Компактный трафарет

Компактный 2D-трафарет, использующий все 8 соседних узлов, а также центральный узел (красный).

В математике , особенно в областях численного анализа, называемых численными уравнениями в частных производных , компактный трафарет — это тип трафарета , который использует только девять узлов для своего метода дискретизации в двух измерениях. Он использует только центральный узел и соседние узлы. Для любой структурированной сетки, использующей компактный трафарет в 1, 2 или 3 измерениях, максимальное количество узлов составляет 3, 9 или 27 соответственно. Компактные трафареты можно сравнить с некомпактными трафаретами . Компактные трафареты в настоящее время реализованы во многих программах решения уравнений в частных производных , в том числе в некоторых темах CFD, FEA и других математических решателях, связанных с PDE.

Пример двухточечного трафарета

Двухточечный трафарет для первой производной функции имеет вид:

$f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)$.

Это получается из разложения в ряд Тейлора первой производной функции, определяемой следующим образом:

${\begin{array}{l}f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}-{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}-{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$.

Замена $h$ с $-h$, у нас есть:

${\begin{array}{l}f'(x_{0})=-{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}+{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$.

Сложение двух приведенных выше уравнений приводит к сокращению членов в нечетных степенях $h$:

${\begin{array}{l}2f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}-{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}+\cdots \end{array}}$.

${\begin{array}{l}f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}+\cdots \end{array}}$.

${\begin{array}{l}f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)\end{array}}$.

Пример трехточечного трафарета

Например, трехточечный трафарет для второй производной функции имеет вид:

${\begin{array}{l}f^{(2)}(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)+f\left(x_{0}-h\right)-2f(x_{0})}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)\end{array}}$.

Это получается из разложения в ряд Тейлора первой производной функции, определяемой следующим образом:

${\begin{array}{l}f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}-{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}-{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$.

Замена $h$ с $-h$, у нас есть:

${\begin{array}{l}f'(x_{0})=-{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}+{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$.

Вычитание двух приведенных выше уравнений приводит к сокращению членов в четных степенях $h$: ${\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}$.

${\begin{array}{l}f^{(2)}(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)+f\left(x_{0}-h\right)-2f(x_{0})}{h^{2}}}-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{2}+\cdots \end{array}}$.

${\begin{array}{l}f^{(2)}(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)+f\left(x_{0}-h\right)-2f(x_{0})}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)\end{array}}$.

См. также

• Трафарет (численный анализ)
• Некомпактный трафарет
• Пятиточечный трафарет