Теорема о представлении полезности

В экономике теорема о представлении полезности утверждает, что при определенных условиях порядок предпочтений может быть представлен вещественной функцией полезности , так что вариант A предпочтительнее варианта B тогда и только тогда, когда полезность A больше, чем полезность варианта B. Б.

Фон

Предположим, человеку задают вопросы вида «Вы предпочитаете А или Б?» (когда A и B могут быть вариантами, действиями, состояниями мира, наборами потребления и т. д.). Если агент предпочитает А варианту Б, мы пишем $A\succ B$ . человека Набор всех таких пар предпочтений образует отношение предпочтений .

Вместо того, чтобы записывать предпочтения человека между каждой парой вариантов, было бы гораздо удобнее иметь одну функцию полезности — функцию u , которая присваивает каждому варианту действительное число, такое что $u(A)>u(B)$ тогда и только тогда, когда $A\succ B$ .

Не каждое отношение предпочтения имеет представление в виде функции полезности. Например, если отношение не транзитивно (агент предпочитает A вместо B, B перед C и C перед A), то оно не имеет представления полезности, поскольку любая такая функция полезности должна была бы удовлетворять $u(A)>u(B)>u(C)>u(A)$ , что невозможно.

Теорема о представлении полезности дает условия на отношение предпочтения, достаточные для существования представления полезности.

Часто хотелось бы, чтобы представляющая функция u удовлетворяла дополнительным условиям, таким как непрерывность. Это требует дополнительных условий на отношение предпочтения.

Определения

Набор вариантов представляет собой топологическое пространство обозначаемое X. , В некоторых случаях мы предполагаем, что X также является метрическим пространством ; в частности, X может быть подмножеством евклидова пространства R ^м, такой, что каждая координата в {1,..., m} представляет товар, а каждый m -вектор в X представляет возможный набор потребления.

Отношения предпочтений

Отношение предпочтения – это подмножество $X\times X$ . Это обозначается либо $\succ$ или $\succeq$ :

Обозначения $\succ$ используется, когда отношение строгое , то есть $A\succ B$ означает, что вариант А строго лучше варианта Б. В этом случае отношение должно быть иррефлексивным , т. е. $A\succ A$ не держит. Оно также должно быть асимметричным , то есть $A\succ B$ подразумевает, что не $B\succ A$ .
Обозначения $\succeq$ используется, когда связь слабая , то есть, $A\succeq B$ означает, что вариант А по крайней мере так же хорош, как вариант Б (А может быть эквивалентен Б или лучше, чем Б). В этом случае отношение должно быть рефлексивным , т. е. $A\succeq A$ всегда держит.

Учитывая слабое отношение предпочтения $\succeq$ , можно определить его "строгую часть" $\succ$ и «часть безразличия» $\simeq$ следующее:

$A\succ B$ тогда и только тогда, когда $A\succeq B$ и не $B\succeq A$ .
$A\simeq B$ тогда и только тогда, когда $A\succeq B$ и $B\succeq A$ .

Учитывая строгое отношение предпочтений $\succ$ , можно определить его "слабое место" $\succeq$ и «часть безразличия» $\simeq$ следующее:

$A\succeq B$ тогда и только тогда, когда нет $B\succ A$ ;
$A\simeq B$ тогда и только тогда, когда нет $B\succ A$ и не $A\succ B$ .

Для каждого варианта $A\in X$ , мы определяем наборы контуров в A :

Учитывая слабое отношение предпочтения $\succeq$ $\succeq$ , слабый верхний контур, установленный в A, представляет собой набор всех вариантов, которые по крайней мере не хуже A : $\{B\in X:B\succeq A\}$ $\{B\in X:B\succeq A\}$ . Слабый нижний контур, установленный в A, представляет собой набор всех вариантов, которые не хуже A : $\{B\in X:A\succeq B\}$ $\{B\in X:A\succeq B\}$ .
- Слабое отношение предпочтения называется непрерывным , если его контурные множества топологически замкнуты .
Аналогично, при строгом отношении предпочтения $\succ$ ${\ displaystyle \ succ }$ , строгий верхний контур, установленный в A, представляет собой набор всех вариантов, лучших, чем A : $\{B\in X:B\succ A\}$ $\{B\in X:B\succ A\}$ , а строгий нижний контур, установленный в A, представляет собой набор всех вариантов хуже, чем A : $\{B\in X:A\succ B\}$ $\{B\in X:A\succ B\}$ .
- Строгое отношение предпочтения называется непрерывным , если его контурные множества топологически открыты .

