Теорема Саншайн-Мантла-Дебре

Теорема Зонненшайна -Мантеля-Дебре — важный результат в общего равновесия экономике , доказанный Жераром Дебре , Рольфом Мантелем и Хьюго Ф. Зонненшайном в 1970-х годах. Он утверждает, что кривая избыточного спроса для экономики обмена, населенной , максимизирующими полезность, рациональными агентами может принять форму любой функции , которая является непрерывной , имеет нулевую степень однородности и соответствует закону Вальраса . Это означает, что функция избыточного спроса не принимает «хорошую» форму, даже если каждый агент имеет «хорошую» функцию полезности. Рыночные процессы не обязательно достигнут уникальной и стабильной точки равновесия .

Совсем недавно Жорди Андреу, Пьер-Андре Кьяппори и Ивар Экеланд распространили этот результат на кривые рыночного спроса как на отдельные товары, так и на совокупный спрос экономики в целом. Это означает, что кривые спроса могут принимать весьма неправильную форму, даже если все отдельные агенты на рынке совершенно рациональны. В отличие от обычных предположений, количество спроса на товар не может уменьшиться при повышении цены. Фрэнк Хан считал эту теорему опасной критикой господствующей неоклассической экономической теории .

Официальное заявление

Существует несколько возможных версий теоремы, отличающихся детальными оценками и предположениями.

Следующая версия сформулирована в модели экономики Эрроу–Дебре . Обозначения см. на странице модели Эрроу – Дебре.

Теорема — Пусть $N$ быть положительным целым числом. Если $Z:\{p\in \mathbb {R} _{N}:\sum _{n}p_{n}=1,\forall n,p_{n}>0\}\to \mathbb {R} ^{N}$ является непрерывной функцией, удовлетворяющей закону Вальраса, то существует экономика, в которой домохозяйства индексируются по $I$, без производителей («чистая экономика обмена») и достатка домохозяйств. $\{r^{i}\}_{i\in I}$ так, чтобы каждое домохозяйство удовлетворяло всем предположениям в разделе «Предположения» , и $Z$ – функция избыточного спроса в экономике.

Аналогично, изменение $Z$ к многозначной функции с замкнутым графиком, мы получаем другой

Теорема — Пусть $N$ быть положительным целым числом. Если $Z:\{p\in \mathbb {R} _{N}:\sum _{n}p_{n}=1,\forall n,p_{n}>0\}\to \mathbb {R} ^{N}$ является многозначной функцией с замкнутым графиком, удовлетворяющей закону Вальраса, то существует экономика, в которой домохозяйства индексируются $I$, без производителей («чистая экономика обмена») и достатка домохозяйств. $\{r^{i}\}_{i\in I}$ так, чтобы каждое домохозяйство удовлетворяло всем предположениям в разделе «Предположения», кроме предположения «строгой выпуклости», и $Z$ – функция избыточного спроса в экономике.

История доказательства

Концепция функции избыточного спроса важна в теориях общего равновесия, поскольку она действует как сигнал для рынка о корректировке цен. Если значение функции избыточного спроса положительно, то требуется больше единиц товара, чем можно предложить; есть дефицит . Если избыточный спрос отрицателен, то предлагается больше единиц продукции, чем требуется; есть перенасыщение . Предполагается, что скорость изменения цен будет пропорциональна избыточному спросу, так что корректировка цен в конечном итоге приведет к состоянию равновесия, в котором избыточный спрос на все товары равен нулю.

В 1970-х годах экономисты-математики работали над созданием строгих микрооснований для широко используемых моделей равновесия на основе предположения, что люди являются рациональными агентами, максимизирующими полезность («гипотеза полезности»). Уже было известно, что это предположение налагало некоторые свободные ограничения на функции избыточного спроса для частных лиц ( непрерывность и закон Вальраса ), и что эти ограничения были «унаследованы» функцией рыночного избыточного спроса. В статье 1973 года Хьюго Зонненшайн поставил вопрос о том, были ли это единственные ограничения, которые могли быть наложены на функцию рыночного избыточного спроса. Он предположил, что ответ «да», и предпринял предварительные шаги, чтобы доказать это. Эти результаты были расширены Рольфом Мантелем, а затем Жераром Дебре в 1974 году, который доказал, что пока на рынке существует хотя бы столько же агентов, сколько товаров, функция рыночного избыточного спроса наследует только следующие свойства отдельных функций избыточного спроса:

• Непрерывность
• Однородность нулевой степени и
• Закон Вальраса

Этих унаследованных свойств недостаточно, чтобы гарантировать, что кривая избыточного спроса имеет нисходящий наклон, как обычно предполагается. Единственность точки равновесия также не гарантируется. Может существовать более одного ценового вектора , при котором функция избыточного спроса равна нулю, что в данном контексте является стандартным определением равновесия.

