Почти непересекающиеся множества

В математике два множества . почти не пересекаются если их пересечение в каком-то смысле мало; разные определения слова «маленький» приведут к разным определениям слова «почти непересекающийся».

Определение

Самый распространенный выбор — считать «маленький» конечным . В этом случае два множества почти не пересекаются, если их пересечение конечно, т. е. если

$\left|A\cap B\right|<\infty .$

(Здесь '| X |' обозначает мощность X [ , а '< ∞' означает 'конечный'.) Например, замкнутые интервалы 0, 1] и [1, 2] почти не пересекаются, поскольку их пересечение равно конечное множество {1}. Однако единичный интервал [0, 1] и множество рациональных чисел Q почти не пересекаются, поскольку их пересечение бесконечно.

Это определение распространяется на любую коллекцию множеств. Набор множеств называется попарно почти непересекающимся или взаимно почти непересекающимся, если любые два различных набора в наборе почти не пересекаются. Часто приставку «попарно» опускают, и попарно почти непересекающуюся коллекцию называют просто «почти непересекающейся».

Формально, пусть набор I — индексов , и для каждого i в I пусть A _i — набор. Тогда совокупность множеств { A _i : i in I } почти не пересекается, если для i и j из I любых

$A_{i}\neq A_{j}\quad \implies \quad \left|A_{i}\cap A_{j}\right|<\infty .$

Например, сбор всех линий, проходящих через начало координат в R ² почти не пересекается, поскольку любые два из них встречаются только в начале координат. Если { A _i } — почти непересекающийся набор, состоящий из более чем одного множества, то, очевидно, его пересечение конечно:

$\bigcap _{i\in I}A_{i}<\infty .$

Однако обратное неверно — пересечение набора

$\{\{1,2,3,\ldots \},\{2,3,4,\ldots \},\{3,4,5,\ldots \},\ldots \}$

пусто , но коллекция не является почти непересекающейся; на самом деле пересечение любых двух различных множеств в этой коллекции бесконечно.

Возможные мощности максимального почти непересекающегося семейства (обычно называемого семейством MAD) на множестве $\omega$ натуральных чисел было объектом интенсивного изучения. Минимальный бесконечный такой кардинал является одной из классических кардинальных характеристик континуума .

Другие значения

Иногда слово «почти непересекающееся» используется в каком-то другом смысле или в смысле теории меры или топологической категории . Вот некоторые альтернативные определения понятия «почти непересекающиеся», которые иногда используются (аналогичные определения применимы к бесконечным коллекциям):

• Пусть κ — любое кардинальное число. Тогда два множества A и B почти не пересекаются, если мощность их пересечения меньше κ, т. е. если

$\left|A\cap B\right|<\kappa .$

Случай κ = 1 — это просто определение непересекающихся множеств ; случай

$\kappa =\aleph _{0}$

это просто определение почти непересекающегося, данное выше, где пересечение A и B конечно.

• Пусть m — полная мера в мерой X. пространстве с Тогда два подмножества A и B из X почти не пересекаются, если их пересечение является нулевым множеством, т. е. если

$m(A\cap B)=0.$

• Пусть X — топологическое пространство . Тогда два подмножества A и B множества X почти не пересекаются, если их скудно в X. пересечение