Иногда приведенные выше понятия непрерывности называют полунепрерывными , а $\succeq$ называется непрерывным, если оно является замкнутым подмножеством $X\times X$ . ^[1]

Отношение предпочтения называется:

Счетный - если множество классов эквивалентности отношения безразличия $\simeq$ является счетным .
Сепарабельно - если существует счетное подмножество. $Z\subseteq X$ такой, что для каждой пары $A\succ B$ , есть элемент $z_{i}\in Z$ то, что их разделяет, то есть $A\succ z_{i}\succ B$ (аналогичное определение существует для слабых отношений).

Например, строгий порядок «>» в действительных числах отделим, но не счетен.

Вспомогательные функции

Функция полезности – это функция $u:X\to \mathbb {R}$ .

функция полезности u Говорят, что представляет строгое отношение предпочтения. $\succ$ , если $u(A)>u(B)\iff A\succ B$ .
функция полезности u Говорят, что представляет слабое отношение предпочтения. $\succeq$ , если $u(A)\geq u(B)\iff A\succeq B$ .

Полные отношения предпочтений

Вы должны ^[2]^[3] доказал существование непрерывного представления слабого отношения предпочтения $\succeq$ удовлетворяющий следующим условиям:

Рефлексивный и переходный ;
Полный , то есть для каждых двух вариантов A , B в X , либо $A\succeq B$ или $B\succeq A$ или оба;
Для всех $A\in X$ как верхнее, так и нижнее множество слабых контуров топологически замкнуты ;
Пространство X счетно по секундам . Это означает, что существует счетное множество S открытых множеств такое, что каждое открытое множество в X является объединением множеств класса S . ^[4] Второсчетность обеспечивается следующими свойствами (от более слабого к более сильному):
- Пространство X сепарабельно и связно .
- Отношение $\succeq$ является разделимым.
- Отношение $\succeq$ является счетным.

Жафрэ ^[5] дает элементарное доказательство существования непрерывной функции полезности.

Неполные отношения предпочтений

Предпочтения называются неполными , когда некоторые варианты несравнимы, то есть ни $A\succeq B$ ни $B\succeq A$ держит. Этот случай обозначается $A\bowtie B$ . Поскольку действительные числа всегда сравнимы, невозможно иметь представляющую функцию u с $u(A)\geq u(B)\iff A\succeq B$ . Есть несколько способов справиться с этой проблемой.

Однонаправленное представление

Пелег ^[6] определил представление функции полезности строгого частичного порядка $\succ$ как функция $u:X\to \mathbb {R}$ такой, что $A\succ B\implies u(A)>u(B)$ , то есть должно иметь место только одно направление импликации. Пелег доказал существование одномерного непрерывного представления полезности строгого отношения предпочтения. $\succ$ удовлетворяющий следующим условиям:

Иррефлексивный и транзитивный (что подразумевает, что он асимметричен, то есть представляет собой строгий частичный порядок );
Разъемный;
Для всех $A\in X$ , нижний строгий контур, заданный в точке A , топологически открыт ;
Просторный : если $A\succ B$ $A\succ B$ , то нижнее строгое контурное множество в A содержит замыкание нижнего строгого контурного множества в B .
- Это условие необходимо для неполных отношений предпочтения. Для полных отношений предпочтения каждое отношение, в котором все нижние и верхние строгие контурные множества открыты, также является просторным.