Дальнейшие разработки

После этих первоначальных публикаций несколько ученых расширили первоначальные результаты Зонненшайна – Мантеля – Дебре различными способами. В статье 1976 года Рольф Мантель показал, что теорема по-прежнему справедлива, даже если добавить очень сильное предположение о том, что все потребители имеют однородные предпочтения . Это означает, что полезность , которую потребители приписывают товару, всегда будет точно пропорциональна количеству предлагаемого товара; например, один миллион апельсинов будет стоить ровно в миллион раз больше, чем один апельсин. Более того, Алан Кирман и Карл-Йозеф Кох доказали в 1986 году, что теорема SMD по-прежнему справедлива, даже если предполагается, что все агенты имеют одинаковые предпочтения, а распределение дохода считается фиксированным во времени и независимым от цен. Единственное недопустимое распределение доходов — это равномерное распределение, при котором все люди имеют одинаковый доход и, следовательно, поскольку у них одинаковые предпочтения, они все идентичны.

Некоторое время было неясно, применимы ли результаты SMD к самой кривой рыночного спроса , а не только к кривой избыточного спроса. Но в 1982 году Жорди Андреу установил важный предварительный результат, предполагающий, что это так: а в 1999 году Пьер-Андре Кьяппори и Ивар Экеланд использовали векторное исчисление , чтобы доказать, что результаты Зонненшайна – Мантеля – Дебре действительно применимы к кривой рыночного спроса. Это означает, что кривые рыночного спроса могут принимать весьма неправильную форму, совершенно не похожую на модели из учебников, даже если все отдельные агенты на рынке совершенно рациональны.

Значение

В книге 1982 года « Справочник по математической экономике» Хьюго Зонненшайн объяснил некоторые последствия своей теоремы для теории общего равновесия:

Возможная кривая рыночного спроса по результатам Зонненшайна – Мантеля – Дебре.

…функции рыночного спроса никоим образом не должны удовлетворять классическим ограничениям, которые характеризуют функции потребительского спроса… Важность приведенных выше результатов очевидна: необходимы сильные ограничения, чтобы оправдать гипотезу о том, что функция рыночного спроса имеет характеристики потребительского спроса. функция. Только в особых случаях можно ожидать, что экономика будет действовать как «идеализированный потребитель». Гипотеза полезности ничего не говорит нам о рыночном спросе, если он не дополнен дополнительными потребностями.

Другими словами, нельзя предполагать, что кривая спроса для отдельного рынка, не говоря уже о всей экономике, должна иметь плавный наклон вниз просто потому, что кривые спроса отдельных потребителей имеют наклон вниз. Это пример более общей проблемы агрегации , которая связана с теоретической трудностью моделирования поведения больших групп людей таким же образом, как моделируется отдельный человек.

Фрэнк Акерман отмечает, что из принципа Зонненшайна-Мантела-Дебре следует, что аукцион Вальраса не всегда находит уникальное и стабильное равновесие, даже в идеальных условиях:

В условиях общего равновесия Вальраса цены корректируются посредством процесса tâtonnement («нащупывания»): скорость изменения цены любого товара пропорциональна избыточному спросу на этот товар, и никакие сделки не происходят до тех пор, пока не будут достигнуты равновесные цены. Это может быть нереалистично, но математически объяснимо: движение цен на каждый товар зависит только от информации об этом товаре. К сожалению, как показывает теорема SMD, tâtonnement не приводит надежно к сходимости к равновесию.

Модель аукциона Леона Вальраса требует, чтобы цена товара всегда росла в ответ на избыточный спрос и всегда падала в ответ на избыточное предложение . Но SMD показывает, что это не всегда будет так, поскольку функция избыточного спроса не обязательно должна иметь равномерно нисходящий наклон.

Теорема также вызвала обеспокоенность по поводу фальсифицируемости теории общего равновесия , поскольку она, по-видимому, подразумевает, что почти любая наблюдаемая модель рыночных цен и данных о количестве может быть интерпретирована как результат индивидуального поведения, максимизирующего полезность. Другими словами, Зонненшейн-Мантель-Дебре поднимает вопросы о том, в какой степени теория общего равновесия может давать проверяемые прогнозы относительно совокупных рыночных переменных. По этой причине Андреу Мас-Колелл аспирантов назвал эту теорему «теоремой все возможно» в своем учебнике по микроэкономике для . Некоторые экономисты предприняли попытки решить эту проблему: Дональд Браун и Роза Мацкин вывели некоторые полиномиальные ограничения на рыночные переменные путем моделирования равновесного состояния рынка как топологического многообразия . Однако Абу Тураб Ризви комментирует, что этот результат практически не сильно меняет ситуацию, поскольку ограничения Брауна и Мацкина сформулированы на основе наблюдений индивидуального уровня о бюджетных ограничениях и доходах, в то время как модели общего равновесия претендуют на объяснение изменений в совокупном рыночном состоянии. данные уровня.

