Карта покрытия последовательности

В математике , особенно в топологии , карта, покрывающая последовательность , — это любой класс отображений между топологическими пространствами , все определения которых каким-то образом связывают последовательности в кодомене с последовательностями в области . Примеры включают последовательно- факторные отображения, покрытия последовательностей , покрытия из 1-последовательности и покрытия из 2-последовательностей . Эти классы карт тесно связаны с секвенциальными пространствами . Если область и/или кодомен обладают определенными дополнительными топологическими свойствами (часто пространств, являющихся хаусдорфовыми и первыми счетными , более чем достаточно), то эти определения становятся эквивалентными другим хорошо известным классам отображений, таким как открытые карты или фактор-карты . например. В таких ситуациях характеристики таких свойств в терминах сходящихся последовательностей могут дать преимущества, аналогичные тем, которые дают, скажем, характеристика непрерывности в терминах секвенциальной непрерывности или характеристика компактности в терминах секвенциальной компактности (всякий раз, когда такие характеристики верны). ).

Определения

Предварительные сведения

Основные статьи: Секвенциальное пространство и пространство Фреше – Урысона.

Подмножество $S$ из $(X,\tau )$ называется последовательно открытым в $(X,\tau )$ если всякий раз, когда последовательность в $X$ сходится (в $(X,\tau )$) в некоторую точку, принадлежащую $S,$ тогда эта последовательность обязательно в конечном итоге окажется в $S$ (т.е. не более конечного числа точек последовательности не принадлежат $S$). Набор $\operatorname {SeqOpen} (X,\tau )$ всех последовательно открытых подмножеств $(X,\tau )$ образует топологию на $X$ это лучше, чем $X$задана топология $\tau .$ По определению, $(X,\tau )$ называется секвенциальным пространством, если $\tau =\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ).$ Учитывая последовательность $x_{\bullet }$ в $X$ и точка $x\in X,$ $x_{\bullet }\to x$ в $(X,\tau )$ тогда и только тогда, когда $x_{\bullet }\to x$ в $(X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau )).$ Более того, $\operatorname {SeqOpen} (X,\tau )$ это лучшая топология на $X$ для которой эта характеристика сходимости последовательностей в $(X,\tau )$ держит.

Карта $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ называется секвенциально непрерывным, если $f:(X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ))\to (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))$ является непрерывным , что происходит тогда и только тогда, когда для каждой последовательности $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $X$ и каждый $x\in X,$ если $x_{\bullet }\to x$ в $(X,\tau )$ тогда обязательно $f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)$ в $(Y,\sigma ).$ Любое непрерывное отображение является секвенциально непрерывным, хотя, вообще говоря, обратное может оказаться неверным. На самом деле, пространство $(X,\tau )$ является секвенциальным пространством тогда и только тогда, когда оно обладает следующим универсальным свойством для секвенциальных пространств :

для каждого топологического пространства $(Y,\sigma )$ и каждая карта $f:X\to Y,$ карта $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ непрерывно тогда и только тогда, когда оно секвенциально непрерывно.

Последовательное закрытие в $(X,\tau )$ из подмножества $S\subseteq X$ это набор $\operatorname {scl} _{(X,\tau )}S$ состоящий из всех $x\in X$ для которого существует последовательность в $S$ который сходится к $x$ в $(X,\tau ).$ Подмножество $S\subseteq X$ называется последовательно замкнутым в $(X,\tau )$ если $S=\operatorname {scl} _{(X,\tau )}S,$ что происходит тогда и только тогда, когда всякий раз, когда последовательность в $S$ сходится в $(X,\tau )$ в какой-то момент $x\in X$ тогда обязательно $x\in S.$ Пространство $(X,\tau )$ называется пространством Фреше–Урысона, если $\operatorname {scl} _{X}S~=~\operatorname {cl} _{X}S$ для каждого подмножества $S\subseteq X,$ что происходит тогда и только тогда, когда каждое подпространство $(X,\tau )$ представляет собой последовательное пространство. Каждое первое счетное пространство является пространством Фреше – Урысона и, следовательно, также секвенциальным пространством. Все псевдометризуемые пространства , метризуемые пространства и пространства со второй счетностью являются счетными в первую очередь.