Если нам дано слабое отношение предпочтения $\succeq$ , мы можем применить теорему Пелега, определив строгое отношение предпочтения: $A\succ B$ тогда и только тогда, когда $A\succeq B$ и не $B\succeq A$ . ^[6]

Второе условие ( $\succ$ сепарабельна) подразумевается следующими тремя условиями:

Пространство X сепарабельно ;
Для всех $A\in X$ как нижнее, так и верхнее строгие контурные множества в точке A открыты топологически ;
Если нижнее множество счетчиков A непусто, то A находится в своем замыкании .

Аналогичного подхода придерживался Рихтер. ^[7] Поэтому это однонаправленное представление также называют представлением полезности Рихтера-Пелега . ^[8]

Жафрэ ^[9] определяет представление функции полезности строгого частичного порядка $\succ$ как функция $u:X\to \mathbb {R}$ такой, что оба $A\succ B\implies u(A)>u(B)$ , и $A\approx B\implies u(A)=u(B)$ , где отношение $A\approx B$ определяется следующим образом: для всех C, $A\succ C\iff B\succ C$ и $C\succ A\iff C\succ B$ (то есть: нижний и верхний наборы контуров A и B идентичны). Он доказал, что для любого частично упорядоченного пространства $(X,\succ )$ которая является совершенно разделимой, существует функция полезности, полунепрерывная сверху в любой топологии, более сильной, чем топология высшего порядка . ^[9]^{: Раздел 4} Аналогичное утверждение утверждает существование функции полезности, полунепрерывной снизу в любой топологии, более сильной, чем топология низшего порядка.

Зондерманн ^[10] определяет представление функции полезности аналогично Jaffray. Он дает условия существования представления функции полезности в вероятностном пространстве , то есть полунепрерывном сверху или полунепрерывном снизу в порядковой топологии.

Херден ^[11]^[12] определяет представление функции полезности слабого предпорядка $\succeq$ как функция изотона ^{[ нужны разъяснения ]} $u:(X,\succeq )\to (\mathbb {R} ,\geq )$ такой, что $A\succ B\implies u(A)>u(B)$ . Херден ^[11]^{: Thm.4.1} доказал, что слабый предзаказ $\succeq$ на X имеет непрерывную функцию полезности тогда и только тогда, когда существует счетное семейство E сепарабельных систем на X такое, что для всех пар $A\succ B$ , существует сепарабельная система F в E, такая что B содержится во всех множествах в F, а A не содержится ни в одном множестве из F. Он показывает, что из этой теоремы следует теорема Пелега о представлении. В последующей статье ^[12] он проясняет связь между этой теоремой и классическими теоремами о представлении полезности в полных порядках.

Представление нескольких утилит

Многофункциональное представление (MUR) отношения. $\succeq$ представляет собой набор U функций полезности такой, что $A\succeq B\iff \forall u\in U:u(A)\geq u(B)$ . Другими словами, A предпочтительнее B тогда и только тогда, когда все функции полезности в множестве U единогласно отдают это предпочтение. Идею представил Эфе Ок. ^[13]

Каждый предварительный порядок (рефлексивное и транзитивное отношение) имеет тривиальный MUR. ^[1]^{: Предложение 1} Более того, каждый предзаказ с замкнутыми наборами верхних контуров имеет полунепрерывный сверху MUR, а каждый предзаказ с замкнутыми множествами нижних контуров имеет полунепрерывный снизу MUR. ^[1]^{: Положение 2} Однако не каждый предзаказ с закрытыми наборами верхнего и нижнего контура имеет сплошной МУР. ^[1]^{: Пример 1} Ок и Эврен приводят несколько условий существования непрерывного MUR:

$\succeq$ имеет непрерывный MUR тогда и только тогда, когда ( X , $\succeq$ ) — полунормально предупорядоченное топологическое пространство. ^[1]^{: Thm 0}
Если X — локально компактное и сигма-компактное хаусдорфово пространство и $\succeq$ является закрытым подмножеством $X\times X$ , затем $\succeq$ имеет непрерывный МУР. ^{: Вопрос 1} Это, в частности, справедливо, если X — непустое замкнутое подмножество евклидова пространства .
Если X — любое топологическое пространство и $\succeq$ является предзаказом с замкнутыми верхними и нижними контурными множествами, который удовлетворяет сильной локальной ненасыщенности и дополнительному свойству, называемому приятностью , тогда $\succeq$ имеет непрерывный МУР. ^[1]^{: Вопрос 2}

