Кардинальная характеристика континуума

В математической дисциплине теории множеств кардинальной характеристикой континуума является бесконечное кардинальное число , которое может последовательно находиться строго между $\aleph _{0}$ ( мощность множества натуральных чисел ), и мощность континуума , то есть мощность множества $\mathbb {R}$ всех действительных чисел . Последний кардинал обозначается $2^{\aleph _{0}}$ или ${\mathfrak {c}}$ . Разнообразие таких кардинальных характеристик возникает естественным образом, и была проделана большая работа по определению того, какие отношения между ними доказуемы , и построению моделей теории множеств для различных непротиворечивых их конфигураций.

Фон

Диагональный аргумент Кантора показывает, что ${\mathfrak {c}}$ строго больше, чем $\aleph _{0}$ , но не уточняется, является ли он наименьшим кардиналом больше, чем $\aleph _{0}$ (то есть, $\aleph _{1}$ ). Действительно, предположение о том, что ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$ — это хорошо известная гипотеза континуума , которая, как было показано, согласуется со стандартными аксиомами ZFC для теории множеств Куртом Гёделем и независима от нее Полом Коэном . Если гипотеза континуума терпит неудачу и, следовательно, ${\mathfrak {c}}$ по крайней мере $\aleph _{2}$ , естественные вопросы возникают о кардиналах строго между $\aleph _{0}$ и ${\mathfrak {c}}$ , например, относительно измеримости по Лебегу. Рассматривая наименьший кардинал с некоторым свойством, можно получить определение несчетного кардинала, которое последовательно меньше ${\mathfrak {c}}$ . Обычно рассматриваются только определения кардиналов, которые доказуемо больше, чем $\aleph _{0}$ и самое большее ${\mathfrak {c}}$ как кардинальные характеристики континуума, поэтому, если гипотеза континуума верна, все они равны $\aleph _{1}$ .

Примеры

Как принято в теории множеств, мы обозначаем через $\omega$ наименьший бесконечный порядковый номер , имеющий мощность $\aleph _{0}$ ; его можно отождествить с набором натуральных чисел.

Ряд кардинальных характеристик естественным образом возникает как кардинальные инварианты для идеалов , тесно связанных со структурой действительности, таких как идеал нулевых множеств Лебега и идеал скудных множеств .

нет ( Н )

Основная характеристика ${\text{non}}({\mathcal {N}})$ — наименьшая мощность неизмеримого множества ; эквивалентно, это наименьшая мощность набора, который не является нулевым набором Лебега .

Ограничивающее число и доминирующее число

Обозначим через $\omega ^{\omega }$ набор функций из $\omega$ к $\omega$ . Для любых двух функций $f:\omega \to \omega$ и $g:\omega \to \omega$ мы обозначаем через $f\leq ^{*}g$ утверждение, что для всех, кроме конечного числа $n\in \omega ,f(n)\leq g(n)$ . Ограничивающее число ${\mathfrak {b}}$ — наименьшая мощность неограниченного множества в этом отношении, т. е. ${\mathfrak {b}}=\min(\{|F|:F\subseteq \omega ^{\omega }\land \forall f:\omega \to \omega \,\exists g\in F(g\nleq ^{*}f)\}).$

Доминирующее число ${\mathfrak {d}}$ — наименьшая мощность набора функций из $\omega$ к $\omega$ такая, что каждая такая функция доминируется (т. е. $\leq ^{*}$ ) член этого множества, то есть, ${\mathfrak {d}}=\min(\{|F|:F\subseteq \omega ^{\omega }\land \forall f:\omega \to \omega \,\exists g\in F(f\leq ^{*}g)\}).$

Очевидно, что любое такое доминирующее множество $F$ неограничен, поэтому ${\mathfrak {b}}$ самое большее ${\mathfrak {d}}$ , а аргумент диагонализации показывает, что ${\mathfrak {b}}>\aleph _{0}$ . Конечно, если ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$ это подразумевает, что ${\mathfrak {b}}={\mathfrak {d}}=\aleph _{1}$ , но Гехлер ^[1] показал, что также последовательно иметь ${\mathfrak {b}}$ строго меньше, чем ${\mathfrak {d}}.$

Число разделения и число жатвы

Обозначим через $[\omega ]^{\omega }$ совокупность всех бесконечных подмножеств $\omega$ . Для любого $a,b\in [\omega ]^{\omega }$ , мы говорим, что $a$ расколы $b$ если оба $b\cap a$ и $b\setminus a$ бесконечны. Число расщепления ${\mathfrak {s}}$ - наименьшая мощность подмножества $S$ из $[\omega ]^{\omega }$ такой, что для всех $b\in [\omega ]^{\omega }$ , есть некоторые $a\in S$ такой, что $a$ расколы $b$ . То есть, ${\mathfrak {s}}=\min(\{|S|:S\subseteq [\omega ]^{\omega }\land \forall b\in [\omega ]^{\omega }\exists a\in S(|b\cap a|=\aleph _{0}\land |b\setminus a|=\aleph _{0})\}).$

Число жатвы ${\mathfrak {r}}$ - наименьшая мощность подмножества $R$ из $[\omega ]^{\omega }$ такой, что ни один элемент $a$ из $[\omega ]^{\omega }$ разбивает каждый элемент $R$ . То есть, ${\mathfrak {r}}=\min(\{|R|:R\subseteq [\omega ]^{\omega }\land \forall a\in [\omega ]^{\omega }\exists b\in R(|b\cap a|<\aleph _{0}\lor |b\setminus a|<\aleph _{0})\}).$

Номер ультрафильтра

Номер ультрафильтра ${\mathfrak {u}}$ определяется как наименьшая мощность базы фильтра неглавного ультрафильтра на $\omega$ . Кунен ^[2] дал модель теории множествв котором ${\mathfrak {u}}=\aleph _{1}$ но ${\mathfrak {c}}=\aleph _{\aleph _{1}},$ и используя счетную опорную итерацию сил Сакса , Баумгартнера и Лейвера ^[3]построил модель, в которой ${\mathfrak {u}}=\aleph _{1}$ и ${\mathfrak {c}}=\aleph _{2}$ .

