Разностные полиномы

В математике , в области комплексного анализа , полиномы общей разности представляют собой полиномиальную последовательность , определенный подкласс полиномов Шеффера , к которым относятся полиномы Ньютона , полиномы Сельберга и интерполяционные полиномы Стирлинга как частные случаи.

Определение

Общая разностная полиномиальная последовательность определяется выражением

p_{n}(z)={\frac {z}{n}}{{z-\beta n-1} \choose {n-1}}

где ${z \choose n}$ – биномиальный коэффициент . Для $\beta =0$ , сгенерированные полиномы $p_{n}(z)$ полиномы Ньютона

p_{n}(z)={z \choose n}={\frac {z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}}.

Случай $\beta =1$ порождает полиномы Сельберга, а случай $\beta =-1/2$ генерирует интерполяционные полиномы Стирлинга.

Перемещение различий

Учитывая аналитическую функцию $f(z)$ определим движущуюся разность f как ,

{\mathcal {L}}_{n}(f)=\Delta ^{n}f(\beta n)

где $\Delta$ — оператор прямой разности . Тогда, при условии, что f подчиняется определенным условиям суммируемости, ее можно представить через эти полиномы как

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z){\mathcal {L}}_{n}(f).

Условия суммируемости (т. е. сходимости) этой последовательности — довольно сложная тема; вообще можно сказать, что необходимым условием является то, чтобы аналитическая функция имела тип, меньший, чем экспоненциальный . Условия суммирования подробно обсуждаются в работе Боаса и Бака.

Генерирующая функция

для Производящая функция полиномов общей разности определяется выражением

e^{zt}=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)\left[\left(e^{t}-1\right)e^{\beta t}\right]^{n}.

Эту производящую функцию можно привести к виду обобщенного представления Аппеля

K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}

установив $A(w)=1$ , $\Psi (x)=e^{x}$ , $g(w)=t$ и $w=(e^{t}-1)e^{\beta t}$ .

См. также

Ссылки

Ральф П. Боас-младший и Р. Крейтон Бак , Полиномиальные разложения аналитических функций (исправленное во втором издании) , (1964) Academic Press Inc., Издательство Нью-Йорк, Springer-Verlag, Берлин. Номер карточки Библиотеки Конгресса 63-23263.