Покрытия последовательностей

Последовательность ​ $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в наборе $X$ по определению является функцией $x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X$ чья стоимость в $i\in \mathbb {N}$ обозначается $x_{i}$ (хотя обычное обозначение, используемое с функциями, например круглые скобки $x_{\bullet }(i)$ или композиция $f\circ x_{\bullet },$ может использоваться в определенных ситуациях для улучшения читаемости). Такие утверждения, как «последовательность $x_{\bullet }$ является инъективным » или « изображение (т.е. диапазон) $\operatorname {Im} x_{\bullet }$ последовательности $x_{\bullet }$ бесконечно», а также другая терминология и обозначения, определенные для функций, таким образом, могут быть применены к последовательностям. Последовательность $s_{\bullet }$ называется подпоследовательностью другой последовательности $x_{\bullet }$ если существует строго возрастающее отображение $l_{\bullet }:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ (возможно, обозначается $l_{\bullet }=\left(l_{k}\right)_{k=1}^{\infty }$ вместо этого) такой, что $s_{k}=x_{l_{k}}$ для каждого $k\in \mathbb {N} ,$ где это условие можно выразить через композицию функций $\circ$ как: $s_{\bullet }=x_{\bullet }\circ l_{\bullet }.$ Как обычно, если $x_{l_{\bullet }}=\left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }$ объявляется (например, по определению) подпоследовательностью $x_{\bullet }$ то следует сразу предположить, что $l_{\bullet }:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ строго возрастает. Обозначения $x_{\bullet }\subseteq S$ и $\operatorname {Im} x_{\bullet }\subseteq S$ означает, что последовательность $x_{\bullet }$ ценится в комплекте $S.$

Функция $f:X\to Y$ называется покрытие последовательности if для каждой сходящейся последовательности $y_{\bullet }$ в $Y,$ существует последовательность $x_{\bullet }\subseteq X$ такой, что $y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }.$ Это называется 1-последовательность покрытия, если для каждого $y\in Y$ существует какой-то $x\in f^{-1}(y)$ такая, что каждая последовательность $y_{\bullet }\subseteq Y$ который сходится к $y$ в $(Y,\sigma ),$ существует последовательность $x_{\bullet }\subseteq X$ такой, что $y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }$ и $x_{\bullet }$ сходится к $x$ в $(X,\tau ).$ Это 2-последовательное покрытие, если $f:X\to Y$ сюръективен и также для каждого $y\in Y$ и каждый $x\in f^{-1}(y),$ каждая последовательность $y_{\bullet }\subseteq Y$ и сходится к $y$ в $(Y,\sigma ),$ существует последовательность $x_{\bullet }\subseteq X$ такой, что $y_{\bullet }=f\circ x_{\bullet }$ и $x_{\bullet }$ сходится к $x$ в $(X,\tau ).$ Карта $f:X\to Y$ является компактным накрытием, если для любого компакта $K\subseteq Y$ существует некоторое компактное подмножество $C\subseteq X$ такой, что $f(C)=K.$

Последовательные факторные отображения

По аналогии с определением секвенциальной непрерывности отображение $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ называется последовательно факторизовать отображение, если

$f:(X,\operatorname {SeqOpen} (X,\tau ))\to (Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))$

представляет собой факторкарту , что происходит тогда и только тогда, когда для любого подмножества $S\subseteq Y,$ $S$ последовательно открыт $(Y,\sigma )$ тогда и только тогда, когда это верно для $f^{-1}(S)$ в $(X,\tau ).$ Последовательные фактор-карты были введены Буном и Сивецом в 1976 году, которые определили их, как указано выше.

Каждое секвенциально фактор-отображение обязательно сюръективно и секвенциально непрерывно, хотя оно может и не быть непрерывным. Если $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ является секвенциально-непрерывной сюръекцией, область определения которой $(X,\tau )$ является секвенциальным пространством , то $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ является фактор-отображением тогда и только тогда, когда $(Y,\sigma )$ является секвенциальным пространством и $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ является последовательно-факторным отображением.

Позвонить в пространство $(Y,\sigma )$ последовательно по Хаусдорфу, если $(Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))$ является хаусдорфовым пространством . Аналогичным образом «последовательная версия» любой другой аксиомы разделения может быть определена с точки зрения того, является ли пространство $(Y,\operatorname {SeqOpen} (Y,\sigma ))$ обладать им. Каждое хаусдорфово пространство обязательно секвенциально хаусдорфово. Секвенциальное пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно секвенциально хаусдорфово.

