Теоремы представления Дебре

Не путать с теоремой Зонненшейна – Мантеля – Дебре или моделью Эрроу – Дебре .

В экономике представляют теоремы Дебре собой теоремы о представлении предпочтений — утверждения о представлении порядка предпочтений с помощью вещественной функции полезности. Теоремы были доказаны Жераром Дебре в 1950-х годах.

Фон

Предположим, человеку задают вопросы вида «Вы предпочитаете А или Б?» (когда A и B могут быть вариантами, действиями, состояниями мира, наборами потребления и т. д.). Все ответы записываются и формируют отношение предпочтений человека . Вместо того, чтобы записывать предпочтения человека между каждой парой вариантов, было бы гораздо удобнее иметь одну функцию полезности — функцию, которая отображает действительное число в каждый вариант, так что полезность варианта А больше, чем полезность варианта Б. тогда и только тогда, когда агент предпочитает A перед B.

Теоремы Дебре решают следующий вопрос: какие условия отношения предпочтения гарантируют существование представляющей функции полезности?

Существование порядковой функции полезности

Теоремы 1954 года Грубо говоря, каждое отношение предпочтения, которое является полным, транзитивным и непрерывным, может быть представлено непрерывной порядковой функцией полезности .

Заявление

Теоремы обычно применяются к пространствам конечных товаров. Однако они применимы в гораздо более общей ситуации. Вот общие предположения:

• X — топологическое пространство .
• $\preceq$ — отношение на X, которое тотально (все элементы сравнимы) и транзитивно .
• $\preceq$ является непрерывным . Это означает, что выполняются следующие эквивалентные условия:
  1. Для каждого $x\in X$, наборы $\{y|y\preceq x\}$ и $\{y|y\succeq x\}$ замкнуты топологически в $X$.
  2. Для каждой последовательности $(x_{i})$ такой, что $x_{i}\to x_{\infty }$, если для всех я $x_{i}\preceq y$ затем $x_{\infty }\preceq y$, и если для всех я $x_{i}\succeq y$ затем $x_{\infty }\succeq y$

Каждое из следующих условий гарантирует существование вещественнозначной непрерывной функции, которая представляет отношение предпочтения $\preceq$. Условия становятся все более общими, например, из условия 1 следует 2, из которого следует 3, из которого следует 4.

1. Множество классов эквивалентности отношения $\sim$ (определяется: $x\sim y$ если только $x\preceq y$ и $x\succeq y$) являются счетным множеством .

2. Существует счетное подмножество X, $Z=\{z_{0},z_{1},...\}$, такой, что для любой пары неэквивалентных элементов $x\prec y$, есть элемент $z_{i}\in Z$ это их разделяет( $x\preceq z_{i}\preceq y$).

3. X сепарабельно и связно .

4. X – второй счетный . Это означает, что существует счетное множество S открытых множеств такое, что каждое открытое множество в X является объединением множеств класса S.

В доказательстве четвертого результата был пробел, который позже исправил Дебре.

Примеры

А. Пусть $X=\mathbb {R} ^{2}$ со стандартной топологией (евклидовой топологией). Определим следующее отношение предпочтения: $(x,y)\preceq (x',y')$ если только $x+y\leq x'+y'$. Оно непрерывно, поскольку для каждого $(x,y)$, наборы $\{(x',y')|x'+y'\leq x+y\}$ и $\{(x',y')|x'+y'\geq x+y\}$ являются замкнутыми полуплоскостями. Условие 1 нарушено, поскольку множество классов эквивалентности несчетно. Однако условию 2 удовлетворяет Z как множество пар с рациональными координатами. Условие 3 также выполнено, поскольку X сепарабельно и связно. Следовательно, существует непрерывная функция, представляющая $\preceq$. Примером такой функции является $u(x,y)=x+y$.

Б. Пусть $X=\mathbb {R} ^{2}$ со стандартной топологией, как указано выше. Отношение лексикографических предпочтений не является непрерывным в этой топологии. Например, $(5,1)\succ (5,0)$, но в каждом шаре вокруг (5,1) есть точки с $x<5$ и эти баллы уступают $(5,0)$. Действительно, это отношение не может быть представлено непрерывной вещественнозначной функцией (более того, оно не может быть представлено даже ненепрерывными функциями).

Доказательства

Доказательства от.

Обозначение: для любого $x,y\in X$, определять $(x,y)=\{z\in X:x\prec z\prec y\}$и аналогичным образом определим другие интервалы.

