Пространство Ротбергера

В математике пространство Ротбергера — это топологическое пространство , удовлетворяющее определенному базовому принципу выбора . Пространство Ротбергера — это пространство, в котором для каждой последовательности открытых покрытий ${\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots$ пространства есть наборы $U_{1}\in {\mathcal {U}}_{1},U_{2}\in {\mathcal {U}}_{2},\ldots$ такое, что семья $\{U_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ покрывает пространство.

История

В 1938 году Фриц Ротбергер представил свою собственность, известную как $C''$.

Характеристики

Комбинаторная характеристика

Для подмножеств реальной линии свойство Ротбергера можно охарактеризовать с помощью непрерывных функций в пространстве Бэра. $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$. Подмножество $A$ из $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ можно догадаться, если существует функция $g\in A$ такие, что множества $\{n:f(n)=g(n)\}$ бесконечны для всех функций $f\in A$. Подмножество реальной линии является Ротбергером тогда и только тогда, когда любое непрерывное изображение этого пространства в пространстве Бэра угадываемо. В частности, каждое подмножество действительной линии мощности меньше $\mathrm {cov} ({\mathcal {M}})$ Ротбергер.

Топологическая характеристика игры

Позволять $X$ быть топологическим пространством. Игра Ротбергера ${\text{G}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )$ играл на $X$ это игра с двумя игроками Алисой и Бобом.

1-й раунд : Алиса выбирает открытую обложку. ${\mathcal {U}}_{1}$ из $X$. Боб выбирает набор $U_{1}\in {\mathcal {U}}_{1}$.

2-й раунд : Алиса выбирает открытую обложку. ${\mathcal {U}}_{2}$ из $X$. Боб выбирает набор $U_{2}\in {\mathcal {U}}_{2}$.

и т. д.

Если семья $\{U_{n}:n\in \mathbb {N} \}$ это прикрытие пространства $X$, то Боб выигрывает игру ${\text{G}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )$. В противном случае Алиса выигрывает.

У игрока есть выигрышная стратегия, если он знает, как играть, чтобы выиграть игру. ${\text{G}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )$ (формально выигрышная стратегия — это функция).

• Топологическое пространство является Ротбергером тогда и только тогда, когда у Алисы нет выигрышной стратегии в игре. ${\text{G}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )$ играл на этом месте.
• Позволять $X$ быть метрическим пространством. У Боба есть выигрышная стратегия в игре ${\text{G}}_{1}(\mathbf {O} ,\mathbf {O} )$ играл на космосе $X$ если пространство $X$ является счетным.

Характеристики

• Каждое счетное топологическое пространство является ротбергеровским.
• Каждый набор Лузина — Ротбергер
• Каждое подмножество Ротбергера действительной прямой имеет сильную нулевую меру .
• В модели Лейвера для непротиворечивости гипотезы Бореля каждое подмножество Ротбергера действительной линии счетно.