Теория категорий

Схематическое изображение категории с объектами X , Y , Z и морфизмами f , g , g ∘ f . (Три тождественных морфизма категории 1 _X , 1 _Y и 1 _Z , если они представлены явно, будут выглядеть как три стрелки, ведущие от букв X , Y и Z к себе соответственно.)

Теория категорий — это общая теория математических структур и их отношений. Она была введена Сэмюэлем Эйленбергом и Сондерсом Мак Лейном в середине 20-го века в их основополагающей работе по алгебраической топологии . Теория категорий используется практически во всех областях математики. В частности, многие конструкции новых математических объектов из предыдущих, которые появляются одинаково в нескольких контекстах, удобно выражаются и унифицированы в терминах категорий. Примеры включают факторпространства, прямые произведения , пополнение и двойственность .

Многие области информатики также полагаются на теорию категорий, например функциональное программирование и семантика .

Категория источником формируется двумя видами объектов : объектами категории и морфизмами , которые связывают два объекта, называемые и целью морфизма . Метафорически морфизм — это стрелка, которая отображает источник в цель. Морфизмы могут быть составлены, если цель первого морфизма равна источнику второго. Композиция морфизмов имеет те же свойства, что и композиция функций ( ассоциативность и наличие тождественных морфизмов для каждого объекта). Морфизмы часто являются своего рода функциями , но это не всегда так. Например, моноид можно рассматривать как категорию с одним объектом, морфизмы которого являются элементами моноида.

фундаментальным понятием теории категорий является понятие функтора , который играет роль морфизма между двумя категориями C2 _и : он _{морфизмы} отображает объекты C1 _Вторым в объекты C2 _C2 и морфизмы C1 _C1 в . ₂ таким образом, что источники отображаются на источники, а цели отображаются на цели (или, в случае контравариантного функтора , источники отображаются на цели и наоборот ). Третья фундаментальная концепция — это естественное преобразование , которое можно рассматривать как морфизм функторов.

Категории, объекты и морфизмы

Основные статьи: Категория (математика) и морфизм

Категории

Категория состоит из C следующих трех математических объектов:

• Класс ; ob( C элементы которого называются объектами ) ,
• Класс hom( C ), элементы которого называются морфизмами , картами или стрелками .
  Каждый морфизм f имеет исходный объект a и целевой объект b .
  Выражение f : a → b можно было бы выразить устно как « f — это морфизм от a до b ».
  Выражение hom( a , b ) – альтернативно выраженное как hom _C ( a , b ) , mor( a , b ) или C ( a , b ) – обозначает hom-класс всех морфизмов от a до b .
• Бинарная операция ∘, называемая композицией морфизмов , такая, что
  для любых трех объектов a , b и c мы имеем

∘ : hom( б , c ) × hom( а , б ) → hom( а , c ) .

Композиция f : a → b и g : b → c записывается как g ∘ f или gf , регулируется двумя аксиомами:

1. Ассоциативность : если f : a → b , g : b → c и h : c → d , то

час ∘ ( г ∘ ж ) знак равно ( час ∘ г ) ∘ ж

2. Идентичность : для каждого объекта x существует морфизм 1 _x : x → x (также обозначаемый как id _x ), называемый тождественным морфизмом для x ,
такой, что

для каждого морфизма f : a → b имеем

1 _б ∘ ж знак равно ж = ж ∘ 1 _а

Из аксиом можно доказать, что для каждого объекта существует ровно один тождественный морфизм .

Морфизмы

Отношения между морфизмами (например, fg = h ) часто изображаются с помощью коммутативных диаграмм , где «точки» (углы) представляют объекты, а «стрелки» представляют морфизмы.

Морфизмы могут обладать любым из следующих свойств. Морфизм f : a → b — это a:

• мономорфизм (или моник ), если f ∘ g ₁ = f ∘ g _2, влечет g ₁ = g ₂ для всех морфизмов g ₁ , g ₂ : x → a .
• эпиморфизм (или эпический ), если g ₁ ∘ f = g ₂ ∘ f, влечет g ₁ = g ₂ для всех морфизмов g ₁ , g ₂ : b → x .
• биморфизм, если f одновременно эпический и монический.
• изоморфизм , если существует морфизм g : b → a такой, что f ∘ g = 1 _b и g ∘ f = 1 _a .
• эндоморфизм , если a = b . end( a ) обозначает класс эндоморфизмов a .
• автоморфизм , если f является одновременно эндоморфизмом и изоморфизмом. aut( a ) обозначает класс автоморфизмов a .
• ретракция , если существует правая инверсия f , т. е. если существует морфизм g : b → a с f ∘ g = 1 _b .
• раздел , если существует левый обратный элемент f , т. е. если существует морфизм g : b → a с g ∘ f = 1 _a .

