Ложная диффузия

Ложная диффузия — это тип ошибки, наблюдаемой, когда схема против ветра используется для аппроксимации члена конвекции в уравнениях конвекции-диффузии . более точную центрально-разностную схему можно использовать Для члена конвекции , но для сеток с числом Пекле ячейки более 2 центрально-разностная схема неустойчива и часто используется более простая схема против ветра. Возникающая в результате ошибка разностной схемы против ветра имеет вид диффузии в двух- или трехмерных системах координат и называется «ложной диффузией». Ошибки ложной диффузии при численном решении задач конвекции-диффузии в двух- и трехмерном измерениях возникают из-за численных аппроксимаций члена конвекции в уравнениях сохранения. За последние 20 лет было разработано множество численных методов для решения уравнений конвекции-диффузии, и ни один из них не является беспроблемным, но ложная диффузия является одной из наиболее серьезных проблем и основной темой споров и путаницы среди численных аналитиков. .

Определение

Ложная диффузия определяется как ошибка, имеющая вид диффузии, полученная, когда схема против ветра используется в многомерных случаях для определения распределения переносимых свойств, неортогональных к одной или нескольким главным осям системы. Ошибка отсутствует, когда поток ортогонален или параллелен каждой главной оси.

Пример

На рисунке 1 везде u = 2 и v = 2 м/с, поэтому поле скорости однородно и перпендикулярно диагонали ( XX). Граничные условия для температуры на северной и западной стенке составляют 100 ̊C, а на восточной и южной стенке – 0 ̊C. Эта область разбита на равные сетки 10×10. Возьмем два случая: (i) с коэффициентом диффузии ≠ 0 и случай (ii) с коэффициентом диффузии = 0.

Случай (i)

Рис. 2: Западная стена имеет температуру 100°C, а южная стена – 0°C. Тепло распространяется по диагонали XX

В этом случае тепло от западной и южной стенок переносится конвекционным потоком к северной и восточной стенам. Тепло также распространяется по диагонали XX от верхнего треугольника к нижнему. На рис. 2 показано примерное распределение температуры.

Случай (ii)

В этом случае тепло от западной и южной стен переносится потоком на север и восток. По диагонали XX диффузии не будет, но при применении схемы против ветра результаты аналогичны случаю (i), когда происходит фактическая диффузия. Эта ошибка известна как ложная диффузия.

Фон

В ранних подходах производные в дифференциальной форме основного уравнения переноса заменялись аппроксимациями с использованием конечных разностей, обычно аппроксимациями с центральным разнесением со вторым порядком точности. Однако для больших чисел Пекле (обычно > 2) это приближение дало неточные результаты. Это было признано независимо несколькими исследователями. ^[1]^[2] что можно использовать менее дорогую схему против ветра , но только первого порядка точности , но эта схема дает результаты с ложной диффузией для многомерных случаев. Было разработано множество новых схем для противодействия ложному распространению, но надежная, точная и экономичная схема дискретизации все еще недоступна.

Уменьшение ошибок

Более мелкая сетка

Ложная диффузия при схеме против ветра снижается за счет увеличения плотности сетки. По результатам рисунков 3 и 4 ошибка ложной диффузии является самой низкой на рисунке 4 (b) с более мелким размером сетки.

Другие схемы

Ошибку ложной диффузии также можно уменьшить, используя такие схемы, как степенная схема , схема QUICK , экспоненциальная схема , SUCCA и другие. ^[3]^[4]

Усовершенствование схемы против наветренной стороны

Ложная диффузия в простой схеме против ветра происходит потому, что схема не учитывает наклон направления сетки/потока. Приблизительное выражение для члена ложной диффузии в двух измерениях было дано де Валом Дэвисом и Мэллинсоном (1972). ^[5]

{\tau _{fc}^{\star }={\frac {\rho \ U\,\Delta x\,\Delta y\sin 2\theta }{4(\Delta y\sin ^{3}\theta +\Delta x\cos ^{3}\theta )}}}

( 1 )

где U — результирующая скорость, а θ — угол, образуемый вектором скорости с направлением x . Ложная диффузия отсутствует, когда результирующий поток совпадает с любым из наборов линий сетки, и максимальна, когда направление потока составляет 45° к линиям сетки.