Если $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ является секвенциально-непрерывной сюръекцией, тогда если предположить, что $(Y,\sigma )$ является последовательно Хаусдорфовым, следующие утверждения эквивалентны:

1. $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ является последовательным фактором.
2. В любое время $y_{\bullet }\to y$ является сходящейся последовательностью в $Y$ тогда существует сходящаяся последовательность $x_{\bullet }\to x$ в $X$ такой, что $f(x)=y$ и $f\circ x_{\bullet }$ является подпоследовательностью $y_{\bullet }.$
3. В любое время $y_{\bullet }$ является сходящейся последовательностью в $Y$ тогда существует сходящаяся последовательность $x_{\bullet }$ в $X$ такой, что $f\circ x_{\bullet }$ является подпоследовательностью $y_{\bullet }.$
   • Это утверждение отличается от приведенного выше (2) только тем, что к пределам последовательностей не предъявляются требования (что становится важным отличием только тогда, когда $Y$ не является последовательно Хаусдорфом).
   • Если $f:X\to Y$ является непрерывной сюръекцией на секвенциально компактное пространство $Y$ то это условие выполняется, даже если $Y$ не является последовательно Хаусдорфовым.

Если предположение о том, что $Y$ является последовательно Хаусдорфовым, то утверждение (2) по-прежнему будет подразумевать два других утверждения, но приведенная выше характеристика больше не будет гарантированно верной (однако, если точки в кодомене должны быть последовательно замкнуты, тогда любое последовательно факторизованное отображение обязательно удовлетворяло бы условию (3)). Это остается верным, даже если требование последовательной непрерывности на $f:X\to Y$ был усилен, чтобы требовать (обычной) преемственности. Вместо использования исходного определения некоторые авторы определяют «последовательное фактор-отображение» как означающее непрерывную сюръекцию, которая удовлетворяет условию (2) или, альтернативно, условию (3). Если кодомен является секвенциально Хаусдорфовым, то эти определения отличаются от оригинала только дополнительным требованием непрерывности (а не просто требованием последовательной непрерывности).

Карта $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ называется пресеквенциален , если для каждой сходящейся последовательности $y_{\bullet }\to y$ в $(Y,\sigma )$ такой, что $y_{\bullet }$ в конечном итоге не равен $y,$ набор $\bigcup _{\stackrel {i\in \mathbb {N} ,}{y_{i}\neq y}}f^{-1}\left(y_{i}\right)$ закрывается не последовательно $(X,\tau ),$ где этот набор также можно описать как:

$\bigcup _{\stackrel {i\in \mathbb {N} ,}{y_{i}\neq y}}f^{-1}\left(y_{i}\right)~=~f^{-1}\left(\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)\setminus \{y\}\right)~=~f^{-1}\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)\setminus f^{-1}(y)$

Эквивалентно, $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ является пресеквенциальным тогда и только тогда, когда для каждой сходящейся последовательности $y_{\bullet }\to y$ в $(Y,\sigma )$ такой, что $y_{\bullet }\subseteq Y\setminus \{y\},$ набор $f^{-1}\left(\operatorname {Im} y_{\bullet }\right)$ закрывается не последовательно $(X,\tau ).$

Сюръективная карта $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ между хаусдорфовыми пространствами является секвенциально факторизованным тогда и только тогда, когда оно секвенциально непрерывно и является пресеквенциальным отображением.

Характеристики

Если $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ является непрерывной сюръекцией между двумя первыми счетными хаусдорфовыми пространствами, то верны следующие утверждения:

• $f$ почти открыто тогда и только тогда, когда оно является покрытием из 1 последовательности.
  • — Почти открытая карта сюръективная карта. $f:X\to Y$ с тем свойством, что для каждого $y\in Y,$ существует какой-то $x\in f^{-1}(y)$ такой, что $x$ является точкой открытости для $f,$ что по определению означает, что для каждой открытой окрестности $U$ из $x,$ $f(U)$ это район $f(x)$ в $Y.$
• $f$ является открытым отображением тогда и только тогда, когда оно является 2-последовательным накрытием.
• Если $f$ является компактным накрывающим отображением, тогда $f$ является факторкартой.
• Следующие действия эквивалентны:
  1. $f$ является факторкартой.
  2. $f$ является последовательно-факторным отображением.
  3. $f$ является покрытием последовательности.
  4. $f$ является псевдооткрытой картой.
     • Карта $f:X\to Y$ называется псевдооткрытым, если для любого $y\in Y$ и каждый открытый район $U$ из $f^{-1}(y)$ (имеется в виду открытое подмножество $U$ такой, что $f^{-1}(y)\subseteq U$), $y$ обязательно принадлежит интерьеру ( взятому в $Y$) из $f(U).$

  а если вдобавок оба $X$ и $Y$ являются сепарабельными метрическими пространствами , то к этому списку можно добавить:

  5. $f$ является наследственно факторкартой .

