Лузинское пространство

В математике пространство Лузина (или пространство Лузина ), названное по имени Н. Н. Лузина , — несчетное топологическое Т ₁ пространство без изолированных точек , в котором каждое нигде не плотное подмножество счетно . Существует множество незначительных вариаций этого определения: условие T ₁ может быть заменено условием T ₂ или T ₃ , а некоторые авторы допускают счетное или даже произвольное количество изолированных точек.

Существование пространства Лузина не зависит от аксиом ZFC . Лусин (1914) показал, что из гипотезы континуума следует существование пространства Лузина. Кунен (1977) показал, что, если принять аксиому Мартина и отрицать гипотезу континуума , не существует пространств Хаусдорфа Лузина.

В реальном анализе

В реальном анализе и описательной теории множеств множество Лузина (или множество Люзина ) определяется как несчетное подмножество $A$ такое действительных чисел , что каждое несчетное подмножество $A$ не скудно ; то есть второй категории Бэра . Эквивалентно, $A$ — это несчетный набор действительных чисел, который соответствует каждой первой категории, установленной только в счетном числе точек. Лузин доказал, что если верна гипотеза континуума, то каждое нетощее множество имеет подмножество Лузина . Очевидные свойства множества Лузина заключаются в том, что оно должно быть нетощим (в противном случае само множество является несчетным скудным подмножеством ) и иметь нулевую меру , поскольку каждое множество положительной меры содержит скудное множество, которое также имеет положительную меру и, следовательно, несчетно. Слабо Лузинское множество — это несчетное подмножество вещественного векторного пространства такое, что для любого несчетного подмножества множество направлений между различными элементами подмножества плотно в сфере направлений.

Двойственность меры -категории обеспечивает аналог меры множеств Лузина – множеств положительной внешней меры , каждое несчетное подмножество которых имеет положительную внешнюю меру. Эти множества называются множествами Серпинского , в честь Вацлава Серпинского . Множества Серпинского являются слабо множествами Лузина, но не множествами Лузина.

Пример множества Лузина

Выберите коллекцию из 2 ^{ℵ ₀} скудные подмножества R такие, что каждое скудное подмножество содержится в одном из них. По гипотезе континуума их можно нумеровать как S _α для счетных ординалов α . Для каждого счетного ординала β выберите действительное число x _β , которого нет ни в одном из множеств S _α при α < β , что возможно, поскольку объединение этих множеств скудно, а значит, и не все R . Тогда несчетное множество X всех этих действительных чисел x _β имеет только счетное число элементов в каждом множестве S _α , поэтому является множеством Лузина.

Более сложные варианты этой конструкции дают примеры множеств Лузина, которые являются подгруппами , подполями или вещественно-замкнутыми подполями действительных чисел.

Ссылки

Архангельский, А.В. (1978), "СТРУКТУРА И КЛАССИФИКАЦИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ И КАРДИНАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ" , Математические обзоры , 33 (6): 33–96, doi : 10.1070/RM1978v033n06ABEH003884 Статья о пространствах Лузина
Ефимов Б.А. (2001) [1994], «Пространство Лузина» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Кунен, Кеннет (1977), «Пространства Лузина», Topology Proceedings, Vol. I (Conf., Auburn Univ., Auburn, Алабама, 1976) , стр. 191–199, MR 0450063
Лусин Н. Н. (1914), “Об одной задаче М. Бэра”, Ч. Р. акад. наук. Париж , 158 : 1258–1261.
Окстоби, Джон К. (1980), Мера и категория: обзор аналогий между топологическими пространствами и пространствами меры , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90508-1