Определение точности аппроксимации конвекционного члена

Используя ряд Тейлора для $\phi _{W}$ и $\phi _{P}$ в момент времени t + kt равны

\phi _{Wk}=\phi _{wk}-\left({\frac {\delta x_{i}}{2}}\right)\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{wk}+{\frac {1}{2!}}\left({\frac {\delta x_{i}}{2}}\right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}\right)_{wk}+\cdots .

( 2а )

\phi _{Pk}=\phi _{wk}-\left({\frac {\delta x_{i}}{2}}\right)\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{wk}+{\frac {1}{2!}}\left({\frac {\delta x_{i}}{2}}\right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}\right)_{wk}+\cdots .

( 2б )

согласно приближению против ветра для конвекции (UAC), ${\phi _{wk}=\phi _{Wk}}$ . Если пренебречь высшим порядком в уравнении (2a), ошибка конвекционного потока из-за этого приближения составит ${-\rho _{w}u_{w}\delta y_{i}\left({\frac {\delta x_{i}}{2}}\right)\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{wk}}$ . Он имеет форму потока ${\phi }$ путем ложной диффузии с коэффициентом диффузии ^[6]

\tau _{fc,UAC}^{\star }={\rho _{w}u_{w}\left({\frac {\Delta x_{i}}{2}}\right)}

( 3 )

Индекс fc напоминает, что это ложная диффузия, возникающая из оценки конвекционного потока в момент $t+k\,\Delta t$ с помощью UAC.

Алгоритм наклона угловой конвекции против ветра ( SUCCA )

SUCCA учитывает локальное направление потока, вводя влияние угловых ячеек с наветренной стороны в дискретизированное уравнение сохранения в общем определяющем уравнении переноса. На рисунке 5 SUCCA применяется в кластере сетки из девяти ячеек. Учитывая приток из угла юго-запада для ячейки P, уравнения SUCCA для конвективного переноса консервативных видов ${\phi }$ являются

C_{P}\phi _{P}=\left({\dot {m}}_{w}-{\frac {({\dot {m}}_{s})^{2}}{{\dot {m}}_{w}}}\right)\phi _{W}+\left({\dot {m}}_{s}+{\frac {({\dot {m}}_{s})^{2}}{{\dot {m}}_{w}}}\right)\phi _{SW}+0.\phi _{S}{\text{ for }}0<\theta \leq 45

( 4 )

то есть,

C_{P}\phi _{P}=C_{w}\phi _{W}+C_{s}w\phi _{SW}

( 5 )

C_{P}\phi _{P}=\left({\dot {m}}_{s}-{\frac {({\dot {m}}_{w})^{2}}{{\dot {m}}_{s}}}\right)\phi _{W}+{\left({\dot {m}}_{w}+{\frac {({\dot {m}}_{w})^{2}}{{\dot {m}}_{s}}}\right)\phi _{SW}}+0.\phi _{W}{\text{ for }}45<\theta <90

( 6 )

то есть,

C_{P}\phi _{P}=C_{s}\phi _{S}+C_{s}w\phi _{SW}

( 7 )

Эта формулировка удовлетворяет всем критериям сходимости и устойчивости. ^[7]

На рис. 6, по мере уточнения сетки, схема против ветра дает более точные результаты, но SUCCA предлагает почти точное решение и более полезно для предотвращения многомерных ошибок ложной диффузии.