Число почти дизъюнктности

Два подмножества $A$ и $B$ из $\omega$ называются почти непересекающимися, если $|A\cap B|$ конечно, и семейство подмножеств $\omega$ называется почти непересекающимся, если его члены попарно почти непересекающиеся. Максимальное почти непересекающееся (« безумное ») семейство подмножеств $\omega$ таким образом, это почти непересекающаяся семья ${\mathcal {A}}$ такой, что для каждого подмножества $X$ из $\omega$ не в ${\mathcal {A}}$ , есть набор $A\in {\mathcal {A}}$ такой, что $A$ и $X$ почти не пересекаются(т. е. их пересечение бесконечно). Число почти дизъюнктности ${\mathfrak {a}}$ — наименьшая мощность бесконечного максимального почти непересекающегося семейства.Базовый результат ^[4] это что ${\mathfrak {b}}\leq {\mathfrak {a}}$ ; Шела ^[5] показал, что справедливо строгое неравенство ${\mathfrak {b}}<{\mathfrak {a}}$ .

Диаграмма Чихоня

Хорошо известной диаграммой кардинальных характеристик является диаграмма Чихоня , показывающая все парные отношения, доказуемые в ZFC между 10 кардинальными характеристиками.

Ссылки

^ Стивен Хеклер. О существовании некоторых конфинальных подмножеств ${}^{\omega }\omega$ . В Т. Джехе (редактор), Аксиоматическая теория множеств, Часть II. Том 13(2) Учеб. Симп. Чистая математика. , стр. 155–173. Американское математическое общество, 1974 г.
^ Кеннет Кунен . Теория множеств. Введение в доказательства независимости . Исследования по логике и основам математики, том. 102, Эльзевир, 1980 г.
^ Джеймс Эрл Баумгартнер и Ричард Лейвер . Итерированная форсировка идеального набора. Анналы математической логики 17 (1979), стр. 271–288.
^ Эрик ван Даувен . Целые числа и топология. В К. Кунен и Дж. Э. Воган (ред.) Справочник по теоретико-множественной топологии. Северная Голландия, Амстердам, 1984 год.
^ Сахарон Шела . О кардинальных инвариантах континуума. В книге Дж. Баумгартнера, Д. Мартина и С. Шела (редакторы) «Аксиоматическая теория множеств» , «Современная математика 31», Американское математическое общество, 1984, стр. 183–207.

Дальнейшее чтение

Томек Бартошинский и Хаим Джуда. Теория множеств о структуре действительной линии . А. К. Петерс, 1995.
Воган, Джерри Э. (1990). «Глава 11: Малые несчетные кардиналы и топология» (PDF) . Ин Ван Милл, Ян; Рид, Джордж М. (ред.). Открытые проблемы топологии . Амстердам: Издательство Северной Голландии . стр. 196–218 . ISBN 0-444-88768-7 . Проверено 5 декабря 2011 г.
Бласс, Андреас (12 января 2010 г.). «Глава 6: Комбинаторные кардинальные характеристики континуума». В Формане, Мэтью ; Канамори, Акихиро (ред.). Справочник по теории множеств (PDF) . Том. 1. Спрингер . стр. 395–490. ISBN 978-1-4020-4843-2 . Проверено 5 декабря 2011 г.
Бартошинский, Томек (12 января 2010 г.). «Глава 7: Инварианты меры и категории». У Формана, Мэтью; Канамори, Акихиро (ред.). Справочник по теории множеств . Том. 1. Спрингер. стр. 491–556. arXiv : math.LO/9910015 . ISBN 978-1-4020-4843-2 .
Джех, Томас (2003). Теория множеств . Монографии Спрингера по математике (изд. Третьего тысячелетия). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44085-7 . Збл 1007.03002 .
Хальбайзен, Лоренц Дж. (2012). Комбинаторная теория множеств: с мягким введением в принуждение . Монографии Спрингера по математике. Монографии Спрингера по математике. Лондон: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4471-2173-2 . ISBN 978-1-4471-2172-5 .

[1] Стивен Хеклер. О существовании некоторых конфинальных подмножеств ${}^{\omega }\omega$ . В Т. Джехе (редактор), Аксиоматическая теория множеств, Часть II. Том 13(2) Учеб. Симп. Чистая математика. , стр. 155–173. Американское математическое общество, 1974 г.

[2] Кеннет Кунен . Теория множеств. Введение в доказательства независимости . Исследования по логике и основам математики, том. 102, Эльзевир, 1980 г.

[3] Джеймс Эрл Баумгартнер и Ричард Лейвер . Итерированная форсировка идеального набора. Анналы математической логики 17 (1979), стр. 271–288.

[4] Эрик ван Даувен . Целые числа и топология. В К. Кунен и Дж. Э. Воган (ред.) Справочник по теоретико-множественной топологии. Северная Голландия, Амстердам, 1984 год.

[5] Сахарон Шела . О кардинальных инвариантах континуума. В книге Дж. Баумгартнера, Д. Мартина и С. Шела (редакторы) «Аксиоматическая теория множеств» , «Современная математика 31», Американское математическое общество, 1984, стр. 183–207.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]