Роберт Солоу интерпретирует теорему как показывающую, что для моделирования макроэкономического роста динамическое стохастическое общее равновесие не более обосновано на микроуровне, чем более простые модели, такие как модель Солоу-Свона . Пока модель макроэкономического роста предполагает функцию избыточного спроса, удовлетворяющую непрерывности, однородности и закону Вальраса, она может быть обоснована на микроуровне.

Результаты Зонненшайна-Мантела-Дебре побудили некоторых экономистов, таких как Вернер Хильденбранд и Алан Кирман, отказаться от проекта объяснения характеристик кривой рыночного спроса на основе индивидуальной рациональности. Вместо этого эти авторы пытаются объяснить закон спроса с точки зрения организации общества в целом и, в частности, распределения доходов.

Объяснение

С математической точки зрения, количество уравнений, составляющих функцию рыночного избыточного спроса, равно количеству отдельных функций избыточного спроса, что, в свою очередь, равно количеству цен, для которых необходимо найти решение. По закону Вальраса, если все избыточные требования, кроме одного, равны нулю, то последний также должен быть равен нулю. Это означает, что существует одно избыточное уравнение, и мы можем нормализовать одну из цен или комбинацию всех цен (другими словами, определяются только относительные цены, а не абсолютный уровень цен). В результате количество уравнений сравняется с количеством неизвестных и мы получим детерминированную систему. Однако, поскольку уравнения нелинейны, нет никакой гарантии однозначного решения. Более того, даже несмотря на то, что разумные предположения могут гарантировать, что отдельные функции избыточного спроса имеют уникальный корень, эти предположения не гарантируют, что совокупный спрос также имеет уникальный корень.

Следует отметить несколько вещей. Во-первых, даже несмотря на то, что может существовать несколько состояний равновесия, при стандартных предположениях гарантировано, что каждое равновесие будет эффективным по Парето . Однако различные состояния равновесия, вероятно, будут иметь разные последствия для распределения и могут по-разному ранжироваться по любой конкретной функции социального благосостояния . Во-вторых, по теореме об индексе Хопфа в регулярных экономиках число равновесий будет конечным, и все они будут локально уникальными. Это означает, что сравнительная статика , или анализ того, как меняется равновесие при потрясениях в экономике, все еще может быть актуальной, пока шоки не слишком велики. Но это оставляет вопрос о стабильности равновесия без ответа, поскольку сравнительная статическая перспектива не говорит нам, что происходит, когда рынок отходит от равновесия.

Распространение на незавершенные рынки

Распространение на неполные рынки было впервые предложено Андреу Мас-Колеллом в 1986 году. Для этого он отмечает, что закон Вальраса и однородность нулевой степени можно понимать как тот факт, что избыточный спрос зависит только от самого бюджетного множества. Следовательно, однородность означает лишь то, что избыточный спрос одинаков, если бюджетные наборы одинаковы. Эта формулировка распространяется на неполные рынки. То же самое можно сказать и о законе Вальраса, если рассматривать его как бюджетную осуществимость функции избыточного спроса. Первые результаты типа Зонненшайна-Мантела-Дебре для неполных рынков были получены Жаном-Марком Боттацци и Торстеном Хенсом . Другие работы расширили тип активов за пределы таких популярных структур реальных активов, как Чиаппори и Экланд. Все такие результаты являются локальными. В 2003 году Такеши Моми расширил подход Боттацци и Хенса до глобального результата.