Характеристики

Следующее является достаточным условием для того, чтобы непрерывная сюръекция была секвенциально открытой, что при дополнительных предположениях приводит к характеризации открытых отображений . Предположим, что $f:X\to Y$ является непрерывной сюръекцией из регулярного пространства $X$ на хаусдорфово пространство $Y.$ Если ограничение $f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)$ является последовательно факторизованным для каждого открытого подмножества $U$ из $X$ затем $f:X\to Y$ карты открывают подмножества $X$ открывать последовательно подмножества $Y.$ Следовательно, если $X$ и $Y$ также являются секвенциальными пространствами , то $f:X\to Y$ является открытой картой тогда и только тогда, когда $f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)$ последовательно факторизуется (или, что то же самое, факторизуется ) для каждого открытого подмножества $U$ из $X.$

Учитывая элемент $y\in Y$ в кодомене непрерывной функции (не обязательно сюръективной) $f:X\to Y,$ следующее дает достаточное условие для $y$ принадлежать $f$изображение: $y\in \operatorname {Im} f:=f(X).$ Семья ​ ${\mathcal {B}}$ подмножеств топологического пространства $(X,\tau )$ называется локально конечным в точке $x\in X$ если существует какая-то открытая окрестность $U$ из $x$ такой, что набор $\left\{B\in {\mathcal {B}}~:~U\cap B\neq \varnothing \right\}$ конечно. Предположим, что $f:X\to Y$ является непрерывным отображением между двумя Хаусдорфу пространствами, счетными по , и пусть $y\in Y.$ Если существует последовательность $y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $Y$ такой, что (1) $y_{\bullet }\to y$ и (2) существует некоторый $x\in X$ такой, что $\left\{f^{-1}\left(y_{i}\right)~:~i\in \mathbb {N} \right\}$ является не локально конечным при $x,$ затем $y\in \operatorname {Im} f=f(X).$ Обратное верно, если нет точки, в которой $f$ постоянна локально ; то есть, если не существует непустого открытого подмножества $X$ на котором $f$ ограничивается постоянным отображением.

Достаточные условия

Предполагать $f:X\to Y$ есть непрерывная открытая сюръекция из первосчетного пространства $X$ на хаусдорфово пространство $Y,$ позволять $D\subseteq Y$ — любое непустое подмножество, и пусть $y\in \operatorname {cl} _{Y}D$ где $\operatorname {cl} _{Y}D$ означает закрытие $D$ в $Y.$ Тогда учитывая любой $x,z\in f^{-1}(y)$ и любая последовательность $x_{\bullet }$ в $f^{-1}(D)$ который сходится к $x,$ существует последовательность $z_{\bullet }$ в $f^{-1}(D)$ который сходится к $z$ а также подпоследовательность $\left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }$ из $x_{\bullet }$ такой, что $f(z_{k})=f\left(x_{l_{k}}\right)$ для всех $k\in \mathbb {N} .$ Короче говоря, это означает, что при наличии сходящейся последовательности $x_{\bullet }\subseteq f^{-1}(D)$ такой, что $x_{\bullet }\to x$ тогда для любого другого $z\in f^{-1}(f(x))$ принадлежащие тому же волокну, что и $x,$ всегда можно найти подпоследовательность $x_{l_{\bullet }}=\left(x_{l_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }$ такой, что $f\circ x_{l_{\bullet }}=\left(f\left(x_{l_{k}}\right)\right)_{k=1}^{\infty }$ можно «поднять» $f$ к последовательности, которая сходится к $z.$

Следующее показывает, что при определенных условиях слоя отображения, являющегося счетным множеством, достаточно, чтобы гарантировать существование точки открытости . Если $f:X\to Y$ является последовательностью, накрывающей хаусдорфово секвенциальное пространство. $X$ на хаусдорфово первое счетное пространство $Y$ и если $y\in Y$ такова, что волокно $f^{-1}(y)$ является счетным множеством, то существует некоторое $x\in f^{-1}(y)$ такой, что $x$ является точкой открытости для $f:X\to Y.$ Следовательно, если $f:X\to Y$ является фактор-отображением между двумя хаусдорфовыми пространствами, счетными в первой счетности , и если каждый слой $f$ счетно, то $f:X\to Y$ является почти открытым отображением и, следовательно, также 1-последовательным накрытием.