Все представления, гарантированные приведенными выше теоремами, могут содержать бесконечное и даже несчетное количество полезностей. На практике часто важно иметь конечный MUR — MUR с конечным числом утилит. Эврен и Ок доказывают, что существует конечный MUR, в котором все полезности полунепрерывны сверху [ниже] для любого слабого отношения предпочтения. $\succeq$ удовлетворяющий следующим условиям: ^[1]^{: Вопрос 3}

Рефлексивный и транзитивный (т. $\succeq$ является слабым предзаказом);
Все верхние[нижние] множества контуров топологически замкнуты ;
Пространство X вторично счетно , то есть имеет счетную базу .
Ширина $\succeq$ $\succeq$ (наибольший размер множества, в котором все элементы несравнимы) конечен.
- Число функций полезности в представлении не превосходит ширины $\succeq$ .

Обратите внимание, что гарантированные функции полунепрерывны, но не обязательно непрерывны, даже если все верхние и нижние контурные множества замкнуты. ^[13]^{: Пример 2} Эврен и Ок говорят, что «похоже, не существует естественного способа вывода непрерывной конечной теоремы о представлении множественных полезностей, по крайней мере, не с использованием методов, принятых в этой статье».

См. также

Теорема фон Неймана-Моргенштерна о полезности
Утилитарная теорема Харсаньи
Теория раскрытых предпочтений занимается представлением функции спроса агента отношением предпочтения или функцией полезности. ^[7]

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Эврен, Озгюр; Хорошо, Эфе А. (1 августа 2011 г.). «О многополезном представлении отношений предпочтений» . Журнал математической экономики . 47 (4): 554–563. дои : 10.1016/j.jmateco.2011.07.003 . ISSN 0304-4068 .
^ Дебре, Жерар (1954). Представление порядка предпочтений числовой функцией .
^ Дебре, Жерар (1986). «6. Представление порядка предпочтений числовой функцией». Математическая экономика: двадцать статей Жерара Дебре; введение Вернера Хильденбранда (1-е изд.). Кембридж [Кембриджшир]: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-23736-Х . OCLC 25466669 .
^ Дебре, Жерар (1964). «Свойства непрерывности паретианской полезности». Международное экономическое обозрение . 5 (3): 285–293. дои : 10.2307/2525513 . JSTOR 2525513 .
^ Жафрэ, Жан-Ив (1975). «Существование непрерывной функции полезности: элементарное доказательство» . Эконометрика . 43 (5/6): 981–983. дои : 10.2307/1911340 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1911340 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Пелег, Бецалель (1970). «Функции полезности для частично упорядоченных топологических пространств» . Эконометрика . 38 (1): 93–96. дои : 10.2307/1909243 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1909243 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Рихтер, Марсель К. (1966). «Теория раскрытых предпочтений» . Эконометрика . 34 (3): 635–645. дои : 10.2307/1909773 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1909773 .
^ Алькантуд, Хосе Карлос Р.; Боси, Джанни; Зуанон, Магали (01 марта 2016 г.). «Многополезные представления предзаказов Рихтера – Пелега» . Теория и решение . 80 (3): 443–450. дои : 10.1007/s11238-015-9506-z . hdl : 11368/2865746 . ISSN 1573-7187 . S2CID 255110550 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Жафрэ, Жан-Ив (1 декабря 1975 г.). «Полунепрерывное расширение частичного порядка» . Журнал математической экономики . 2 (3): 395–406. дои : 10.1016/0304-4068(75)90005-1 . ISSN 0304-4068 .
^ Зондерманн, Дитер (1 октября 1980 г.). «Представления коммунальных предприятий для частичных заказов» . Журнал экономической теории . 23 (2): 183–188. дои : 10.1016/0022-0531(80)90004-6 . ISSN 0022-0531 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Херден, Г. (1 июня 1989 г.). «О существовании функций полезности» . Математические социальные науки . 17 (3): 297–313. дои : 10.1016/0165-4896(89)90058-9 . ISSN 0165-4896 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Херден, Г. (1 октября 1989 г.). «О существовании функций полезности II» . Математические социальные науки . 18 (2): 107–117. дои : 10.1016/0165-4896(89)90041-3 . ISSN 0165-4896 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Ок, Эфе (2002). «Представление полезности неполного отношения предпочтения» . Журнал экономической теории . 104 (2): 429–449. дои : 10.1006/jeth.2001.2814 . ISSN 0022-0531 .