Библиография

• Акерман, Фрэнк (2002). «Все еще мертв после всех этих лет: интерпретация провала теории общего равновесия» (PDF) . Журнал экономической методологии . 9 (2): 119–139. дои : 10.1080/13501780210137083 . S2CID   154640384 .
• Андреу, Хорди (1982). «Рационализация рыночного спроса на конечные области». Журнал экономической теории . 28 (1): 201–204. дои : 10.1016/0022-0531(82)90100-4 .
• Боттацци, Жан-Марк; Куры, Торстен (1996). «Функции избыточного спроса и неполный рынок». Журнал экономической теории . 68 : 49–63. дои : 10.1006/jeth.1996.0003 .
• Браун, Дональд Дж.; Мацкин, Роза Л. (1996). «Проверяемые ограничения на равновесное многообразие» . Эконометрика . 64 (6): 1249–1262. дои : 10.2307/2171830 . JSTOR   2171830 .
• Кьяппори, Пьер-Андре; Экеланд, Ивар (1999). «Агрегация и рыночный спрос: точка зрения внешнего дифференциального исчисления». Эконометрика . 67 (6): 1435–1457. дои : 10.1111/1468-0262.00085 . JSTOR   2999567 .
• Кьяппори, Пьер-Андре; Экеланд, Ивар ; Кюблер, Феликс ; Полемархакис, Геракл М. (2004). «Проверяемые последствия теории общего равновесия: дифференцируемый подход» (PDF) . Журнал математической экономики . 40 (1–2): 105–119. дои : 10.1016/j.jmateco.2003.11.002 .
• Дебре, Жерар (1974). «Функции избыточного спроса». Журнал математической экономики . 1 : 15–21. дои : 10.1016/0304-4068(74)90032-9 .
• Хан, Франк (1975). «Возрождение политической экономии - неправильные проблемы и неправильные аргументы». Экономический отчет . 51 (135): 360–364. дои : 10.1111/j.1475-4932.1975.tb00262.x .
• Хильденбранд, Вернер (1994). Рыночный спрос: теория и эмпирические данные . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-03428-1 .
• Кин, Стив (2013). «Прогнозирование« глобального финансового кризиса »: посткейнсианская макроэкономика». Экономический рекорд . 89 (285): 228–254. дои : 10.1111/1475-4932.12016 . hdl : 10.1111/1475-4932.12016 . S2CID   154247190 .
• Кирман, Алан П.; Кох, Карл-Йозеф (1986). «Избыточный рыночный спрос в валютных экономиках с одинаковыми предпочтениями и коллинеарными запасами». Обзор экономических исследований . 53 (3): 457–463. дои : 10.2307/2297640 . JSTOR   2297640 .
• Кирман, Алан П. (1992). «Кого или что представляет представитель?». Журнал экономических перспектив . 6 (2): 117–136. дои : 10.1257/jep.6.2.117 .
• Лавуа, Марк (2014). Посткейнсианская экономика: новые основы . Нортгемптон, Массачусетс: ISBN Edward Elgar Publishing, Inc.  978-1-84720-483-7 .
• Мантель, Рольф (1974). «О характеристике совокупного избыточного спроса». Журнал экономической теории . 7 (3): 348–353. дои : 10.1016/0022-0531(74)90100-8 .
• Мантель, Рольф (1976). «Гомотетические предпочтения и функции избыточного спроса сообщества». Журнал экономической теории . 12 (2): 197–201. дои : 10.1016/0022-0531(76)90073-9 .
• Мас-Колелл, Андреу (1988). «Четыре лекции по дифференцируемому подходу к теории общего равновесия». Математическая экономика . Конспект лекций по математике. Том. 1330. стр. 19–49. дои : 10.1007/BFb0078157 . ISBN  978-3-540-50003-2 .
• Моми, Т. (2003). «Функции избыточного спроса на неполных рынках – глобальный результат» (PDF) . Журнал экономической теории . 111 (2): 240–250. дои : 10.1016/S0022-0531(03)00061-9 .
• Ризви, С. Абу Тураб (2006). «Результаты исследования Зонненшайна-Мантеля-Дебре через тридцать лет» (PDF) . История политической экономии . 38 : 228–245. дои : 10.1215/00182702-2005-024 .
• Саншайн, Хьюго (1972). «Функции избыточного спроса рынка». Эконометрика . 40 (3): 549–563. дои : 10.2307/1913184 . JSTOR   1913184 . S2CID   55002985 .
• Зонненшайн, Хьюго (1973). «Характеризуют ли идентичность и преемственность Вальраса класс функций общественного избыточного спроса?». Журнал экономической теории . 6 (4): 345–354. дои : 10.1016/0022-0531(73)90066-5 .
• Зонненшайн, Хьюго ; Шафер, Уэйн (1982). «Глава 14. Функции рыночного спроса и избыточного спроса». В «Стреле», Кеннет Дж.; Интрилигатор, Майкл Д. (ред.). Функции рыночного спроса и избыточного спроса . Справочник по математической экономике . Справочник по математической экономике. Том. 2. стр. 671–693. дои : 10.1016/S1573-4382(82)02009-8 . ISBN  9780444861276 .