Доказательство 1, 2

В качестве 1 используйте предложение о том, что любой счетный линейный порядок изоморфен подмножеству $\mathbb {Q}$.

Для 2 сначала используйте предложение, чтобы построить полезность $u:\{z_{1},z_{2},...\}\to \mathbb {Q}$ это сохраняет порядок. Тогда для каждого $x\in X$ не эквивалентен одному из $z_{n}$, построим его верхнее и нижнее дедекиндовы разрезы $(x,+\infty )=\{z_{n}:z_{n}\succ x\},(-\infty ,x)=\{z_{n}:z_{n}\prec x\}$. По плотности набора $\{z_{1},z_{2},...\}$, два таких $x,x'$ имеют одинаковый порядок тогда и только тогда, когда их дедекиндовы сечения равны.

Затем определите $u(x)={\frac {1}{2}}(\sup u((-\infty ,x))+\inf u((x,+\infty )))$. Это определяет функцию полезности $u:X\to [-\infty ,+\infty ]$.

Наконец, используйте гиперболического тангенса функцию $tanh:[-\infty ,+\infty ]\to [-1,1]$ сжать расширенную вещественную линию до конечного интервала.

Доказательство 3

Если $\succeq$ тривиально на $X$ затем определите $u=0$. Так что предположим, что это нетривиально.

Если $Y$ плотный в $X$, то если $x\succ y$ в $X$, существует $z\in Y$ такой, что $x\succ z\succ y$

Интервалы $(-\infty ,x),(y,+\infty )$ непусты, поскольку $y\in (-\infty ,x),x\in (y,+\infty )$.

По непрерывности $\succ$, оба интервала являются открытыми подмножествами $X$. По совокупности $\succ$, их союз состоит из $X$. С $X$ связна, их пересечение непусто. Таким образом, существует некоторый $z'\in X$ такой, что $x\succ z'\succ y$.

С $Y$ плотный в $X$, и $\succ$ непрерывна, существует достаточно близкое $z\in Y$ такой, что $x\succ z\succ y$.

С $X$ отделим, применим часть 2.

Доказательство 4

Перечислить счетное множество базисных наборов $S_{1},S_{2},...$. Для каждого $S_{n}$, выберите одного представителя $z_{n}\in S_{n}$, и соберите их в один набор $Z$. Это означает, что любой $x,y\in S$ если $x\prec y$ и $(x,y)$ непусто, то существует некоторое $z_{n}\in S_{n}\subset (x,y)$, так что $x\prec z_{n}\prec y$. Осталось разобраться с исключениями.

Определите «пару разрывов», которая будет $x,y\in S$ такой, что $x\prec y$ и $(x,y)$ пусто. Выберите набор представителей $x_{i},y_{i}$, такой, что для любой разрывной пары $x,y$ существует ровно одна пара представителей $x_{i},y_{i}$ такой, что $x_{i}\sim x,y_{i}\sim y$.

Для каждой пары $x_{i},y_{i}$, выберите несколько $n_{i}$ такой, что $S_{n_{i}}\subset (-\infty ,y_{i})$, и $x_{i}\in S_{n_{i}}$. Это легко проверить, если $S_{n_{i}}=S_{n_{j}}$ тогда мы должны иметь $x_{i}\sim x_{j}$. Таким образом, число представителей разрывной пары не более чем счетно.

Теперь набор $Z\cup \{x_{i}\}_{i}\cup \{y_{i}\}_{i}$ счетно, и мы воспользуемся частью 2.

Приложения

Алмаз применил теорему Дебре к пространству $X=\ell ^{\infty }$, множество всех ограниченных вещественнозначных последовательностей с топологией, индуцированной супремум-метрикой (см. L-бесконечность ). X представляет собой набор всех потоков полезности с бесконечным горизонтом.

Помимо требования, чтобы $\preceq$ быть тотальным, переходным и непрерывным, он добавил требование чувствительности :

• Если поток $x$ меньше ручья $y$ в каждый период времени, то $x\prec y$.
• Если поток $x$ меньше или равен потоку $y$ в каждый период времени, то $x\preceq y$.

Согласно этим требованиям, каждый поток $x$ эквивалентен потоку постоянной полезности, и каждые два потока постоянной полезности разделяются потоком постоянной полезности с рациональной полезностью, поэтому условие № 2 Дебре удовлетворено, и отношение предпочтения может быть представлено вещественным выражением функция.