Всякая ретракция является эпиморфизмом, а каждое сечение — мономорфизмом. Кроме того, следующие три утверждения эквивалентны:

• f — мономорфизм и ретракция;
• f — эпиморфизм и сечение;
• f — изоморфизм.

Функторы

Основная статья: Функтор

Функторы — это сохраняющие структуру отображения между категориями. Их можно рассматривать как морфизмы в категории всех (малых) категорий.

( ковариантный ) функтор F из категории C в категорию D , записываемый F : C → D , состоит из:

• для каждого объекта x в C — объект F ( x ) в D ; и
• для каждого морфизма f : x → y в C , морфизма F ( f ) : F ( x ) → F ( y ) в D ,

такие, что выполняются следующие два свойства:

• Для каждого объекта x в C ; F (1 _x = 1 _{F ( x )} )
• Для всех морфизмов f : x → y и g : y → z , F ( g ∘ f ) знак равно F ( g ) ∘ F ( f ) .

Контравариантный . функтор F : C → D подобен ковариантному функтору, за исключением того, что он «переворачивает морфизмы» («переворачивает все стрелки») Более конкретно, каждому морфизму f : x → y в C должен быть сопоставлен морфизм F ( f ) : F ( y ) → F ( x ) в D . Другими словами, контравариантный функтор действует как ковариантный функтор из противоположной категории C ^на к Д. ​

Естественные преобразования

Основная статья: Естественная трансформация

Естественное преобразование — это отношение между двумя функторами. Функторы часто описывают «естественные конструкции», а естественные преобразования затем описывают «естественные гомоморфизмы» между двумя такими конструкциями. Иногда две совершенно разные конструкции дают «один и тот же» результат; это выражается естественным изоморфизмом между двумя функторами.

Если F и G являются (ковариантными) функторами между категориями C и D , то естественное преобразование η из F в G сопоставляет каждому объекту X в C морфизм η _X : F ( X ) → G ( X ) в D такой, что для каждого морфизма f : X → Y в C имеем η _Y ∘ F ( f ) = G ( f ) ∘ η _X ; это означает, что следующая диаграмма коммутативна :

Commutative diagram defining natural transformations

Два функтора F и G называются естественно изоморфными , если существует естественное преобразование F в G такое, что η _X является изоморфизмом для каждого объекта X в C .

Другие концепции

Универсальные конструкции, пределы и копределы

Основные статьи: Универсальное свойство и предел (теория категорий)

Используя язык теории категорий, можно классифицировать многие области математических исследований. Категории включают наборы, группы и топологии.

Каждая категория отличается свойствами, общими для всех ее объектов, такими как пустое множество или произведение двух топологий , однако в определении категории объекты считаются атомарными, т. е. мы не знаем, ли объект А является множество, топология или любое другое абстрактное понятие. Следовательно, задача состоит в том, чтобы определить специальные объекты, не обращаясь к внутренней структуре этих объектов. Чтобы определить пустое множество, не обращаясь к элементам, или топологию произведения, не обращаясь к открытым множествам, можно охарактеризовать эти объекты с точки зрения их отношений с другими объектами, заданными морфизмами соответствующих категорий. Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти универсальные свойства , однозначно определяющие интересующие объекты.

Многочисленные важные конструкции могут быть описаны чисто категориальным способом, если предел категории может быть развит и дуализирован для получения понятия копредела .

Эквивалентные категории

Основные статьи: Эквивалентность категорий и изоморфизм категорий

Естественный вопрос: при каких условиях две категории могут считаться по существу одинаковыми в том смысле, что теоремы об одной категории легко трансформируются в теоремы о другой категории? Основной инструмент, используемый для описания такой ситуации, называется эквивалентностью категорий , которая задается соответствующими функторами между двумя категориями. Категорическая эквивалентность нашла многочисленные применения в математике.