[:3-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Эврен, Озгюр; Хорошо, Эфе А. (1 августа 2011 г.). «О многополезном представлении отношений предпочтений» . Журнал математической экономики . 47 (4): 554–563. дои : 10.1016/j.jmateco.2011.07.003 . ISSN 0304-4068 .

[Debreu54-2] Дебре, Жерар (1954). Представление порядка предпочтений числовой функцией .

[:0-3] Дебре, Жерар (1986). «6. Представление порядка предпочтений числовой функцией». Математическая экономика: двадцать статей Жерара Дебре; введение Вернера Хильденбранда (1-е изд.). Кембридж [Кембриджшир]: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-23736-Х . OCLC 25466669 .

[Debreu64-4] Дебре, Жерар (1964). «Свойства непрерывности паретианской полезности». Международное экономическое обозрение . 5 (3): 285–293. дои : 10.2307/2525513 . JSTOR 2525513 .

[5] Жафрэ, Жан-Ив (1975). «Существование непрерывной функции полезности: элементарное доказательство» . Эконометрика . 43 (5/6): 981–983. дои : 10.2307/1911340 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1911340 .

[:1-6] Перейти обратно: ^а ^б Пелег, Бецалель (1970). «Функции полезности для частично упорядоченных топологических пространств» . Эконометрика . 38 (1): 93–96. дои : 10.2307/1909243 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1909243 .

[Richter_1966_635–645-7] Перейти обратно: ^а ^б Рихтер, Марсель К. (1966). «Теория раскрытых предпочтений» . Эконометрика . 34 (3): 635–645. дои : 10.2307/1909773 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1909773 .

[8] Алькантуд, Хосе Карлос Р.; Боси, Джанни; Зуанон, Магали (01 марта 2016 г.). «Многополезные представления предзаказов Рихтера – Пелега» . Теория и решение . 80 (3): 443–450. дои : 10.1007/s11238-015-9506-z . hdl : 11368/2865746 . ISSN 1573-7187 . S2CID 255110550 .

[:6-9] Перейти обратно: ^а ^б Жафрэ, Жан-Ив (1 декабря 1975 г.). «Полунепрерывное расширение частичного порядка» . Журнал математической экономики . 2 (3): 395–406. дои : 10.1016/0304-4068(75)90005-1 . ISSN 0304-4068 .

[10] Зондерманн, Дитер (1 октября 1980 г.). «Представления коммунальных предприятий для частичных заказов» . Журнал экономической теории . 23 (2): 183–188. дои : 10.1016/0022-0531(80)90004-6 . ISSN 0022-0531 .

[:4-11] Перейти обратно: ^а ^б Херден, Г. (1 июня 1989 г.). «О существовании функций полезности» . Математические социальные науки . 17 (3): 297–313. дои : 10.1016/0165-4896(89)90058-9 . ISSN 0165-4896 .

[:5-12] Перейти обратно: ^а ^б Херден, Г. (1 октября 1989 г.). «О существовании функций полезности II» . Математические социальные науки . 18 (2): 107–117. дои : 10.1016/0165-4896(89)90041-3 . ISSN 0165-4896 .

[:2-13] Перейти обратно: ^а ^б Ок, Эфе (2002). «Представление полезности неполного отношения предпочтения» . Журнал экономической теории . 104 (2): 429–449. дои : 10.1006/jeth.2001.2814 . ISSN 0022-0531 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]