Пятиточечный трафарет

Иллюстрация пятиточечного трафарета в одном и двух измерениях (сверху и снизу соответственно).

В численном анализе , учитывая квадратную сетку в одном или двух измерениях, пятиточечный трафарет точки в сетке представляет собой трафарет, состоящий из самой точки вместе с ее четырьмя «соседями». Он используется для записи конечно-разностных аппроксимаций производных в точках сетки. Это пример численного дифференцирования .

В одном измерении

В одном измерении, если расстояние между точками в сетке равно h , то пятиточечный трафарет точки x в сетке равен

$$\{x-2h,x-h,x,x+h,x+2h\}.$$

1D первая производная

Первую производную функции f действительной переменной в точке x можно аппроксимировать с помощью пятиточечного трафарета следующим образом:

$$f'(x)\approx {\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}$$

Сама центральная точка f ( x ) не участвует, только четыре соседние точки.

Вывод

Эту формулу можно получить, выписав четыре Тейлора ряда f ( x ± h ) и f ( x ± 2 h ) с точностью до членов h. ³ (или с точностью до h ⁵ чтобы также получить оценку ошибки) и решить эту систему из четырех уравнений, чтобы получить f ′( x ). Фактически мы имеем в точках x + h и x − h :

$$f(x\pm h)=f(x)\pm hf'(x)+{\frac {h^{2}}{2}}f''(x)\pm {\frac {h^{3}}{6}}f^{(3)}(x)+O_{1\pm }(h^{4}).\qquad (E_{1\pm }).$$

Оценка $(E_{1+})-(E_{1-})$ дает нам

$$f(x+h)-f(x-h)=2hf'(x)+{\frac {h^{3}}{3}}f^{(3)}(x)+O_{1}(h^{4}).\qquad (E_{1}).$$

Остаточный член O ₁ ( h ⁴ ) должно быть порядка h ⁵ вместо ч ⁴ потому что если условия h ⁴ были записаны в ( E ₁₊ ) и ( E ₁₋ ), можно видеть, что они нейтрализовали бы друг друга на f ( x + h ) − f ( x − h ) . Но для данного расчета это оставлено так, поскольку порядок оценки ошибки здесь не рассматривается (см. ниже).

Аналогично, мы имеем

$$f(x\pm 2h)=f(x)\pm 2hf'(x)+{\frac {4h^{2}}{2!}}f''(x)\pm {\frac {8h^{3}}{3!}}f^{(3)}(x)+O_{2\pm }(h^{4}).\qquad (E_{2\pm })$$

и $(E_{2+})-(E_{2-})$ дает нам

$$f(x+2h)-f(x-2h)=4hf'(x)+{\frac {8h^{3}}{3}}f^{(3)}(x)+O_{2}(h^{4}).\qquad (E_{2}).$$

Чтобы исключить условия ƒ ⁽³⁾ ( Икс ), вычислить 8 × ( E ₁ ) - ( E ₂ )

$$8f(x+h)-8f(x-h)-f(x+2h)+f(x-2h)=12hf'(x)+O(h^{4})$$

таким образом давая формулу, как указано выше. Примечание. Коэффициенты f в этой формуле (8, -8, -1,1) представляют собой конкретный пример более общего фильтра Савицкого – Голея .

Оценка ошибки

Ошибка в этом приближении порядка h  ⁴ . Это видно из расширения

$${\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}=f'(x)-{\frac {1}{30}}f^{(5)}(x)h^{4}+O(h^{5})$$

которое можно получить, разложив левую часть в ряд Тейлора . В качестве альтернативы примените экстраполяцию Ричардсона к приближению центральной разности к $f'(x)$ на сетках с шагом 2 h и h .