Дальнейшие концепции и результаты

Определения категорий и функторов дают лишь самые основы категориальной алгебры; дополнительные важные темы перечислены ниже. Хотя между всеми этими темами существует тесная взаимосвязь, данный порядок можно рассматривать как руководство для дальнейшего чтения.

• Категория функтора D ^С имеет в качестве объектов функторы из C в D , а в качестве морфизмов — естественные преобразования таких функторов. — Лемма Йонеды один из самых известных основных результатов теории категорий; он описывает представимые функторы в категориях функторов.
• Двойственность : каждое утверждение, теорема или определение в теории категорий имеет двойственное выражение , которое по сути получается путем «переворачивания всех стрелок». Если одно утверждение верно в категории C , то его двойственное утверждение верно и в двойственной категории C. ^на . Эта двойственность, очевидная на уровне теории категорий, часто неясна в приложениях и может привести к удивительным взаимоотношениям.
• Сопряженные функторы : Функтор может быть сопряжен слева (или справа) с другим функтором, который отображается в противоположном направлении. Такая пара сопряженных функторов обычно возникает в результате конструкции, определяемой универсальным свойством; это можно рассматривать как более абстрактный и мощный взгляд на универсальные свойства.

Категории более высокого измерения

Основная статья: Теория высших категорий

Многие из вышеперечисленных концепций, особенно эквивалентность категорий, сопряженных пар функторов и категорий функторов, могут быть помещены в контекст категорий более высокой размерности . Короче говоря, если мы рассматриваем морфизм между двумя объектами как «процесс, ведущий нас от одного объекта к другому», то категории более высокой размерности позволяют нам выгодно обобщить это, рассматривая «процессы более высокой размерности».

Например, (строгая) 2-категория — это категория вместе с «морфизмами между морфизмами», т. е. процессами, позволяющими преобразовать один морфизм в другой. Затем мы можем «составить» эти «биморфизмы» как по горизонтали, так и по вертикали, и нам требуется, чтобы выполнялся двумерный «закон обмена», связывающий два закона композиции. В этом контексте стандартным примером является Cat , 2-категория всех (малых) категорий, и в этом примере биморфизмы морфизмов являются просто естественными преобразованиями морфизмов в обычном смысле. Другой базовый пример — рассмотреть 2-категорию с одним объектом; по сути, это моноидальные категории . Бикатегории — это более слабое понятие двумерных категорий, в которых композиция морфизмов не является строго ассоциативной, а только ассоциативной «с точностью до» изоморфизма.

Этот процесс можно распространить на все натуральные числа n , и они называются n -категориями . Существует даже понятие ω-категории, соответствующей порядковому номеру ω .

Категории более высокой размерности являются частью более широкой математической области многомерной алгебры — концепции, введенной Рональдом Брауном . Дискуссионное введение в эти идеи см. в John Baez, «A Tale of n -categories» (1996).

Исторические заметки

Основная статья: Хронология теории категорий и связанной с ней математики

Прежде всего следует заметить, что все понятие категории по существу является вспомогательным; наши основные понятия — это, по существу, понятия функтора и естественного преобразования [...]

- Эйленберг и Мак Лейн (1945)

Хотя конкретные примеры функторов и естественных преобразований были приведены Сэмюэлем Эйленбергом и Сондерсом Мак Лейном в статье 1942 года по теории групп , эти понятия были введены в более общем смысле вместе с дополнительным понятием категорий в статье тех же авторов 1945 года. (который обсуждал приложения теории категорий в области алгебраической топологии ). Их работа была важной частью перехода от интуитивной и геометрической гомологии к гомологической алгебре . Позже Эйленберг и Мак Лейн писали, что их целью было понять естественные преобразования, которые сначала требовали определения функторов, а затем категорий.

Станислав Улам и некоторые, писавшие от его имени, утверждали, что подобные идеи были распространены в конце 1930-х годов в Польше. Эйленберг был поляком и изучал математику в Польше в 1930-х годах. Теория категорий также в некотором смысле является продолжением работы Эмми Нётер (одной из учительниц Маклейна) по формализации абстрактных процессов; Нётер осознала, что понимание типа математической структуры требует понимания процессов, сохраняющих эту структуру ( гомоморфизмов ). Эйленберг и Мак Лейн ввели категории для понимания и формализации процессов ( функторов ), которые связывают топологические структуры с алгебраическими структурами ( топологическими инвариантами ), которые их характеризуют.

