Разностная схема против ветра для конвекции

Схема дифференцирования против ветра — это метод, используемый в численных методах вычислительной гидродинамики для решения задач конвекции - диффузии . Эта схема специфична для числа Пекле больше 2 или меньше -2.

Описание

Принимая во внимание направление потока , противоветренная разностная схема преодолевает эту неспособность центральной разностной схемы . Эта схема разработана для сильных конвективных течений с подавлением диффузионных эффектов. Также известная как Дифференциальная схема «донорских ячеек», конвектируемая стоимость имущества $\phi$ на поверхности ячейки принимается от восходящего узла.

Его можно описать устойчивым частичным дифференциальным уравнением конвекции-диффузии: $${\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \phi )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \phi )\,=\nabla \cdot (\Gamma \nabla \phi )+S_{\phi }$$

Уравнение непрерывности : $\left(\rho uA\right)_{e}-\left(\rho uA\right)_{w}=0\,$

где $\rho$ плотность, $\Gamma$ - коэффициент диффузии, $\mathbf {u}$ вектор скорости, $\phi$ это свойство, которое необходимо вычислить, $S_{\phi }$ является исходным термином, а индексы $e$ и $w$ обратитесь к «восточной» и «западной» граням ячейки (см. рис. 1 ниже).

После дискретизации , применения уравнения непрерывности и принятия исходного члена равным нулю, мы получаем

Дискретизированное уравнение центральной разности

$$F_{e}\phi _{e}-F_{w}\phi _{w}\,=D_{e}(\phi _{E}-\phi _{P})-D_{w}(\phi _{P}-\phi _{W})$$ ( 1 )

$$F_{e}-F_{w}\,=0$$ ( 2 )

Нижний регистр обозначает грань, верхний регистр обозначает узел; $E$, $W$, и $P$ относятся к ячейке «Восток», «Запад» и «Центральная».(опять же см. рис. 1 ниже).

Определение переменной F как конвекционного массового потока и переменной D как диффузионной проводимости. $$F\,=\rho uA$$ и $$D\,={\frac {\Gamma A}{\delta x}}$$

Число Пекле (Pe) - это безразмерный параметр, определяющий сравнительную силу конвекции и диффузии.

Число Пекле: $$Pe\,={\frac {F}{D}}\,={\frac {\rho u}{\Gamma /\delta x}}$$

При меньшем значении числа Пекле (|Pe| < 2) диффузия является доминирующей и для этого используется центрально-разностная схема. При других значениях числа Пекле схема против ветра используется для течений с преобладанием конвекции с числом Пекле (|Pe| > 2).

Для положительного направления потока

$${\begin{aligned}u_{w}>0\\u_{e}>0\end{aligned}}$$Соответствующее уравнение схемы против ветра:

$$F_{e}\phi _{P}-F_{w}\phi _{W}\,=D_{e}(\phi _{E}-\phi _{P})-D_{w}(\phi _{P}-\phi _{W})$$ ( 3 )

Рис. 1: Схема против ветра для положительного направления потока.

Из-за сильной конвекции и подавленной диффузии $${\begin{aligned}\phi _{e}\,=\phi _{P}\\\phi _{w}\,=\phi _{W}\end{aligned}}$$

Перестановка уравнения (3) дает $$[(D_{w}+F_{w})+D_{e}+(F_{e}-F_{w})]\phi _{P}\,=(D_{w}+F_{w})\phi _{W}+D_{e}\phi _{E})$$

Идентифицирующие коэффициенты, $${\begin{aligned}a_{P}&=[(D_{w}+F_{w})+D_{e}+(F_{e}-F_{w})]\\a_{W}&=(D_{w}+F_{w})\\a_{E}&=D_{e}\end{aligned}}$$

Для отрицательного направления потока $${\begin{aligned}u_{w}<0\\u_{e}<0\end{aligned}}$$

Соответствующее уравнение схемы против ветра:

$$F_{e}\phi _{E}-F_{w}\phi _{P}\,=D_{e}(\phi _{E}-\phi _{P})-D_{w}(\phi _{P}-\phi _{W})$$ ( 4 )

Рис. 2. Схема против ветра для отрицательного направления потока.

$${\begin{aligned}\phi _{w}=\phi _{P}\\\phi _{e}=\phi _{E}\end{aligned}}$$

Перестановка уравнения (4) дает $$[(D_{e}-F_{e})+D_{w}+(F_{e}-F_{w})]\phi _{P}=D_{w}\phi _{W}+(D_{e}-F_{e})\phi _{E}$$

Идентифицирующие коэффициенты, $${\begin{aligned}a_{W}&=D_{w}\\a_{E}&=D_{e}-F_{e}\end{aligned}}$$

Мы можем обобщить коэффициенты как $${\begin{aligned}a_{W}&=D_{w}+\max(F_{w},0)\\a_{E}&=D_{e}+\max(0,-F_{e})\end{aligned}}$$

Рис. 3: Разница с наветренной стороны и разница в центре

Использовать

Решение в схеме центральной разности не сходится для числа Пекле больше 2, что можно преодолеть, используя схему против ветра, чтобы получить разумный результат. Следовательно, разностная схема против ветра применима для Pe > 2 для положительного потока и Pe < −2 для отрицательного потока. Для других значений Pe эта схема не дает эффективного решения.

Оценка

Консервативность

Формулировка разностной схемы против ветра консервативна.

Ограниченность

Поскольку коэффициенты дискретизированного уравнения всегда положительны, что удовлетворяет требованиям ограниченности, а также матрица коэффициентов является диагонально доминирующей, поэтому в решении не возникает никаких нарушений.

Рис. 4. Изменение точности и ложного отклонения в зависимости от размера сетки.

Транспортабельность

Транспортабельность заложена в формулировку, поскольку схема уже учитывает направление потока.

Точность

На основе формулы обратного дифференцирования точность имеет только первый порядок на основе ошибки усечения ряда Тейлора . Это выдает ошибку, когда поток не совпадает с линиями сетки. Распределение переносимых свойств становится заметным, придавая диффузионный вид, называемый ложной диффузией . Уточнение сетки помогает преодолеть проблему ложной диффузии. С уменьшением размера сетки ложная диффузия уменьшается, что повышает точность.

См. также

• Центральная разностная схема
• Конечная разница
• Схема против ветра