Диаграмма Чихоня

В теории множеств, Диаграмма Чихоня или диаграмма Чишона представляет собой таблицу из 10 бесконечных кардинальных чисел, относящуюся к теории множеств действительных чисел, отображающую доказуемые отношения между ними. кардинальные характеристики континуума . Все эти кардиналы больше или равны $\aleph _{1}$, наименьшего несчетного кардинала, и они ограничены сверху $2^{\aleph _{0}}$, мощность континуума . Четыре кардинала описывают свойства идеала множеств нулевой меры ; еще четыре описывают соответствующие свойства идеала скудных множеств (множеств первой категории) .

Определения

Пусть I — идеал фиксированного бесконечного множества X конечные подмножества X. , содержащий все Определим следующие « кардинальные коэффициенты » I :

• $\operatorname {add} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}\notin I{\big \}}.$

«Аддитивность» I — это наименьшее число множеств из I, не находится в I. объединение которых больше Поскольку любой идеал замкнут относительно конечных объединений, это число всегда не меньше $\aleph _{0}$; если I — σ-идеал, то add( I ) ≥ $\aleph _{1}$.

• $\operatorname {cov} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}=X{\big \}}.$

«Покрывающее число» I — это наименьшее число множеств из I, представляет собой все X. объединение которых Поскольку самого X нет в I , мы должны иметь add( I ) ≤ cov( I ).

• $\operatorname {non} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq X\ \wedge \ {\mathcal {A}}\notin I{\big \}},$

«Число однородности» I (иногда также пишется $\operatorname {unif} (I)$ — размер наименьшего набора не в I. ) По нашему предположению об I , add( I ) ≤ non( I ).

• $\operatorname {cof} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge (\forall B\in I)(\exists A\in {\mathcal {A}})(B\subseteq A){\big \}}.$

«Конфинальность» I — это конфинальность частичного порядка ( I , ⊆). Легко видеть, что мы должны иметь non( I ) ⩽ cof( I ) и cov( I ) ⩽ cof( I ).

Кроме того, « ограничивающее число » или «число неограниченности» ${\mathfrak {b}}$ и « доминирующее число » ${\mathfrak {d}}$ определяются следующим образом:

• ${\mathfrak {b}}=\min {\big \{}|F|:F\subseteq {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }\ \wedge \ (\forall g\in {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} })(\exists f\in F)(\exists ^{\infty }n\in {\mathbb {N} })(g(n)<f(n)){\big \}},$
• ${\mathfrak {d}}=\min {\big \{}|F|:F\subseteq {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} }\ \wedge \ (\forall g\in {\mathbb {N} }^{\mathbb {N} })(\exists f\in F)(\forall ^{\infty }n\in {\mathbb {N} })(g(n)<f(n)){\big \}},$

где " $\exists ^{\infty }n\in {\mathbb {N} }$" означает: "существует бесконечно много натуральных чисел n таких, что...", и " $\forall ^{\infty }n\in {\mathbb {N} }$" означает "для всех, кроме конечного числа натуральных чисел n, которые у нас есть...".

Диаграмма

Позволять ${\mathcal {B}}$ — σ-идеал тех подмножеств вещественной прямой, которые являются скудными (или «первой категории») в евклидовой топологии , и пусть ${\mathcal {L}}$ — σ-идеал тех подмножеств вещественной прямой, которые имеют нулевую меру Лебега . Тогда имеют место следующие неравенства:

		$\operatorname {cov} ({\mathcal {L}})$	$\longrightarrow$	$\operatorname {non} ({\mathcal {B}})$	$\longrightarrow$	$\operatorname {cof} ({\mathcal {B}})$	$\longrightarrow$	$\operatorname {cof} ({\mathcal {L}})$	$\longrightarrow$	$2^{\aleph _{0}}$
				$\uparrow$		$\uparrow$
		${\Bigg \uparrow }$		${\mathfrak {b}}$	$\longrightarrow$	${\mathfrak {d}}$		${\Bigg \uparrow }$
				$\uparrow$		$\uparrow$
$\aleph _{1}$	$\longrightarrow$	$\operatorname {add} {({\mathcal {L}})}$	$\longrightarrow$	$\operatorname {add} {({\mathcal {B}})}$	$\longrightarrow$	$\operatorname {cov} {({\mathcal {B}})}$	$\longrightarrow$	$\operatorname {non} {({\mathcal {L}})}$

Откуда стрела $x$ к $y$ это значит, что $x\leq y$. Кроме того, имеют место следующие соотношения:

$\operatorname {add} ({\mathcal {B}})=\min\{\operatorname {cov} ({\mathcal {B}}),{\mathfrak {b}}\}$ и

$\operatorname {cof} ({\mathcal {B}})=\max\{\operatorname {non} ({\mathcal {B}}),{\mathfrak {d}}\}.$

Оказывается, что неравенства, описанные диаграммой, вместе с упомянутыми выше отношениями представляют собой все отношения между этими кардиналами, которые доказуемы в ZFC , в следующем ограниченном смысле. Пусть A — любое присвоение кардиналов $\aleph _{1}$ и $\aleph _{2}$ к 10 кардиналам на диаграмме Чихоня. Тогда, если A согласуется с отношениями диаграммы и если A также удовлетворяет двум дополнительным отношениям, то A может быть реализовано в некоторой модели ZFC.

Для больших размеров континуума ситуация менее ясна. С ZFC согласуется то, что все кардиналы диаграммы Чихоня одновременно различны, за исключением $\operatorname {add} ({\mathcal {B}})$ и $\operatorname {cof} ({\mathcal {B}})$ (которые равны другим записям).

Некоторые неравенства на диаграмме (например, «add ≤ cov») следуют непосредственно из определений. Неравенства $\operatorname {cov} ({\mathcal {B}})\leq \operatorname {non} ({\mathcal {L}})$ и $\operatorname {cov} ({\mathcal {L}})\leq \operatorname {non} ({\mathcal {B}})$ классические теоремы и следуют из того, что вещественная линия может быть разбита на скудное множество и множество нулевой меры.

Примечания

Британский математик Дэвид Фремлин назвал диаграмму в честь польского математика из Яцека Вроцлава Цихоня .

Гипотеза континуума , $2^{\aleph _{0}}$ быть равным $\aleph _{1}$, сделало бы все эти отношения равными.

Аксиома Мартина , ослабляющая гипотезу континуума, подразумевает, что все кардиналы на диаграмме (за исключением, возможно, $\aleph _{1}$) равны $2^{\aleph _{0}}$.

Подобные диаграммы можно нарисовать для кардинальных характеристик высших кардиналов. $\kappa$ для $\kappa$ сильно недоступные , которые разбирают различных кардиналов между $\kappa ^{+}$ и $2^{\kappa }$.