Результат существования действителен, даже если топология X меняется на топологию, индуцированную дисконтированной метрикой: $d(x,y)=\sum _{t=1}^{\infty }{2^{-t}|x_{t}-y_{t}|}$

Аддитивность порядковой функции полезности

Теорема 3 1960 г. грубо говоря, что если товарное пространство содержит 3 или более компонентов, и каждое подмножество компонентов предпочтительно независимо от других компонентов, то отношение предпочтения может быть представлено аддитивной функцией ценности.

Заявление

Вот общие предположения:

• X, пространство всех пакетов, является декартовым произведением n товарных пространств: $X=\times _{i=1}^{n}{X_{i}}$ (т. е. пространство связок представляет собой набор из n наборов товаров).
• $\preceq$ — отношение на X, которое тотально (все элементы сравнимы) и транзитивно .
• $\preceq$ непрерывен (см. выше).
• Существует порядковая функция полезности : $v$, представляющий $\preceq$.

Функция $v$ называется аддитивной , если ее можно записать в виде суммы n порядковых функций полезности от n факторов:

$v(x_{1},...,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}{k_{i}v_{i}(x_{i})}$

где $k_{i}$ являются константами.

Учитывая набор индексов $I$, набор товаров $(X_{i})_{i\in I}$ называется предпочтительно независимым, если отношение предпочтения $\preceq$ наведенный на $(X_{i})_{i\in I}$, при постоянных количествах других товаров $(X_{i})_{i\notin I}$, не зависит от этих постоянных величин.

Если $v$ является аддитивным, то очевидно, что все подмножества товаров преимущественно независимы.

Если все подмножества товаров являются преимущественно независимыми И по крайней мере три товара являются существенными (это означает, что их количества оказывают влияние на отношение предпочтения $\preceq$), затем $v$ является аддитивным.

Более того, в таком случае $v$ единственна с точностью до возрастающего линейного преобразования.

Интуитивное конструктивное доказательство см. в разделе « Порядковая полезность — Аддитивность с тремя и более товарами» .

Теоремы о кардинальной полезности

Теорема 1 1960 г. занимается преференциями по лотереям. Ее можно рассматривать как улучшение теоремы о полезности фон Неймана-Моргенштерна 1947 года. Более ранняя теорема предполагает, что агенты имеют предпочтения в лотереях с произвольной вероятностью. Теорема Дебре ослабляет это предположение и предполагает только то, что агенты имеют предпочтения в лотереях с равными шансами (т. е. они могут отвечать только на вопросы вида: «Вы предпочитаете А лотерее с равными шансами между B и C?»).

Формально существует набор $S$ верного выбора. Набор лотерей есть $S\times S$. Теорема Дебре утверждает, что если:

1. Набор всех верных вариантов $S$ является связным и разделимым пространством ;
2. Отношение предпочтения на множестве лотерей $S\times S$ непрерывно - множества $\{(A,B)\in S\times S|(A,B)\preceq (A',B')\}$ и $\{(A,B)\in S\times S|(A,B)\succeq (A',B')\}$ для топологически замкнуты всех $(A,B)\in S$;
3. $(A_{1},B_{2})\preceq (A_{2},B_{1})$ и $(A_{2},B_{3})\preceq (A_{3},B_{2})$ подразумевает $(A_{1},B_{3})\preceq (A_{3},B_{1})$

Тогда существует полезности кардинальная функция u , которая представляет отношение предпочтения на множестве лотерей, то есть:

$u(A,B)={\frac {u(A,A)+u(B,B)}{2}}$

Теорема 2 1960 г. имеет дело с агентами, чьи предпочтения представлены частотой выбора. Когда они могут выбирать между А и Б , они выбирают А с частотой $p(A,B)$ и B с частотой $p(B,A)=1-p(A,B)$. Значение $p(A,B)$ можно интерпретировать как измерение насколько агент предпочитает A по сравнению с B. того ,

Теорема Дебре утверждает, что если функция агента p удовлетворяет следующим условиям:

1. Полнота: $p(A,B)+p(B,A)=1$
2. Четырехместное состояние: $p(A,B)\leq p(C,D)\iff p(A,C)\leq p(B,D)$
3. Непрерывность: если $p(A,B)\leq q\leq p(A,D)$, то существует C такой, что: $p(A,C)=q$.

Тогда существует кардинальная функция полезности u , которая представляет p , то есть:

$p(A,B)\leq p(C,D)\iff u(A)-u(B)\leq u(C)-u(D)$

См. также

• Теорема о представлении предпочтений
• Теорема фон Неймана – Моргенштерна о полезности