Девятиточечный трафарет

В численном анализе , учитывая квадратную сетку в двух измерениях, девятиточечный трафарет точки в сетке представляет собой трафарет, состоящий из самой точки вместе с ее восемью «соседями». Он используется для записи конечно-разностных аппроксимаций производных в точках сетки. Это пример численного дифференцирования . Этот трафарет часто используется для аппроксимации лапласиана функции двух переменных.

Иллюстрация девятиточечного трафарета в двух измерениях.

Мотивация

Если мы дискретизируем 2D лапласиан с помощью методов центральной разности , мы получим обычно используемый пятиточечный трафарет , представленный следующим ядром свертки :

$D_{CD}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0\end{bmatrix}}$

Начиная с однородных начальных условий только с одним точечным возмущением, правильный процесс роста даст круг (слева). Если рост происходит быстрее вдоль координатных осей, что вызвано анизотропным эффектом дискретизации центральной разности, то по мере распространения ошибок круг превратится в звездообразную структуру (справа): .

Несмотря на то, что его проще получить и легче с точки зрения вычислений, центральное разностное ядро ​​обладает нежелательным внутренним анизотропным свойством, поскольку оно не учитывает диагональных соседей. Эта внутренняя анизотропия создает проблему при применении к определенным численным моделированиям или когда требуется большая точность, поскольку эффект Лапласа распространяется быстрее в направлениях осей координат и медленнее в других направлениях, тем самым искажая конечный результат.

Этот недостаток требует поиска более эффективных методов дискретизации лапласиана, уменьшения или устранения анизотропии.

Выполнение

Два наиболее часто используемых изотропных девятиточечных трафарета показаны ниже в форме ядра свертки. Их можно получить по следующей формуле:

$D=(1-\gamma ){\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0\end{bmatrix}}+\gamma {\begin{bmatrix}1/2&0&1/2\\0&-2&0\\1/2&0&1/2\end{bmatrix}}$

Первый известен Ооно-Пури, и оно получается при γ=1/2.

$D_{OP}={\begin{bmatrix}1/4&2/4&1/4\\2/4&-12/4&2/4\\1/4&2/4&1/4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.25&0.5&0.25\\0.5&-3&0.5\\0.25&0.5&0.25\end{bmatrix}}$

Второй известен по Патра-Карттунен или Мерстеллен, и оно получается при γ=1/3.

$D_{PK}={\begin{bmatrix}1/6&4/6&1/6\\4/6&-20/6&4/6\\1/6&4/6&1/6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0.16&0.66&0.16\\0.66&-3.33&0.66\\0.16&0.66&0.16\end{bmatrix}}$

Оба являются изотропными формами дискретного лапласиана , и в пределе малых Δx все они становятся эквивалентными, поскольку Ооно-Пури описывается как оптимально изотропная форма дискретизации, отображение уменьшенной общей ошибки, и Патра-Карттунен были систематически выведены путем наложения условий вращательной инвариантности, отображение наименьшей ошибки вокруг начала координат.

Желаемая анизотропия

С другой стороны, если контролируемые анизотропные эффекты являются желаемой функцией, например, при решении задач анизотропной диффузии , для их создания также можно использовать 9-точечный трафарет в сочетании с тензорами .

Рассмотрим лапласиан в следующем виде:

$c\nabla ^{2}A=cD_{OP}*A$

Где c — это просто постоянный коэффициент. Теперь, если мы заменим c тензором 2-го ранга C:

$C={\begin{bmatrix}c_{1}&0\\0&c_{2}\end{bmatrix}}$

Где c1 — постоянный коэффициент для главного направления по оси x, а c2 — постоянный коэффициент для вторичного направления по оси y. Для создания анизотропных эффектов c1 и c2 должны быть разными.

Умножая его на матрицу вращения Q, мы получаем C', допуская анизотропное распространение в произвольных направлениях, отличных от координатных осей .

$Q={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}$

$C'=QCQ^{\operatorname {T} }$

$C'={\begin{bmatrix}c_{xx}&c_{xy}\\c_{xy}&c_{yy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\cos ^{2}\theta +c_{2}\sin ^{2}\theta &(c_{2}-c_{1})\cos \theta \sin \theta \\(c_{2}-c_{1})\cos \theta \sin \theta &c_{2}\cos ^{2}\theta +c_{1}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}$

Что очень похоже на тензор напряжений Коши в двух измерениях. Угол $\theta$ можно получить, сгенерировав векторное поле $\mathbf {V} =V_{x}{\mathbf {i} }+V_{y}{\mathbf {j} }$ для того, чтобы ориентировать рисунок по желанию. Затем:

$\theta =\arctan(V_{y}/V_{x})$

Или, для разных анизотропных эффектов, используя одно и то же векторное поле

$\theta =\arctan(V_{y}/-V_{x})$

Важно отметить, что независимо от значений $\theta$, анизотропное распространение будет происходить параллельно вторичному направлению c2 и перпендикулярно главному направлению c1: . Результирующее ядро ​​свертки выглядит следующим образом

$D_{Aniso}={\begin{bmatrix}{\frac {-c_{xy}}{2}}&c_{yy}&{\frac {c_{xy}}{2}}\\c_{xx}&-2(c_{xx}+c_{yy})&c_{xx}\\{\frac {c_{xy}}{2}}&c_{yy}&{\frac {-c_{xy}}{2}}\end{bmatrix}}$

Если, например, c1=c2=1, компонент cxy исчезнет, ​​в результате чего получится простой пятиточечный трафарет , не отображающий контролируемой анизотропии.

Если с2>с1 и $\theta$=0, анизотропные эффекты будут более выражены по вертикальной оси.

если c2>c1 и $\theta$=45 градусов, анизотропные эффекты будут более выражены в верхней правой/нижней левой диагонали.