Бернулли тень

В умбральном исчислении тень Бернулли $B_{-}$ — это тень , формальный символ, определяемый соотношением $\operatorname {eval} B_{-}^{n}=B_{n}^{-}$, где $\operatorname {eval}$ — оператор понижения индекса, также известный как оператор оценки и $B_{n}^{-}$ являются числами Бернулли , называемыми моментами тени. Подобная тень, определяемая как $\operatorname {eval} B_{+}^{n}=B_{n}^{+}$, где $B_{1}^{+}=1/2$ также часто используется и иногда называется умброй Бернулли. Они связаны равенством $B_{+}=B_{-}+1$. Наряду с тенью Эйлера , тень Бернулли является одной из важнейших теней.

В поле Леви-Чивита тени Бернулли могут быть представлены элементами со степенным рядом $B_{-}=\varepsilon ^{-1}-{\frac {1}{2}}-{\frac {\varepsilon }{24}}+{\frac {3\varepsilon ^{3}}{640}}-{\frac {1525\varepsilon ^{5}}{580608}}+\dotsb$ и $B_{+}=\varepsilon ^{-1}+{\frac {1}{2}}-{\frac {\varepsilon }{24}}+{\frac {3\varepsilon ^{3}}{640}}-{\frac {1525\varepsilon ^{5}}{580608}}+\dotsb$, с оператором понижения индекса, соответствующим взятию коэффициента $1=\varepsilon ^{0}$ степенного ряда. Числители терминов приведены в OEIS A118050. а знаменатели указаны в OEIS A118051. Поскольку коэффициенты $\varepsilon ^{-1}$ отличны от нуля, оба являются бесконечно большими числами, $B_{-}$ быть бесконечно близким (но не равным, а немного меньшим) к $\varepsilon ^{-1}-1/2$ и $B_{+}$ будучи бесконечно близким (немного меньшим) к $\varepsilon ^{-1}+1/2$.

В полях Харди (которые являются обобщениями поля Леви-Чивита) тень $B_{+}$ соответствует ростку на бесконечности функции $\psi ^{-1}(\ln x)$ пока $B_{-}$ соответствует зародышу на бесконечности $\psi ^{-1}(\ln x)-1$, где $\psi ^{-1}(x)$ это обратная дигамма-функция .

График функции $\psi ^{-1}(\ln(x))$, росток которого на положительной бесконечности соответствует $B_{+}$.

Возведение в степень

Поскольку полиномы Бернулли являются обобщением чисел Бернулли, возведение в степень тени Бернулли можно выразить через полиномы Бернулли :

$\operatorname {eval} (B_{-}+a)^{n}=B_{n}(a),$

где $a$ действительное или комплексное число.Это можно дополнительно обобщить с помощью дзета-функции Гурвица :

$\operatorname {eval} (B_{-}+a)^{p}=-p\zeta (1-p,a).$

Из функционального уравнения Римана для дзета-функции следует, что

$\operatorname {eval} \,B_{+}^{-p}=\operatorname {eval} {\frac {B_{+}^{p+1}2^{p}\pi ^{p+1}}{\sin(\pi p/2)\Gamma (p)(p+1)}}$

Производное правило

С $B_{1}^{+}=1/2$ и $B_{1}^{-}=-1/2$ являются единственными двумя членами последовательности $B_{n}^{+}$ и $B_{n}^{-}$ которые различаются, для любой аналитической функции следует следующее правило $f(x)$:

$f'(x)=\operatorname {eval} (f(B_{+}+x)-f(B_{-}+x))=\operatorname {eval} \Delta f(B_{-}+x)$

Элементарные функции тени Бернулли

Как правило, для любой аналитической функции справедлива следующая формула $f(x)$:

$\operatorname {eval} f(B_{-}+x)={\frac {D}{e^{D}-1}}f(x).$

Это позволяет получить выражения для элементарных функций тени Бернулли.

$\operatorname {eval} \cos(zB_{-})=\operatorname {eval} \cos(zB_{+})={\frac {z}{2}}\cot \left({\frac {z}{2}}\right)$

$\operatorname {eval} \cosh(zB_{-})=\operatorname {eval} \cosh(zB_{+})={\frac {z}{2}}\coth \left({\frac {z}{2}}\right)$

$\operatorname {eval} e^{zB_{-}}={\frac {z}{e^{z}-1}}$

$\operatorname {eval} \ln(B_{-}+z)=\psi (z)$

Особенно,

$\operatorname {eval} \ln B_{+}=-\gamma$

$\operatorname {eval} {\frac {1}{\pi }}\ln \left({\frac {B_{+}-{\frac {z}{\pi }}}{B_{-}+{\frac {z}{\pi }}}}\right)=\cot z$

$\operatorname {eval} {\frac {1}{\pi }}\ln \left({\frac {B_{-}+1/2+{\frac {z}{\pi }}}{B_{-}+1/2-{\frac {z}{\pi }}}}\right)=\tan z$

$\operatorname {eval} \cos(aB_{-}+x)={\frac {a}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\cos \left({\frac {a}{2}}-x\right)$

$\operatorname {eval} \sin(aB_{-}+x)={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {a}{2}}\right)\sin x-{\frac {a}{2}}\cos x$

Особенно,

$\operatorname {eval} \sin B_{-}=-1/2$,

$\operatorname {eval} \sin B_{+}=1/2$,

Соотношения между показательными и логарифмическими функциями

Умбра Бернулли позволяет установить связи между показательными, тригонометрическими и гиперболическими функциями с одной стороны и логарифмами, обратными тригонометрическими и обратными гиперболическими функциями с другой стороны в замкнутой форме:

$\operatorname {eval} \left(\cosh \left(2xB_{\pm }\right)-1\right)=\operatorname {eval} {\frac {x}{\pi }}\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\pi B_{\pm }}}\right)=\operatorname {eval} {\frac {x}{\pi }}\operatorname {arcoth} \left({\frac {\pi B_{\pm }}{x}}\right)=x\coth(x)-1$

$\operatorname {eval} {\frac {z}{2\pi }}\ln \left({\frac {B_{+}-{\frac {z}{2\pi }}}{B_{-}+{\frac {z}{2\pi }}}}\right)=\operatorname {eval} \cos(zB_{-})=\operatorname {eval} \cos(zB_{+})={\frac {z}{2}}\cot \left({\frac {z}{2}}\right)$