Жак Тушар

Жак Тушар (1885–1968) — французский математик . В 1953 году он доказал, что нечетное совершенное число должно иметь вид 12 k + 1 или 36 k + 9. В комбинаторику и теорию вероятностей он ввел полиномы Тушара . Он также известен своим решением проблемы подсчета мест, при которых мужчины и женщины чередуются, а не сидят рядом со своими супругами.

Каталонская идентичность Тушара

Следующее алгебраическое тождество с числами Каталана

$C_{k}={1 \over {k+1}}{{2k} \choose {k}},\quad k\geq 0$

по-видимому, принадлежит Тушару (по словам Ричарда П. Стэнли , который упоминает об этом в своей обзорной статье « Упражнения по каталанским и родственным числам », дающей ошеломляющее множество различных определений каталонских чисел).Для n ≥ 0 имеем

$C_{n+1}=\sum _{k\,\leq \,n/2}2^{n-2k}{n \choose 2k}C_{k}.\,$

Использование производящей функции

$C(t)=\sum _{n\geq 0}C_{n}t^{n}={{1-{\sqrt {1-4t}}} \over {2t}}$

можно доказать алгебраическими манипуляциями с порождающими рядами , что тождество Тушара равно эквивалентно функциональному уравнению

${t \over {1-2t}}C\left({t^{2} \over (1-2t)^{2}}\right)=C(t)-1$

удовлетворяется каталонским производящим рядом C ( t ).

Дальнейшее чтение

Канадский математический журнал, 1956 , том 8, № 3; Журнал на французском языке