См. также

• Пространство Фреше – Урысона - Свойство топологического пространства.
• Открытая карта — функция, которая отправляет открытые (соответственно закрытые) подмножества в открытые (соответственно закрытые) подмножества. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Совершенное отображение - непрерывное замкнутое сюръективное отображение, каждый слой которого также является компактным множеством.
• Правильное отображение - отображение топологических пространств со свойством, что прообраз каждого компакта компактен.
• Секвенциальное пространство - Топологическое пространство, характеризующееся последовательностями.
• Секвенциально компактное пространство - топологическое пространство, в котором каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.

Ссылки

• Архангельский А.В. (1966). «Отображения и пространства» (PDF) . Российские математические обзоры . 21 (4): 115–162. Бибкод : 1966РуМаС..21..115А . дои : 10.1070/RM1966v021n04ABEH004169 . ISSN   0036-0279 . Проверено 10 февраля 2021 г.
• Акиз, Хюрмет Фуля; Кочак, Локман (2019). «Секвенциально хаусдорфовы и полные секвенциально хаусдорфовы пространства» . Факультет коммуникаций Университета Анкары Серия A1Математика и статистика . 68 (2): 1724–1732. doi : 10.31801/cfsuasmas.424418 . ISSN   1303-5991 . Проверено 10 февраля 2021 г.
• Бун, Джеймс (1973). «Заметка о мезокомпактных и последовательно мезокомпактных пространствах» . Тихоокеанский математический журнал . 44 (1): 69–74. дои : 10.2140/pjm.1973.44.69 . ISSN   0030-8730 .
• Бун, Джеймс Р.; Сивец, Франк (1976). «Последовательные факторотображения» . Чехословацкий математический журнал . 26 (2): 174–182. дои : 10.21136/CMJ.1976.101388 . ISSN   0011-4642 .
• Чакаллы, Хусейн (2012). «Последовательные определения связности» . Письма по прикладной математике . 25 (3): 461–465. arXiv : 1105.2203 . дои : 10.1016/j.aml.2011.09.036 . ISSN   0893-9659 .
• Фогед, Л. (1985). «Характеристика замкнутых образов метрических пространств» . Труды Американского математического общества . 95 (3): 487. doi : 10.1090/S0002-9939-1985-0806093-3 . ISSN   0002-9939 .
• Франклин, С. (1965). «Пространства, в которых достаточно последовательностей» . Фундамента Математика . 57 (1): 107–115. дои : 10.4064/fm-57-1-107-115 . ISSN   0016-2736 .
• Грюнхейдж, Гэри; Майкл, Эрнест; Танака, Ёсио (1984). «Пространства, определяемые счетными накрытиями» . Тихоокеанский математический журнал . 113 (2): 303–332. дои : 10.2140/pjm.1984.113.303 . ISSN   0030-8730 .
• Линь, Шу; Ян, Пэнфэй (2001). «Отображения последовательностей метрических пространств». Топология и ее приложения . 109 (3): 301–314. дои : 10.1016/S0166-8641(99)00163-7 . ISSN   0166-8641 .
• Майкл, Э.А. (1972). «Квест на пятерное частное». Общая топология и ее приложения . 2 (2): 91–138. дои : 10.1016/0016-660X(72)90040-2 . ISSN   0016-660X .
• Олсон, Рой К. (1974). «Бичастные отображения, счетно-бисеквенциальные пространства и смежные темы». Общая топология и ее приложения . 4 (1): 1–28. дои : 10.1016/0016-660X(74)90002-6 . ISSN   0016-660X .
• Шоу, Лин; Чуан, Лю; Мумин, Дай (1997). «Образы на локально сепарабельных метрических пространствах». Акта Математика Синика . 13 (1): 1–8. дои : 10.1007/BF02560519 . ISSN   1439-8516 . S2CID   122383748 .
• Сивец, Франк (1971). «Покрывающие последовательность и счетно-бифакторные отображения». Общая топология и ее приложения . 1 (2): 143–154. дои : 10.1016/0016-660X(71)90120-6 . ISSN   0016-660X .
• Сивец, Фрэнк; Манкузо, Винсент Дж. (1971). «Отношения между некоторыми отображениями и условия их эквивалентности». Общая топология и ее приложения . 1 (1): 33–41. дои : 10.1016/0016-660X(71)90108-5 . ISSN   0016-660X .