Теория категорий была первоначально введена для нужд гомологической алгебры и широко распространена для нужд современной алгебраической геометрии ( теории схем ). Теорию категорий можно рассматривать как расширение универсальной алгебры , поскольку последняя изучает алгебраические структуры , а первая применима к любому виду математической структуры , а также изучает отношения между структурами различной природы. По этой причине он используется во всей математике. Приложения к математической логике и семантике ( категориальная абстрактная машина ) появились позже.

Некоторые категории, называемые топосами (единственные топосы ), могут даже служить альтернативой аксиоматической теории множеств как основе математики. Топос также можно рассматривать как особый тип категории с двумя дополнительными аксиомами топоса. Эти основополагающие приложения теории категорий были достаточно подробно разработаны в качестве основы и обоснования конструктивной математики . Теория топоса — это форма абстрактной теории пучков , имеющая геометрическое происхождение и приводящая к таким идеям, как бессмысленная топология .

Категориальная логика теперь является четко определенной областью, основанной на теории типов для интуиционистских логик , с приложениями в функциональном программировании и теории предметных областей , где декартова замкнутая категория рассматривается как несинтаксическое описание лямбда -исчисления . По крайней мере, теоретико-категорный язык проясняет, что именно общего между этими связанными областями (в некотором абстрактном смысле).

Теория категорий применялась и в других областях, см. Прикладную теорию категорий . Например, Джон Баэз показал связь между диаграммами Фейнмана в физике и моноидальными категориями. Другое применение теории категорий, точнее теории топоса, было сделано в математической теории музыки, см., например, книгу «Топос музыки, геометрическая логика концепций, теории и исполнения» Гуэрино Маццола .

Более поздние попытки познакомить студентов с категориями как основой для математики включают усилия Уильяма Ловера и Роузбру (2003), а также Ловера и Стивена Шануэля (1997) и Миррослава Йотова (2012).

См. также

• Теория предметной области
• Расширенная теория категорий
• Глоссарий теории категорий
• Теория групп
• Теория высших категорий
• Многомерная алгебра
• Важные публикации по теории категорий
• Лямбда-исчисление
• Очерк теории категорий
• Хронология теории категорий и связанной с ней математики
• Прикладная теория категорий

