Меньше места

В математике пространство Менгера — это топологическое пространство , удовлетворяющее определенному базовому принципу выбора , обобщающему σ-компактность . Пространство Менгера — это пространство, в котором для каждой последовательности открытых накрытий ${\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots$ пространства существуют конечные множества ${\mathcal {F}}_{1}\subset {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}\subset {\mathcal {U}}_{2},\ldots$ такое, что семья ${\mathcal {F}}_{1}\cup {\mathcal {F}}_{2}\cup \cdots$ покрывает пространство.

История

в 1924 году Карл Менгер ввел следующее свойство базисности метрических пространств: Каждый базис топологии содержит счетное семейство множеств с исчезающими диаметра, покрывающего пространство. Вскоре после этого, Витольд Гуревич заметил, что базисное свойство Менгера можно переформулировать к указанной выше форме, используя последовательности открытых покрытий.

Гипотеза Менгера

Менгер предположил, что в ZFC каждое метрическое пространство Менгера σ-компактно. А.В. Миллер и Д.Х. Фремлин доказал, что гипотеза Менгера ложна, показав, что существует,в ZFC - набор действительных чисел, менгеровский, но не σ-компактный. Доказательство Фремлина-Миллера было дихотомическим, и набор, свидетельствующий о его провале, был дихотомическим.гипотезы во многом зависит от того, является ли определенная (неразрешимая) аксиомадержится или нет.

Бартошинский и Цабан привел универсальный пример ZFC подмножества Менгера реальной линии, которое не является σ-компактным.

Комбинаторная характеристика

Для подмножеств реальной линии свойство Менгера можно охарактеризовать с помощью непрерывных функций в пространстве Бэра. $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$.Для функций $f,g\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$, писать $f\leq ^{*}g$ если $f(n)\leq g(n)$ для всех натуральных чисел, кроме конечного числа $n$. Подмножество $A$ из $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ является доминирующим, если для каждой функции $f\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ есть функция $g\in A$ такой, что $f\leq ^{*}g$. Гуревич доказал, что подмножество действительной прямой является Менгером тогда и только тогда, когда каждый непрерывный образ этого пространства в пространство Бэра не является доминирующим. В частности, каждое подмножество действительной линии мощности меньше доминирующего числа ${\mathfrak {d}}$ меньше.

Мощность контрпримера Бартошинского и Цабана к гипотезе Менгера равна ${\mathfrak {d}}$.

Характеристики

• Всякое компактное и даже σ-компактное пространство менгеровское.
• Каждое пространство Менгера является пространством Линделёфа.
• Непрерывное изображение пространства Менгера — Менгера.
• Собственность Менгера закрыта под арест. $F_{\sigma }$ подмножества
• Свойство Менгера характеризует фильтры, в которых понятие форсирования Матиаса не добавляет доминирующих функций.