См. также

Ссылки

^ Курант, Ричард ; Исааксон, Юджин ; Рис, Мина (август 1952 г.). «О решении нелинейных гиперболических дифференциальных уравнений конечными разностями» . Сообщения по чистой и прикладной математике . 5 (3): 243–255. дои : 10.1002/cpa.3160050303 .
^ Торранс, Кеннет Э. (1968). «Сравнение конечно-разностных вычислений естественной конвекции» . Журнал исследований Национального бюро стандартов: математика и математическая физика . 72Б : 281–301.
^ Верстег, Гонконг; Маласекера, В. (2007). Введение в вычислительную гидродинамику: метод конечного объема (2-е изд.). Харлоу: Прентис Холл. ISBN 9780131274983 .
^ Патанкар, Сухас В. (1980). Численный теплообмен и течение жидкости (14. печат. изд.). Бристоль, Пенсильвания: Тейлор и Фрэнсис. ISBN 9780891165224 .
^ Патанкар, Сухас В. (1980). Численная теплопередача и поток жидкости, страница №: 108 (14-е печатное изд.). Бристоль, Пенсильвания: Тейлор и Фрэнсис. ISBN 9780891165224 .
^ Рэйтби, Джорджия (1 сентября 1976 г.). «Критическая оценка различий в восходящем потоке применительно к проблемам, связанным с потоком жидкости» . Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 9 (1): 75–103. Бибкод : 1976CMAME...9...75R . дои : 10.1016/0045-7825(76)90078-5 . ISSN 0045-7825 .
^ Кэри, К.; Скэнлон, ТиДжей; Фрейзер, С.М. (1 мая 1993 г.). «SUCCA — альтернативная схема уменьшения последствий многомерной ложной диффузии» . Прикладное математическое моделирование . 17 (5): 263–270. дои : 10.1016/0307-904X(93)90048-L . ISSN 0307-904X .

Дальнейшее чтение

Патанкар, Сухас В. (1980), Численная теплопередача и поток жидкости , Taylor & Francisco Group, ISBN 9780891165224
Весселинг, Питер (2001), Принципы вычислительной гидродинамики , Springer, ISBN 978-3-540-67853-3
Дэйт, Анил В. (2005), Введение в вычислительную гидродинамику , издательство Кембриджского университета, ISBN 9780521853262

[1] Курант, Ричард ; Исааксон, Юджин ; Рис, Мина (август 1952 г.). «О решении нелинейных гиперболических дифференциальных уравнений конечными разностями» . Сообщения по чистой и прикладной математике . 5 (3): 243–255. дои : 10.1002/cpa.3160050303 .

[2] Торранс, Кеннет Э. (1968). «Сравнение конечно-разностных вычислений естественной конвекции» . Журнал исследований Национального бюро стандартов: математика и математическая физика . 72Б : 281–301.

[3] Верстег, Гонконг; Маласекера, В. (2007). Введение в вычислительную гидродинамику: метод конечного объема (2-е изд.). Харлоу: Прентис Холл. ISBN 9780131274983 .

[4] Патанкар, Сухас В. (1980). Численный теплообмен и течение жидкости (14. печат. изд.). Бристоль, Пенсильвания: Тейлор и Фрэнсис. ISBN 9780891165224 .

[5] Патанкар, Сухас В. (1980). Численная теплопередача и поток жидкости, страница №: 108 (14-е печатное изд.). Бристоль, Пенсильвания: Тейлор и Фрэнсис. ISBN 9780891165224 .

[6] Рэйтби, Джорджия (1 сентября 1976 г.). «Критическая оценка различий в восходящем потоке применительно к проблемам, связанным с потоком жидкости» . Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 9 (1): 75–103. Бибкод : 1976CMAME...9...75R . дои : 10.1016/0045-7825(76)90078-5 . ISSN 0045-7825 .

[7] Кэри, К.; Скэнлон, ТиДжей; Фрейзер, С.М. (1 мая 1993 г.). «SUCCA — альтернативная схема уменьшения последствий многомерной ложной диффузии» . Прикладное математическое моделирование . 17 (5): 263–270. дои : 10.1016/0307-904X(93)90048-L . ISSN 0307-904X .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]