Предложения по повышению квалификации молодежи

Средневековая латинская рукопись Propositiones ad Acuendos Juvenes (англ. « Проблемы для обострения юности ») — один из самых ранних известных сборников развлекательных математических задач. Самая старая известная копия рукописи датируется концом 9 века. Текст приписывается Алкуину Йоркскому (умер в 804 г.). Некоторые издания текста содержат 53 задачи, другие — 56. Он был переведен на английский язык Джоном Хэдли с аннотациями Джона Хэдли и Дэвида Сингмастера .

Рукопись содержит первые известные случаи возникновения нескольких типов задач, в том числе трех задач о переправах через реки :

• Проблема 17: Проблема ревнивого мужа . В версии этой задачи Алкуина трое мужчин, у каждого из которых есть сестра, должны пересечь лодку, в которой могут перевозиться только два человека, чтобы женщина, у которой нет брата, никогда не оставалась в компании другого мужчины. ^{, с. 111.}
• Задача 18: Задача о волке, козле и капусте. ^{, с. 112.} , и
• Задача 19: Propositio de viro et muliere ponderantibus plaustrum . В этой задаче мужчина и женщина одинакового веса вместе с двумя детьми, каждый из которых весит половину их веса, хотят пересечь реку на лодке, которая может выдержать вес только одного взрослого; ^{, с. 112.}

так называемая проблема «разделения стволов»:

• Задача 12: Некий отец умер и оставил в наследство трем своим сыновьям 30 стеклянных колб, из которых 10 были полны масла, еще 10 — наполовину полны, а еще 10 — пусты. Разделите масло и фляги так, чтобы равная доля товаров досталась трем сыновьям, как масла, так и стекла; ^{, с. 109.} Число решений этой задачи для n каждого типа колб является членами последовательности Алкуина .

вариант задачи о джипе :

• Задача 52: Некий глава семьи приказал перевезти 90 модий зерна из одного его дома в другой, находящийся за 30 лье. Учитывая, что этот груз зерна верблюд может перевезти за три рейса и что верблюд съедает один модий за лигу, сколько модиев осталось в конце пути? ^{, стр. 124–125.}

и три проблемы с упаковкой :

• Задача 27. Предложение о четырехугольном городе. Есть четырехугольный город, у которого одна сторона 1100 футов, другая сторона 1000 футов, передняя сторона 600 футов и последняя сторона 600 футов. Я хочу поставить там несколько домов так, чтобы каждый дом был 40 футов в длину и 30 футов в ширину. Пусть скажет тот, кто желает: сколько домов должно быть в городе?
• Задача 28. Предложение о треугольном городе. Есть треугольный город, у которого одна сторона 100 футов, другая сторона 100 футов и третья 90 футов. Внутри этого я хочу построить структуру домов, однако таким образом, чтобы каждый дом имел длину 20 футов и ширину 10 футов. Пусть скажет тот, кто может: Сколько домов нужно содержать?
• Задача 29: Предложение о круглом городе. Есть город, окружность которого составляет 8000 футов. Пусть скажет тот, кто может: Сколько домов должно быть в городе, чтобы каждый [дом] имел длину 30 футов и ширину 20 футов?

Некоторые дополнительные проблемы:

• Задача 5: Торговец хотел купить 100 свиней за 100 пенсов. За кабана он заплатил бы 10 пенсов; за свиноматку — 5 пенсов; в то время как за пару поросят он заплатил бы 1 копейку. Сколько же должно было быть хряков, свиноматок и поросят, чтобы он заплатил ровно 100 пенсов за 100 животных?

Эта проблема возникла, по крайней мере, в Китае V века и встречается в индийских и арабских текстах того времени. ^{, с. 106.}

Задачи 32, 33, 34, 38, 39 и 47. похожи тем, что каждый делит данное количество денег или еды между данным количеством людей или животных, состоящих из трех типов, в соответствии с установленными пропорциями, и запрашивает количество каждого типа. Алгебраически это эквивалентно двум уравнениям с тремя неизвестными. Однако, поскольку разумное решение может иметь только целых людей или животных, большинство задач имеют только одно решение, состоящее из целых положительных чисел. В каждом случае Алкуин дает решение и доказывает его правильность, не описывая, как решение было найдено.

• Задача 26. Имеется поле длиной 150 футов. В одном конце стояла собака; в другом - заяц. Собака погналась за зайцем. В то время как собака проходила 9 футов за шаг, заяц - только 7. Сколько футов и сколько прыжков сделала собака, преследуя убегающего зайца, пока его не поймали?

Проблемы с обгоном такого типа датируются 150 годом до нашей эры, но это первый известный европейский пример. ^{, с. 115.}

• Задача 42: Есть лестница со 100 ступенями. Один голубь сел на первую ступеньку, два голубя на вторую, трое на третью, четверо на четвертую, пятеро на пятую и так до сотой ступеньки. Сколько всего голубей было?

Обратите внимание, что эта словесная задача эквивалентна арифметической задаче на сложение всех чисел от 1 до 100. Решение Алкуина состоит в том, чтобы отметить, что всего на первом и 99-м шагах вместе взятых находится 100 голубей, на втором и 98-м шагах вместе взятых еще 100, и и так для всех пар шагов, кроме 50-го и 100-го. Предполагается, что Карл Фридрих Гаусс в качестве ученика решил эквивалентную арифметическую задачу, соединив пары 1 и 100, 2 и 99, ..., 50 и 51, получив таким образом 50 умножение 101 = 5050, решение, которое более элегантно, чем решение Алкуина. 1000 лет назад. ^{, с. 121.}

• Задача 43. У некоего человека есть 300 свиней. Он приказал убить их всех в течение трех дней, но каждый день убивали нечетное число. Какое число должно было быть убито каждый день?

Кажется, что эта задача составлена ​​для упрека беспокойных учеников, и никакого решения не дано. (Три нечетных числа не могут в сумме дать 300.) ^{, с. 121.}

• Задача 14. Сколько следов в последней борозде оставляет вол, который пахал целый день?

Еще одна юмористическая задача: ответ — нет, поскольку плуг уничтожает их при создании борозды.

Внешние ссылки и дальнейшее чтение

• (на латыни) Предложения по заточке молодежи , текст на латыни.
• «Проблемы для обострения молодежи» , Джон Хэдли и Дэвид Сингмастер, The Mathematical Gazette , 76 , № 475 (март 1992 г.), стр. 102–126. Аннотированный перевод текста на английский язык.
• (на английском и латыни) ВЕДУЩИЙ: Электронный бюллетень истории и философии науки и техники, 1 , № 2 (весна/лето; июнь 1993 г.) , ISSN 1192-084X. Содержит перевод текста на английский язык, выполненный Питером Дж. Беркхолдером, вместе с введением, комментариями и оригинальным текстом.
• Рутгер Крамер, «Ecce fabula!» Решение проблем с помощью чисел в мире Каролингов: случай предложений ad Acuendos Iuvenes», http://epub.oeaw.ac.at/0xc1aa5576_0x0036d428.pdf
• Николай Ю. Золотых, Предложения Алкуина о состояниях: древнейшие проблемы упаковки . Препринт arXiv arXiv : 1308.0892 (2013)