Ссылки

Источники

• Адамек, Иржи; Замечательно, Хорст ; Стретчер, Джордж Э. (2004). Абстрактные и конкретные категории . Хельдерманн Верлаг Берлин.
• Аводи, Стив (2010). Теория категорий . Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0199237180 .
• Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2012) [1995], Теория категорий для информатики , Переиздания по теории и приложениям категорий, том. 22 (3-е изд.) .
• Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2005), Топосы, тройки и теории , Переиздания по теории и применению категорий, том. 12, МР   2178101 .
• Борсо, Фрэнсис (1994). Справочник по категориальной алгебре . Энциклопедия математики и ее приложений. Издательство Кембриджского университета. стр. 50–52. ISBN  9780521441780 .
• Фрейд, Питер Дж. (2003) [1964]. Абелевы категории . Переиздания по теории и приложениям категорий. Том. 3.
• Фрейд, Питер Дж .; Щедров, Андре (1990). Категории, аллегории . Математическая библиотека Северной Голландии. Том. 39. Северная Голландия. ISBN  978-0-08-088701-2 .
• Голдблатт, Роберт (2006) [1979]. Топосы: Категориальный анализ логики . Исследования по логике и основам математики. Том. 94. Дувр. ISBN  978-0-486-45026-1 .
• Замечательно, Хорст ; Стретчер, Джордж Э. (2007). Теория категорий (3-е изд.). Хельдерманн Верлаг Берлин. ISBN  978-3-88538-001-6 . .
• Касивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2006). Категории и пучки . Основные принципы математических наук. Том 332. Спрингер. ISBN  978-3-540-27949-5 .
• Ловер, Ф. Уильям ; Роузбру, Роберт (2003). Наборы по математике . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-01060-3 .
• Ловер, Ф. Уильям; Шануэль, Стивен Хоэл (2009) [1997]. Концептуальная математика: первое введение в категории (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-89485-2 .
• Ленстер, Том [на немецком языке] (2004). Высшие операды, высшие категории . Лондонская математика. Серия лекций для общества. Том. 298. Издательство Кембриджского университета . п. 448. Бибкод : 2004hohc.book.....L . ISBN  978-0-521-53215-0 . Архивировано из оригинала 25 октября 2003 г. Проверено 3 апреля 2006 г.
• Ленстер, Том [на немецком языке] (2014). Базовая теория категорий . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 143. Издательство Кембриджского университета. arXiv : 1612.09375 . ISBN  9781107044241 .
• Лурье, Джейкоб (2009). Теория высшего топоса . Анналы математических исследований. Том. 170. Издательство Принстонского университета. arXiv : math.CT/0608040 . ISBN  978-0-691-14049-0 . МР   2522659 .
• Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике. Том. 5 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-98403-2 . МР   1712872 .
• Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999) [1967]. Алгебра (2-е изд.). Челси. ISBN  978-0-8218-1646-2 .
• Мартини, А.; Эриг, Х.; Нуньес, Д. (1996). «Элементы базовой теории категорий» . Технический отчет . 96 (5).
• Маццола, Гуэрино (2002). Топос музыки, геометрическая логика понятий, теории и исполнения . Биркхойзер. ISBN  978-3-7643-5731-3 .
• Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 97. Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-83414-8 . Збл   1034.18001 .
• Пирс, Бенджамин К. (1991). Базовая теория категорий для специалистов по информатике . МТИ Пресс. ISBN  978-0-262-66071-6 .
• Шалк, А.; Симмонс, Х. (2005). Введение в теорию категорий в четырех простых движениях (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 21 марта 2017 г. Проверено 3 декабря 2007 г. Примечания к курсу, предлагаемому в рамках программы магистратуры. Доктор философии по математической логике , Манчестерский университет .
• Симмонс, Гарольд (2011), Введение в теорию категорий , ISBN  978-0521283045 .
• Симпсон, Карлос (2010). Гомотопическая теория высших категорий . arXiv : 1001.4071 . Бибкод : 2010arXiv1001.4071S . , черновик книги.
• Тейлор, Пол (1999). Практические основы математики . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 59. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-63107-5 .
• Тури, Даниэле (1996–2001). «Конспекты лекций по теории категорий» (PDF) . Проверено 11 декабря 2009 г. На основе Mac Lane 1998 .

Дальнейшее чтение

• Маркиз, Жан-Пьер (2008). С геометрической точки зрения: исследование истории и философии теории категорий . Спрингер. ISBN  978-1-4020-9384-5 .

Внешние ссылки

• Теория и применение категорий , электронный журнал по теории категорий, полный текст, бесплатно, с 1995 г.
• Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques , электронный журнал по теории категорий, полный текст, бесплатно, финансируется в 1957 году.
• nLab — вики-проект по математике, физике и философии с упором на n -категориальную точку зрения.
• Кафе n-Category , по сути, коллоквиум по темам теории категорий.
• Теория категорий , веб-страница со ссылками на конспекты лекций и свободно доступные книги по теории категорий.
• Хиллман, Крис (2001), «Категорический учебник» , CiteSeerX   10.1.1.24.3264 , формальное введение в теорию категорий.
• Адамек, Дж.; Херрлих, Х.; Стекер, Г. «Абстрактные и конкретные категории — радость кошек» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 10 июня 2006 г.
• «Теория категорий» Статья Жана-Пьера Маркиза в Стэнфордской энциклопедии философии с обширной библиографией.
• Список научных конференций по теории категорий
• Баэз, Джон (1996). «Сказка о n -категориях» . — Неофициальное введение в категории более высокого порядка.
• WildCats — это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов , естественных преобразований , универсальных свойств .
• на Канал котиков YouTube , канал о теории категорий.
• Теория категорий в PlanetMath ..
• Видеоархив записей выступлений по категориям, логике и основам физики.
• Интерактивная веб-страница , генерирующая примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.
• Теория категорий для наук , инструкция по теории категорий как инструменту в науках.
• Теория категорий для программистов Книга в форме блога, объясняющая теорию категорий для программистов.
• Введение в теорию категорий.