1D производные высшего порядка

Формулы центрированной разности для пятиточечных шаблонов, аппроксимирующих вторую, третью и четвертую производные:

$${\begin{aligned}f''(x)&\approx {\frac {-f(x+2h)+16f(x+h)-30f(x)+16f(x-h)-f(x-2h)}{12h^{2}}}\\[1ex]f^{(3)}(x)&\approx {\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+2f(x-h)-f(x-2h)}{2h^{3}}}\\[1ex]f^{(4)}(x)&\approx {\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+6f(x)-4f(x-h)+f(x-2h)}{h^{4}}}\end{aligned}}$$

Ошибки этих приближений составляют O ( h ⁴ , Ой ) ​ ² ) и O ( ч ² ) соответственно.

Связь с интерполяционными полиномами Лагранжа

В качестве альтернативы получению конечно-разностных весов из ряда Тейлора их можно получить путем дифференцирования полиномов Лагранжа.

$$\ell _{j}(\xi )=\prod _{i=0,\,i\neq j}^{k}{\frac {\xi -x_{i}}{x_{j}-x_{i}}},$$

где точки интерполяции

$$x_{0}=x-2h,\quad x_{1}=x-h,\quad x_{2}=x,\quad x_{3}=x+h,\quad x_{4}=x+2h.$$

Тогда многочлен четвертой степени $p_{4}(x)$ интерполяция f ( x ) в этих пяти точках равна

$$p_{4}(x)=\sum _{j=0}^{4}f(x_{j})\ell _{j}(x)$$

и его производная

$$p_{4}'(x)=\sum _{j=0}^{4}f(x_{j})\ell '_{j}(x).$$

Итак, конечно-разностная аппроксимация f ′( x ) в средней точке x = x ₂ равна

$$f'(x_{2})=\ell _{0}'(x_{2})f(x_{0})+\ell _{1}'(x_{2})f(x_{1})+\ell _{2}'(x_{2})f(x_{2})+\ell _{3}'(x_{2})f(x_{3})+\ell _{4}'(x_{2})f(x_{4})+O(h^{4})$$

Оценка производных пяти полиномов Лагранжа при x = x ₂ дает те же веса, что и выше. Этот метод может быть более гибким, поскольку расширение на неоднородную сетку довольно просто.

В двух измерениях

В двух измерениях, если, например, размер квадратов в сетке равен h на h , пятиточечный трафарет точки ( x , y ) в сетке будет равен

$$\{(x-h,y),(x,y),(x+h,y),(x,y-h),(x,y+h)\},$$

образуя узор, который еще называют квинкунсом . Этот трафарет часто используется для аппроксимации лапласиана функции двух переменных:

$$\nabla ^{2}f(x,y)\approx {\frac {f(x-h,y)+f(x+h,y)+f(x,y-h)+f(x,y+h)-4f(x,y)}{h^{2}}}.$$

Погрешность этого приближения составляет O ( h  ² ), что можно объяснить следующим образом:

Из трехточечных трафаретов для второй производной функции по x и y:

$${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}&={\frac {f\left(x+\Delta x,y\right)+f\left(x-\Delta x,y\right)-2f(x,y)}{\Delta x^{2}}}-2{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}\Delta x^{2}+\cdots \\[1ex]{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}&={\frac {f\left(x,y+\Delta y\right)+f\left(x,y-\Delta y\right)-2f(x,y)}{\Delta y^{2}}}-2{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}\Delta y^{2}+\cdots \end{aligned}}$$

Если мы предположим $\Delta x=\Delta y=h$:

$${\begin{aligned}\nabla ^{2}f&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\\[1ex]&={\frac {f\left(x+h,y\right)+f\left(x-h,y\right)+f\left(x,y+h\right)+f\left(x,y-h\right)-4f(x,y)}{h^{2}}}-4{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}h^{2}+\cdots \\[1ex]&={\frac {f\left(x+h,y\right)+f\left(x-h,y\right)+f\left(x,y+h\right)+f\left(x,y-h\right)-4f(x,y)}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)\\\end{aligned}}$$

См. также

• Коэффициент конечной разности - коэффициент, используемый в численном приближении.
• Итеративные трафаретные циклы - класс алгоритмов. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Девятиточечный трафарет
• Трафарет (численный анализ)
• Трафаретные прыжки

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. (1970), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , Дувр . Девятое издание. Таблица 25.2.