Пространство Гуревича

В математике пространство Гуревича — это топологическое пространство , удовлетворяющее определенному базовому принципу выбора , обобщающему σ-компактность . Пространство Гуревича — это пространство, в котором для любой последовательности открытых накрытий ${\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots$ пространства существуют конечные множества ${\mathcal {F}}_{1}\subset {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}\subset {\mathcal {U}}_{2},\ldots$ такая, что каждая точка пространства принадлежит всем множествам, кроме конечного числа. $\bigcup {\mathcal {F}}_{1},\bigcup {\mathcal {F}}_{2},\ldots$ .

История

В 1926 году Витольд Гуревич ввел указанное выше свойство топологических пространств, формально более сильное, чем свойство Менгера . Он не знал, верна ли гипотеза Менгера и является ли его свойство строго сильнее свойства Менгера, но он предположил, что в классе метрических пространств его свойство эквивалентно $\sigma$-компактность.

Гипотеза Гуревича

Гуревич предположил, что в ZFC каждое метрическое пространство Гуревича σ-компактно. Джаст, Миллер, Шиперс и Шептицки доказал, что гипотеза Гуревича ложна, показав, что в ZFC существует набор действительных чисел, который является Менгером, но не σ-компактным. Их доказательство было дихотомическим, и набор, свидетельствующий о несостоятельности гипотезы, во многом зависит от того, верна ли определенная (неразрешимая) аксиома или нет.

Бартошинский и Шела (см. также Цабана , основанное на их работе решение ) дал однородный ZFC-пример подмножества Гуревича действительной прямой, которое не является σ-компактным.

Проблема Гуревича

Гуревич спросил, является ли его собственность в ZFC строго более сильной, чем собственность Менгера. В 2002 году Чабер и Пол в неопубликованной заметке, используя доказательство дихотомии, показали, что существует подмножество реальной линии Гуревича, которое не является подмножеством Менгера. В 2008 году Цабан и Здомский привел единый пример подмножества Гуревича реальной линии, то есть Менгера, но не Гуревича.

Характеристики

Комбинаторная характеристика

Для подмножеств реальной линии свойство Гуревича можно охарактеризовать с помощью непрерывных функций в пространстве Бэра. $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$. Для функций $f,g\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$, писать $f\leq ^{*}g$ если $f(n)\leq g(n)$ для всех натуральных чисел, кроме конечного числа $n$. Подмножество $A$ из $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ ограничен, если существует функция $g\in \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$такой, что $f\leq ^{*}g$ для всех функций $f\in A$. Подмножество $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ неограниченно, если оно не ограничено. Гуревич доказал, что подмножество вещественной прямой является Гуревичем тогда и только тогда, когда каждый непрерывный образ этого пространства в пространство Бэра неограничен. В частности, каждое подмножество действительной линии мощности меньше ограничивающего числа ${\mathfrak {b}}$ является Гуревич.

Топологическая характеристика игры

Позволять $X$ быть топологическим пространством. Игра Гуревича, сыгранная $X$ это игра с двумя игроками Алисой и Бобом.

1-й раунд : Алиса выбирает открытую обложку. ${\mathcal {U}}_{1}$ из $X$. Боб выбирает конечное множество ${\mathcal {F}}_{1}\subset {\mathcal {U}}_{1}$.

2-й раунд : Алиса выбирает открытую обложку. ${\mathcal {U}}_{2}$ из $X$. Боб выбирает конечное множество ${\mathcal {F}}_{2}\subset {\mathcal {U}}_{2}$.

и т. д.

Если каждая точка пространства $X$ принадлежит всем множествам, кроме конечного числа $\bigcup {\mathcal {F}}_{1},\bigcup {\mathcal {F}}_{2},\ldots$ , то Боб выигрывает игру с Гуревичем. В противном случае Алиса выигрывает.

У игрока есть выигрышная стратегия, если он знает, как играть, чтобы выиграть игру (формально выигрышная стратегия — это функция).

Топологическое пространство называется Гуревичем тогда и только тогда, когда у Алисы нет выигрышной стратегии в игре Гуревича, проводимой на этом пространстве.

$G_{\delta }$-характеристика района

Тихоновское пространство. $X$ является Гуревичем тогда и только тогда, когда для любого компакта $C$ содержащий пространство $X$и $G_{\delta }$ подмножество G из $C$ содержащий пространство $X$, есть $\sigma$-компактный набор $Y$ с $X\subset Y\subset G$.

Характеристики

• Всякое компактное и даже σ-компактное пространство является Гуревичем.
• Каждое пространство Гуревича является пространством Менгера и, следовательно, пространством Линделефа.
• Непрерывное изображение пространства Гуревича — Гуревич.
• Собственность Гуревича закрыта под арест $F_{\sigma }$ подмножества
• Свойство Гуревича характеризует фильтры, в которых понятие форсирования Матиаса не добавляет неограниченных функций.