omega } ,\mathbf {\Omega } )$ тогда и только тогда, когда $C(X)$ имеет счетную сильную герметичность вентилятора . ^[19]
$X$ удовлетворяет ${\text{S}}_{\text{fin}}(\mathbf {\Omega } ,\mathbf {\Omega } )$ тогда и только тогда, когда $C(X)$ имеет счетную герметичность вентилятора . ^[20]^[5]

См. также

Ссылки

^ Менгер, Карл (1924). «Некоторые покрывающие теоремы теории множеств точек». Труды Венской академии . 133 : 421-444. ЖФМ 50.0129.01 . Перепечатано в Selecta Mathematica I (2002). дои : 10.1007/978-3-7091-6110-4_14 , ISBN 978-3-7091-7282-7 , стр. 155-178.
^ Jump up to: ^а ^б Гуревич, Витольд (1926). «Об одном обобщении теоремы Бореля». Математический журнал . 24 (1): 401–421. дои : 10.1007/bf01216792 . S2CID 119867793 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Шиперс, Мэрион (1996). «Комбинаторика открытых покрытий I: теория Рамсея» . Топология и ее приложения . 69 : 31–62. дои : 10.1016/0166-8641(95)00067-4 .
^ Кочинац, Любиша Д.Р. (2015). «Принципы выбора звезд: опрос» . Математический журнал Хайяма . 1 : 82–106.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Просто, Винфрид; Миллер, Арнольд; Шиперс, Мэрион; Шептицкий, Пол (1996). «Комбинаторика открытых покрытий II». Топология и ее приложения . 73 (3): 241–266. arXiv : математика/9509211 . дои : 10.1016/S0166-8641(96)00075-2 . S2CID 14946860 .
^ Шиперс, Мэрион (1 января 1995 г.). «Прямое доказательство теоремы Тельгарского» . Труды Американского математического общества . 123 (11): 3483–3485. дои : 10.1090/S0002-9939-1995-1273523-1 . ISSN 0002-9939 .
^ Тельгарский, Растислав (1 июня 1984 г.). «Об играх Топсе» . Математика Скандинавия . 54 : 170–176. дои : 10.7146/math.scand.a-12050 . ISSN 1903-1807 .
^ Стивен, Клонц (31 июля 2017 г.). «Применение стратегий ограниченной информации в игре Менгера» . Комментарии Mathematicae Universitatis Carolinae . 58 (2). Карлов университет в Праге, Karolinum Press: 225–239. дои : 10.14712/1213-7243.2015.201 . ISSN 0010-2628 .
^ Павликовский, Януш (1994). «Неопределенные множества игр с открытыми точками» . Фундамента Математика . 144 (3): 279–285. ISSN 0016-2736 .
^ Джордан, Фрэнсис (2020). «О неустойчивости топологической игры, связанной с созвучием» . Топология и ее приложения . 271 . Elsevier BV: 106990. doi : 10.1016/j.topol.2019.106990 . ISSN 0166-8641 . S2CID 213386675 .
^ Jump up to: ^а ^б Ротбергер, Фриц (1938). «Ужесточение свойства C» . Фундамента Математика . 30 :50-55. дои : 10.4064/fm-30-1-50-55 .
^ Гуревич, Витольд (1927). «О последовательностях непрерывных функций» . Фундамента Математика . 9 : 193-210. дои : 10.4064/fm-9-1-193-210 .
^ Фремлин, Дэвид; Миллер, Арнольд (1988). «О некоторых свойствах Гуревича, Менгера и Ротбергера» (PDF) . Фундамента Математика . 129 : 17–33. дои : 10.4064/fm-129-1-17-33 .
^ Jump up to: ^а ^б Рецлав, Иренеуш (1994). «В игре с открытием очков каждый набор Лусина не определен» . Фундамента Математика . 144 : 43–54. дои : 10.4064/fm-144-1-43-54 .
^ Ауричи, Леандро (2010). «D-пространства, топологические игры и принципы выбора» (PDF) . Труды по топологии . 36 : 107–122.
^ Шевчак, Петр; Цабан, Вооз (2016). «Произведение пространств Менгера, II: общие пространства». arXiv : 1607.01687 [ math.GN ].
^ Гэлвин, Фред; Миллер, Арнольд (1984). " $\gamma$ -множества и другие сингулярные множества действительных чисел» . Топология и ее приложения . 17 (2): 145–155. doi : 10.1016/0166-8641(84)90038-5 .
^ Герлиц, Дж.; Надь, Зс. (1982). «Некоторые свойства $C(X)$ , I" . Топология и ее приложения . 14 (2): 151–161. doi : 10.1016/0166-8641(82)90065-7 .
^ Сакаи, Масами (1988). "Свойство $C''$ и функциональные пространства» . Proceedings of the American Mathematical Society . 104 (9): 917–919. doi : 10.1090/S0002-9939-97-03897-5 .
^ Архангельский, Александр (1986). «Пространства Гуревича, аналитические множества и герметичность пространств функций». Советская математика. Докл. 2 : 396–399.

[Karl_Menger-1] Менгер, Карл (1924). «Некоторые покрывающие теоремы теории множеств точек». Труды Венской академии . 133 : 421-444. ЖФМ 50.0129.01 . Перепечатано в Selecta Mathematica I (2002). дои : 10.1007/978-3-7091-6110-4_14 , ISBN 978-3-7091-7282-7 , стр. 155-178.

