Трафарет (численный анализ)

Трафарет Кранка – Николсона для одномерной задачи.

В математике , особенно в областях численного анализа, концентрирующихся на численном решении уравнений в частных производных , трафарет представляет собой геометрическое расположение узловой группы, которая связана с интересующей точкой с помощью процедуры числовой аппроксимации. Трафареты являются основой многих алгоритмов численного решения уравнений в частных производных (УЧП). Двумя примерами трафаретов являются пятиточечный трафарет и трафарет метода Кранка – Николсона .

Трафареты делятся на две категории: компактные и некомпактные , разница заключается в слоях от интересующей точки, которые также используются для расчета.

В обозначениях, используемых для одномерных шаблонов, n-1, n, n+1 указывают временные шаги, где временные шаги n и n-1 имеют известные решения, а временной шаг n+1 должен быть рассчитан. Пространственное расположение конечных объемов, использованных в расчетах, обозначено j-1, j и j+1.

Этимология

Графические представления расположения узлов и их коэффициентов возникли на ранних этапах изучения PDE. Авторы продолжают использовать для них различные термины, такие как «паттерны релаксации», «инструкции по эксплуатации», «пастилки» или «паттерны точек». ^[1]^[2] Термин «трафарет» был придуман для таких шаблонов, чтобы отразить концепцию размещения трафарета в обычном смысле на вычислительной сетке, чтобы выявить только те числа, которые необходимы на определенном этапе. ^[2]

Расчет коэффициентов

Коэффициенты конечной разности для данного трафарета фиксируются выбором узловых точек. Коэффициенты можно рассчитать, взяв производную полинома Лагранжа, интерполируя между узловыми точками: ^[3] вычисляя разложение Тейлора вокруг каждой узловой точки и решая линейную систему, ^[4] или обеспечив точность трафарета для мономов до степени трафарета. ^[3] Для равноотстоящих друг от друга узлов их можно эффективно рассчитать как Паде аппроксимацию $x^{s}\cdot (\log x)^{m}$ , где $m$ порядок трафарета и $s$ — это отношение расстояния между крайней левой производной и левыми элементами функции, деленное на шаг сетки. ^[5]

См. также

Ссылки

^ Эммонс, Ховард В. (1 октября 1944 г.). «Численное решение уравнений в частных производных» (PDF) . Ежеквартальный журнал прикладной математики . 2 (3): 173–195. дои : 10.1090/qam/10680 . Проверено 17 апреля 2017 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Милн, Уильям Эдмунд (1953). Численное решение дифференциальных уравнений (1-е изд.). Уайли. стр. 128–131. OCLC 527661 . Проверено 17 апреля 2017 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Форнберг, Бенгт; Флайер, Наташа (2015). «Краткое описание методов конечных разностей». Букварь по радиальным базисным функциям с приложениями к наукам о Земле . Общество промышленной и прикладной математики. дои : 10.1137/1.9781611974041.ch1 . ISBN 9781611974027 . Проверено 9 апреля 2017 г.
^ Тейлор, Кэмерон. «Калькулятор коэффициентов конечных разностей» . web.media.mit.edu . Проверено 9 апреля 2017 г.
^ Форнберг, Бенгт (январь 1998 г.). «Классная записка: расчет весов в формулах конечных разностей». Обзор СИАМ . 40 (3): 685–691. Бибкод : 1998SIAMR..40..685F . дои : 10.1137/S0036144596322507 .

ВФ Спотц. Компактные конечно-разностные схемы высокого порядка для вычислительной механики . Докторская диссертация, Техасский университет в Остине, Остин, Техас, 1995 г.
Коммуникации в числовых методах в технике, Copyright © 2008 John Wiley & Sons, Ltd.

[1] Эммонс, Ховард В. (1 октября 1944 г.). «Численное решение уравнений в частных производных» (PDF) . Ежеквартальный журнал прикладной математики . 2 (3): 173–195. дои : 10.1090/qam/10680 . Проверено 17 апреля 2017 г.

[Milne-2] Перейти обратно: ^а ^б Милн, Уильям Эдмунд (1953). Численное решение дифференциальных уравнений (1-е изд.). Уайли. стр. 128–131. OCLC 527661 . Проверено 17 апреля 2017 г.

[RBF-3] Перейти обратно: ^а ^б Форнберг, Бенгт; Флайер, Наташа (2015). «Краткое описание методов конечных разностей». Букварь по радиальным базисным функциям с приложениями к наукам о Земле . Общество промышленной и прикладной математики. дои : 10.1137/1.9781611974041.ch1 . ISBN 9781611974027 . Проверено 9 апреля 2017 г.

[4] Тейлор, Кэмерон. «Калькулятор коэффициентов конечных разностей» . web.media.mit.edu . Проверено 9 апреля 2017 г.

[5] Форнберг, Бенгт (январь 1998 г.). «Классная записка: расчет весов в формулах конечных разностей». Обзор СИАМ . 40 (3): 685–691. Бибкод : 1998SIAMR..40..685F . дои : 10.1137/S0036144596322507 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]