[:0-2] Jump up to: ^а ^б Гуревич, Витольд (1926). «Об одном обобщении теоремы Бореля». Математический журнал . 24 (1): 401–421. дои : 10.1007/bf01216792 . S2CID 119867793 .

[coc1-3] Jump up to: ^а ^б ^с Шиперс, Мэрион (1996). «Комбинаторика открытых покрытий I: теория Рамсея» . Топология и ее приложения . 69 : 31–62. дои : 10.1016/0166-8641(95)00067-4 .

[Kssp-4] Кочинац, Любиша Д.Р. (2015). «Принципы выбора звезд: опрос» . Математический журнал Хайяма . 1 : 82–106.

[coc2-5] Jump up to: ^а ^б ^с Просто, Винфрид; Миллер, Арнольд; Шиперс, Мэрион; Шептицкий, Пол (1996). «Комбинаторика открытых покрытий II». Топология и ее приложения . 73 (3): 241–266. arXiv : математика/9509211 . дои : 10.1016/S0166-8641(96)00075-2 . S2CID 14946860 .

[6] Шиперс, Мэрион (1 января 1995 г.). «Прямое доказательство теоремы Тельгарского» . Труды Американского математического общества . 123 (11): 3483–3485. дои : 10.1090/S0002-9939-1995-1273523-1 . ISSN 0002-9939 .

[7] Тельгарский, Растислав (1 июня 1984 г.). «Об играх Топсе» . Математика Скандинавия . 54 : 170–176. дои : 10.7146/math.scand.a-12050 . ISSN 1903-1807 .

[8] Стивен, Клонц (31 июля 2017 г.). «Применение стратегий ограниченной информации в игре Менгера» . Комментарии Mathematicae Universitatis Carolinae . 58 (2). Карлов университет в Праге, Karolinum Press: 225–239. дои : 10.14712/1213-7243.2015.201 . ISSN 0010-2628 .

[pawlikowski-9] Павликовский, Януш (1994). «Неопределенные множества игр с открытыми точками» . Фундамента Математика . 144 (3): 279–285. ISSN 0016-2736 .

[10] Джордан, Фрэнсис (2020). «О неустойчивости топологической игры, связанной с созвучием» . Топология и ее приложения . 271 . Elsevier BV: 106990. doi : 10.1016/j.topol.2019.106990 . ISSN 0166-8641 . S2CID 213386675 .

[:1-11] Jump up to: ^а ^б Ротбергер, Фриц (1938). «Ужесточение свойства C» . Фундамента Математика . 30 :50-55. дои : 10.4064/fm-30-1-50-55 .

[12] Гуревич, Витольд (1927). «О последовательностях непрерывных функций» . Фундамента Математика . 9 : 193-210. дои : 10.4064/fm-9-1-193-210 .

[13] Фремлин, Дэвид; Миллер, Арнольд (1988). «О некоторых свойствах Гуревича, Менгера и Ротбергера» (PDF) . Фундамента Математика . 129 : 17–33. дои : 10.4064/fm-129-1-17-33 .

[:2-14] Jump up to: ^а ^б Рецлав, Иренеуш (1994). «В игре с открытием очков каждый набор Лусина не определен» . Фундамента Математика . 144 : 43–54. дои : 10.4064/fm-144-1-43-54 .

[15] Ауричи, Леандро (2010). «D-пространства, топологические игры и принципы выбора» (PDF) . Труды по топологии . 36 : 107–122.

[16] Шевчак, Петр; Цабан, Вооз (2016). «Произведение пространств Менгера, II: общие пространства». arXiv : 1607.01687 [ math.GN ].

[17] Гэлвин, Фред; Миллер, Арнольд (1984). " $\gamma$ -множества и другие сингулярные множества действительных чисел» . Топология и ее приложения . 17 (2): 145–155. doi : 10.1016/0166-8641(84)90038-5 .

[18] Герлиц, Дж.; Надь, Зс. (1982). «Некоторые свойства $C(X)$ , I" . Топология и ее приложения . 14 (2): 151–161. doi : 10.1016/0166-8641(82)90065-7 .

[19] Сакаи, Масами (1988). "Свойство $C''$ и функциональные пространства» . Proceedings of the American Mathematical Society . 104 (9): 917–919. doi : 10.1090/S0002-9939-97-03897-5 .

[20] Архангельский, Александр (1986). «Пространства Гуревича, аналитические множества и герметичность пространств функций». Советская математика. Докл. 2 : 396–399.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

v т и Топология
Поля	Общий (набор точек) алгебраический комбинаторный Континуум Дифференциал Геометрический низкоразмерный Гомология когомологии теоретико-множественный Цифровой
Ключевые понятия	Открытый набор / Закрытый набор Интерьер Непрерывность Космос компактный подключен Хаусдорф метрика униформа Гомотопия гомотопическая группа фундаментальная группа Симплициальный комплекс комплекс ХО Полиэдрический комплекс Коллектор Связка (математика) Второе счетное пространство Кобордизм
Метрики и свойства	Эйлерова характеристика Номер Бетти Номер обмотки Число Черна Ориентируемость
Ключевые результаты	Банахова теорема о неподвижной точке Когомологии Де Рама Инвариантность домена Гипотеза Пуанкаре Теорема Тихонова Лемма Урысона
Категория Математический портал Викибук Викиверситет Темы общий алгебраический геометрический Публикации